5: Trabajar con números
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Entre las operaciones más fundamentales que hacemos con las cantidades está la aritmética. Podemos encontrar la necesidad de aritmética en cualquier fase de resolución de problemas, desde hacer una estimación de estadio de béisbol en la fase Under- stand hasta computar y verificar un resultado final en las fases Ejecutar y Verificar. Una vez que tenemos una comprensión sólida de las operaciones que son permisibles y las que no lo son —por ejemplo, ¿está bien sumar o restar cantidades expresadas en diferentes unidades o en diferentes escalas? — podemos ponernos manos a la obra realizando operaciones básicas.
Aritmética según Wikipedia: una rama de las matemáticas que consiste en
el estudio de los números, especialmente las propiedades de las operaciones tradicionales sobre ellos — suma, resta, multiplicación y división.
La mayoría de nosotros probablemente nos sintamos cómodos con la mayoría de estas operaciones, al menos cuando se refieren a números simples. Sin embargo, se vuelve fácil cometer errores o pasar por alto pasos importantes cuando estamos tratando con números extremadamente grandes o pequeños, o cuando las versiones de unidades se vuelven necesarias. Un escenario en el que a menudo nos encontramos con tales dificultades es trabajar con proporciones, incluyendo concentraciones, proporciones y porcentajes. Aunque cantidades como estas suelen ser conceptualmente simples, trabajar con ellos y convertir entre formas de expresarlos puede ser un desafío. Este capítulo destaca algunos conceptos y técnicas para trabajar con este tipo de números difíciles de manejar para que podamos trabajar con confianza, evitar errores simples e incluso atrapar otros más complejos.
Comenzamos con un método para hacer aritmética que se puede utilizar para simplificar cálculos, o para aproximar soluciones cuando un cálculo posterior del sobre es todo lo que necesita. El método es particularmente poderoso cuando los cálculos involucran números muy grandes o muy pequeños. Como tal, puede ser útil para hacer estimaciones de estadio de béisbol en las primeras etapas de la resolución de problemas. Nuestro método hace uso estratégico de la notación científica, que probablemente hayas encontrado en clases de ciencias secundarias. La base filosófica de la notación científica también conduce a la noción de orden de magnitud, un concepto que puede ser útil para comparar cantidades así como para juzgar la propiedad de las estimaciones. A lo largo del camino, compararemos algunas formas de expresar cantidades normalizadas como concentraciones y propos- ciones, y revisaremos las reglas de aritmética con exponentes.
5.1 Notación científica
En química de secundaria, aprendemos que hay más de 602 moléculas sexo-billón en un mol de una sustancia química\(^{1}\). Pero normalmente no vemos la constante de Avogadro escrita como algún número de sextillones, ni la vemos elaborada con todos los 24 dígitos necesarios para escribirla en forma entera: es difícil hacer un seguimiento de todos esos dígitos al escribirlos, y aún más difícil hacer un seguimiento cuando estás leyendo o comparando diferentes números. En lugar de escribir el número completo, usamos la taquigrafía de la notación científica, donde la constante de Avogadro se parece más a 6.022×10. En general, la notación científica tiene la forma:
a = 10\(^{b}\)
\(^{1}\)602 sextillón, o 6.022×10\(^{23}\) es la constante de Avogadro, el número de moléculas en un mol de una sustancia química
donde a y b a veces se llaman mantisa y poder, respectivamente. Entonces la constante de Avogadro tiene una mantisa de aproximadamente 6.022 y una potencia de 23, lo que equivale a decir que la cantidad completa tiene 23 dígitos después de la mantisa\(^{2}\). Obviamente se trata de un número muy grande. Podemos expresar con la misma facilidad números muy pequeños con notación científica. Una bacteria E. coli tiene aproximadamente 2 μ m (micrómetros) de largo, que es 2×10−6m. Aquí, la potencia de −6 indica no que sea un número negativo (sería absurdo decir que algo tiene una longitud negativa, porque la longitud es una escala de ratio!) , pero que es menor que 1 y que debería haber 6 dígitos a la derecha de un punto decimal si quisiéramos expresarlo como un número decimal. Entonces podríamos expresar esto de manera equivalente de algunas maneras:
2 μ m = 0.000002m = 2 × 10\(^{−6}\) m.
\(^{2}\)Un tema relacionado es el de dígitos significativos. La notación científica nos permite especificar claramente qué tan precisos estamos pretendiendo ser a través del número de dígitos incluidos en la mantisa: en este caso, 4.
Tenga en cuenta que estas igualdades ambas equivalen a conversiones unitarias, pero la segunda igualdad es específicamente una conversión a notación científica. Los exponentes negativos indican números menores a 1, y hay ocasiones en las que puede ser útil a veces poder escribirlos como fracciones. Cuando tenemos una cantidad expresada en notación científica con un exponente negativo 10\(^{−b}\), eso equivale a la misma cantidad dividida por 10\(^{b}\). Por lo tanto, otra forma de expresar la longitud de e.coli es:
\(2 \times 10^{-6} \mathrm{~m}=2 \times \frac{1}{10^{6}} \mathrm{~m}\)
En el orden estándar de las operaciones, los paréntesis tienen prioridad, luego los exponentes, luego la multiplicación o división, y finalmente la suma y resta.
Entonces dividir por 10\(^{6}\) es lo mismo que multiplicar por 10\(^{-6}\). Observe aquí que el orden de las operaciones es importante. Por convención, los exponentes tienen prioridad sobre la multiplicación, división, suma y resta. Entonces no dividimos por la mantisa (2) cuando expresamos esta cantidad en términos fraccionarios porque lo único que se eleva al exponente es la base, en este caso 10. Podríamos, sin embargo, mover la mantisa al denominador con su 10\(^{6}\) tomando su recíproco, ¿verdad? Esa es otra forma de invocar la vieja regla de la escuela primaria: dividir por un número es lo mismo que multiplicar por su recíproco. En este caso, terminaríamos con un valor equivalente para la longitud de e. coli que parece
\(2 \times 10^{-6} \mathrm{~m}=\frac{1}{0.5 \times 10^{6}} \mathrm{~m}=\frac{1}{5.0 \times 10^{5}} \mathrm{~m}\)
Observe que en el último paso hemos tomado prestado un “diez” del poder para hacer la mantisa mayor que 1: esto es por convención. Una regla general para expresar una cantidad en notación científica es tener un dígito distinto de cero antes del punto decimal en la mantisa, y tantas cifras significativas como apropiadas para el problema a la derecha del decimal. Entonces podríamos expresar la longitud de e. coli como 0.2×10\(^{−5}\) m o 200×10\(^{−8}\) m, pero en la mayoría de los casos esa es mala forma. Veremos a continuación, sin embargo, hay momentos en que hacer aritmética a mano puede simplificarse expresando temporalmente cantidades de una manera tan poco convencional.
\(^{3}\)Las cantidades expresadas en notación científica deben tener un dígito distinto de cero a la izquierda del punto decimal.
Un concepto útil para trabajar con números realmente grandes o muy pequeños es el orden de magnitud de una cantidad. Al obtener una estimación del estadio de béisbol de una cantidad o en el cálculo de algo usando solo aproximaciones muy aproximadas para los valores de entrada, puede ser innecesario o inapropiado preocuparse por estar apagado por un factor de 2 o así. Podríamos estar satisfechos sabiendo que el resultado es “unos pocos miles” o “un cupé centésimas”. Si estamos usando notación científica, esto equivale a ignorar la mantisa y simplemente citar la base y el poder. Entonces, en vez de decir que una e. coli es 2×10\(^{−6}\) m, podemos decir que es del orden de 10\(^{−6}\) m de largo. Este tipo de razonamiento es particularmente útil para comparar múltiples cantidades. Un grano de arena gruesa, por ejemplo, tiene un diámetro del orden de 10\(^{−3}\) m, por lo que es tres órdenes de magnitud mayor (−3 es tres más que −6) que una bacteria e. coli. Una vez que envolvemos nuestras mentes alrededor de lo que eso significa (¡tres órdenes de magnitud es un factor de 103, o mil!) , las comparaciones pueden ser esclarecedoras en la asignación de “importancia” cuantitativa a diferentes variables en una ecuación.
El orden de magnitud de una cantidad es esencialmente el valor del exponente cuando se expresa en notación científica.
El hecho es que, en la comunicación normal sobre la longitud de e. coli, probablemente nos quedaríamos con 2 μ m como una forma clara de expresarlo en texto escrito. La mayoría de las formas alternativas anteriores son más torpes en la escritura, y ciertamente las últimas expresiones equivalentes anteriores no son intuitivas (¡solo fuimos allí para demostrar la técnica!). Las cantidades expresadas en notación científica deben tener un dígito distinto de cero a la izquierda del punto decimal. El orden de magnitud de una cantidad es esencialmente el valor del exponente cuando se expresa en notación científica. Sin embargo, en comparaciones con otras cantidades o al realizar cálculos con otras cantidades que se expresan en diferentes unidades, suele ser inteligente convertir todas las cantidades a un sistema uniforme de unidades, como el systeme internationale, o SI.
5.2 Cantidades normalizadas
En las ciencias, la normalización de cantidades a menudo se refiere al proceso de dividir alguna cantidad escalada por un valor estándar, total o de referencia de la misma cantidad. Considera algunos esquemas de normalización con los que ya estás muy familiarizado. Un porcentaje es una cantidad normalizada, determinada dividiendo algún número que representa un subconjunto de una colección mayor por el número total en la colección y luego multiplicando por 100%. Por ejemplo, supongamos que hemos probado 360 cadáveres de venado cola blanca (de matanza en carretera y cosecha de cazador) para detectar la enfermedad de emaciación crónica (CWD) y encontrar que 83 son positivos. Ante estos datos, todos podemos estar de acuerdo en que el porcentaje de la población muestreada infectada con CWD es:
\(\frac{83}{360} \times 100 \%=23.0556 \%\)(5.1)
En camino a computar esto, creamos la relación 83 a 360, que es alrededor de 0.23 si la simplificas con tu calculadora. Al igual que con muchas de esas proporciones, podemos elegir entre una variedad de formas diferentes pero equivalentes de expresar esta cantidad. Podríamos expresarlo como la proporción de dos números enteros como 83:360\(^{4}\), o como la fracción:
\(\frac{83}{360}\). (5.2)
\(^{4}\)esta es la forma en que solemos expresar una escala de mapa, como 1:24 ,000. Consulte la Parte III de este libro para más información sobre ese tema.
O como ya hemos visto, es sencillo escribirlo como un número decimal (0.230556). Pero como encontramos porcentajes con frecuencia, podemos apreciarlo más fácilmente expresado como porcentaje. Para los presentes propósitos, podríamos describir un porcentaje como “partes por cien”, ya que es justamente la misma relación escalada a un valor de referencia arbitrario de 100. Es decir, por cada cien venados en la muestra, alrededor de 23 tienen CWD. Expresar una cantidad en “por mil” es muy análogo, excepto que en lugar de multiplicar por el factor 100% lo multiplicaríamos por 1000 (ese es el símbolo por mil)\(^{5}\). En este caso, terminaríamos diciendo que alrededor de 83/360 ×1000 = 231 (o 231 por mil venados) están infectados. Para hacer esto aún más absurdo, podríamos expresar la misma información con la misma facilidad que partes por millón (ppm) o partes por mil millones (ppb) siguiendo una táctica similar. Cada una de estas formas de expresar una cantidad normalizada es aritméticamente equivalente, pero implica un reino diferente de precisión sobre la cantidad de interés y el alcance de sus posibles valores. Probablemente nunca habríamos de ciervos en partes por millón, ¡pero podríamos hablar de concentraciones de plomo de esa manera!
\(^{5}\)Aunque no es común en muchas disciplinas, las concentraciones de isótopos a menudo se expresan en%, donde el valor de referencia es la relación isotópica de una sustancia estándar.
Otros tipos de cantidades normalizadas en la ciencia incluyen frecuencias, concentraciones y probabilidades, por nombrar algunas. Las cantidades pueden expresarse de manera algo diferente, pero en la mayoría de los casos se hace una comparación entre valores de las mismas dimensiones (¡y muchas veces las mismas unidades!). De hecho esta es a veces una estrategia simplificadora: cuando normalizas una cantidad a un estándar de las mismas unidades, se pueden descartar detalles sobre las unidades específicas por las que se midieron las cantidades. A menudo esto es algo bueno. Por ejemplo, cuando usamos un mapa que se escala a, por ejemplo, 1:24 ,000, no se nos dice con qué unidades se construyó esa relación, ¡porque no importa! Si usa una regla para encontrar que la distancia del mapa entre dos entidades en el mapa es de 2 pulgadas, esa distancia en el mundo real es igual a 2 × 24, 000 = 48, 000 pulg. No importa si tu regla está gobernada en pulgadas, centímetros, estadios o varillas, ¡la cantidad que mides en el mapa solo necesita ser multiplicada por el factor de escala (24,000) para encontrar la distancia verdadera! Como hemos visto, sin embargo, descuidar las unidades específicas utilizadas para derivar una cantidad normalizada también puede ser causa de cierta confusión (¿la concentración de una subpostura se mezcla con otra calculada sobre la base de sus masas, volúmenes o algo más?). Se convierte en algo bueno si la declaración procesal para la cantidad se aclara o se conoce por convención.
¿Cómo utilizamos una cantidad normalizada a nuestro favor? Supongamos que extrapolo de nuestra muestra de CWD en canales de venado para predecir que 23% de los venados en todo el condado están infectados con CWD. Si damos por sentado que mi ciencia es buena, todo lo que necesitamos saber para averiguar el número de ciervos infectados con CCD en el condado es el número total de venados en el condado, \(_{deer}\)N. Una vez que reconocemos que la proporción de venados infectados a venados totales es de 0.23 (23% de la población total de 100%), solo necesitamos realizar una simple multiplicación:
\(\frac{N_{CWD}}{N_{deer}}\)\(\frac{23%}{100%}\)= 0.23 (5.3)
N\(_{CWD}\) = 0.23 N\(_{deer}\) (5.4)
Así, el beneficio de expresar el número de venados infectados como una cantidad normalizada (asumiendo que nuestra afirmación del 23% es exacta) es su generalidad. Podemos escribir una relación simple como la Ecuación 5.4 y, mientras la relación siga siendo válida, aplicarla en cualquier escala relevante\(^{6}\). El proceso de re-escalado de una relación (u otra cantidad normalizada) a veces se llama razonamiento proporcional, y es uno de los procesos estratégicos clave en probabilidad, y como veremos en el siguiente capítulo, es la base de gran parte de la trigonometría. La construcción de triángulos abstractos al servicio de la resolución de problemas suele ser un medio para comparar las proporciones de dos longitudes o distancias.
\(^{6}\)Reconocer qué tan lejos se puede escalar de manera segura a partir de una muestra representativa es un problema rico pero complejo.
Existen algunas cantidades normalizadas extrañas en la ciencia que frecuentemente se expresan en unidades no homogéneas, ya sea como consecuencia de sus magnitudes intrínsecas muy altas o bajas o por el procedimiento utilizado para medirlas. Un ejemplo es la pendiente en el texto de los canales o senderos fluviales, que a menudo son inferiores al 1%. Debido a que las taludes típicas de los canales son tan pequeñas, es común ver pendientes expresadas en unidades de “pies por milla” o “metros por kilómetro”. Siguen siendo cantidades normalizadas, pero las unidades no homogéneas deben ser declaradas explícitamente. De igual manera, las concentraciones de solutos o suspensiones a veces se expresan en unidades como mg/L (miligramos por litro), donde las dimensiones son un peso por volumen. Esto es conveniente debido a la relativa simplicidad de pesar un componente sólido agregado a (o aislado de) un volumen de líquido. Por otro lado, las concentraciones de sustancias como el ácido clorhídrico diluido (HCl; frecuentemente utilizadas en la química del suelo) suelen describirse como porcentajes: 5% HCl generalmente significa una mezcla en la que 5% del volumen total es HCl puro y el restante (100-5)% = 95% es agua pura. Nuevamente, esto tiene sentido porque cuando se mezclan, ambos componentes son líquidos y sus volúmenes son simples de medir.
5.2.1 Ejemplo: efluente maximizado, (Problema 3.6)
El fósforo (P) es un nutriente limitante en muchos ecosistemas de agua dulce\(^{7}\). Esto significa que la productividad primaria está limitada por la disponibilidad de P, y que las cargas excesivas de P de la escorrentía de fertilizantes o los desechos municipales e industriales pueden promover una productividad excesiva y eutrofización. Por lo tanto, a menudo estamos buscando formas de reducir los insumos de P en las aguas superficiales.
\(^{7}\)Una gran revisión de los nutrientes en los ecosistemas terrestres se puede encontrar en Weather, K.C., D.L. Strayer y G.E. Likens, 2013. Fundamentos de la ciencia de los ecosistemas, Prensa académica, Elsevier Inc.
Las concentraciones de P en agua a menudo se expresan en mg/l, por lo que se encuentran entre aquellas cantidades normalizadas que no son adimensionales. Una concentración dada en mg/l se puede visualizar como la masa de soluto que hipotéticamente podría extraerse de un volumen de agua, si de alguna manera tuviéramos un filtro P perfecto. No existe tal filtro, así que no solo necesitamos una forma diferente de medir P\(^{8}\), necesitamos formas más inteligentes de extraer P del agua si entra ahí.
\(^{8}\)En la práctica, la medición del P disuelto se realiza de la manera más eficiente utilizando un método “colorimétrico” en el que se introduce un reactivo a una solución diluida de P, lo que resulta en el desarrollo de un color azul en proporción a la concentración de P.
El TMDL seleccionado para P en cuerpos de agua superficial depende de los usos designados (¿agua potable? ¿natación?) de los cuerpos de agua en cuestión, pero suelen ser del orden de 0.1 mg/l. Vale la pena recordar que esto significa que por cada litro de agua, no deberíamos tener más de 0.1 mg de P. Así que si por casualidad tomamos una muestra de agua de dos litros en un cuerpo de agua bajo este TMDL, no deberíamos encontrar más de 0.2 mg P en esa muestra, ya que eso (0.2 mg dividido por 2l) corresponde a una concentración de 0.1 mg/l.
5.3 Trucos con notación científica
Como ya hemos comentado, los cálculos simples de orden de magnitud pueden ser muy informativos, particularmente en las primeras fases de la resolución de problemas. ¡Esta es una ocasión en la que la notación científica puede ser realmente útil! Para manipular hábilmente expresiones con notación científica, es útil recordar algunas reglas clave para trabajar con exponentes.
Obtener una estimación de estadio o orden de magnitud a mano usando notación científica
\ (\ begin {array} {ccc}
x^ {0} =1 & x^ {1} =x & x^ {-1} =\ frac {1} {x}\\
x^ {a}\ veces x=x^ {(a+1)} &\ frac {x^ {a}} {x} =x^ {(a-1)}\\
x^ {a} x^ {a} x^ {b} =x^ x^ {(a+b)} &\ frac {x^ {a}} {x^ {b}} =x^ {(a-b)}\\
x^ {-a} =\ frac {1} {x^ {a}} & x^ {a} =\ frac {1} {x^ {-a}}\\
\ left (x^ {a}\ right) ^ {b} & =x^ {(a\ times b)}
\ end {array}\)
Cuando nos enfrentamos a problemas en los que podría estar implicada la multiplicación o división de números muy grandes o muy pequeños, podemos configurar el problema en notación científica para simplificar las cosas. Considera el sencillo ejemplo de determinar cuántos mililitros (ml) hay en un metro cúbico de agua. Una cosa que es útil saber es que un ml es el equivalente a un centímetro cúbico (cm\(^{3}\)). Y también sabemos que hay 100 (= 10\(^{2}\)) cm en un metro lineal (m). Entonces, ¿cómo determinamos el número de cm\(^{3}\) en una m\(^{3}\)? Recordemos de antes que si estamos convirtiendo entre, por ejemplo, un conjunto de unidades cuadradas a otro conjunto de unidades cuadradas, ¡también necesitamos cuadrar el factor de conversión para las unidades lineales! Entonces para este problema, ya que hay 10\(^{2}\) cm en cada m:
1 m\(^{3}\) = (10\(^{2}\))\(^{3}\) cm\(^{3}\) (5.5)
Usando una de las reglas anteriores para que los exponentes modifiquen el lado derecho de esta relación, podemos encontrar que:
1 m\(^{3}\) = 10\(^{(2×3)}\) cm\(^{3}\) (5.6)
1 m\(^{3}\) = 10\(^{6}\) cm\(^{3}\) (5.7)
Puntos de referencia numéricos: Volumen
- 1 ml = 1 cm\(^{3}\)
- 1m\(^{3}\) =1000 l
y tenemos nuestro resultado. ¡Hay 10\(^{6}\) cm\(^{3}\), y por lo tanto 10\(^{6}\) ml en metro cúbico! Sería igual de fácil buscar la conversión en línea, pero el mismo enfoque básico se puede aplicar fácilmente a problemas más complejos con soluciones más turbias. En la siguiente sección consideraremos un ejemplo más desafiante y atractivo que se puede elaborar con una estrategia similar.
5.3.1 Ejemplo: Mercurio en peces
El programa RAFT\(^{9}\) (Regional Ambient Fish Tissue) es un esfuerzo de la EPA para monitorear las concentraciones de varias sustancias tóxicas nocivas en peces en el estado de Iowa. Este problema se refiere a los valores (ligeramente idealizados y modificados) de mercurio (símbolo químico Hg) detectados en bajos pequeños muestreados de dos ubicaciones en Iowa. Se obtuvieron muestras de tejido de peces como “tapones”, tomadas de peces vivos de manera similar a una biopsia. Las muestras típicas de tapón pesan 50 mg. Los criterios para emitir avisos de consumo de pescado se muestran en la siguiente tabla. Los tapones de la lubina de boca pequeña en el lago Wapello, IA contenían en promedio 0.06 μ g de Hg, mientras que los tapones de smally en el río Maquoketa contenían 0.01 μ g Hg. ¿Debería haber avisos de consumo para cualquiera de las dos cuerpos de agua?
\(^{9}\)Encuentre más información sobre el programa EPA RAFT buscando la balsa EPA en la web.
Un método de solución simple
Convertir a sistema uniforme de unidades
Un primer paso útil es identificar el resultado deseado. Nos gustaría encontrar una concentración de Hg en cada pez en las mismas unidades que utilizan las pautas de asesoramiento: partes por millón o ppm. Se trata de una cantidad derivada normalizada y adimensional. Un segundo paso útil es, por lo tanto, expresar los datos clave en unidades uniformes para que podamos normalizarlos en forma adimensional. Nuestras medidas de Hg están en μ g, que es de 10\(^{−6}\) g, mientras que nuestra masa de tapón está en mg, que es de 10\(^{−3}\) g Realmente no importa si convertimos todo en gramos o algo más, pero gramos es sencillo. Entonces ahora construyo la relación que exprese cuánto mercurio hay, en masa, en nuestra muestra de tejido de pescado (usando como ejemplo los valores del lago Wapello):
\(\frac{0.06 x 10^{-6} g}{50 x 10^{-3} g}\)(5.8)
Simplifique esto cancelando unidades y expresando cada cantidad en la notación científica adecuada:
\(\frac{6.0 x 10^{-8}}{5.0 x 10^{-2}}\)(5.9)
Usando reglas para la división en exponentes con una base común, podemos simplificar esto:
\(\frac{6.0}{5.0}\)x 10\(^{(-8) - (-2)}\) (5.10)
Por lo tanto, el exponente se convierte en −6, que usted recuerda es la base para una relación de “partes por millón”. Podemos simplificar la fracción 6/5 directamente en una calculadora, en nuestra cabeza\(^{10}\), o multiplicando tanto el numerador como el denominador por dos (= 12/10) y dividiendo por 10 para obtener 1.2:
6/5 × 10\(^{−6}\) = 1.2 ppm (5.11)
Por lo que el resultado para Wapello es de 1.2 ppm, lo que supera los límites seguros para el consumo. Para el río Maquoketa, el concentraion de Hg es de solo 0.2, por lo que es seguro para comer y no es necesario emitir asesoría.
\(^{10}\)¡Un gran beneficio de usar la notación científica es que los cálculos se pueden aproximar fácilmente a mano!
5.3.2 Ejemplo: pérdidas por incendios forestales (Problema 3.5)
¿No se da suficiente información? Hacer y declarar explícitamente una suposición razonable y posiblemente escalable. Si es apropiado, elija valores que se puedan escalar fácilmente, como 1 o 10.
Usemos algunas de las técnicas y estrategias anteriores para hacer algunas estimaciones de estadio sobre el valor de la madera que potencialmente podría perderse en un incendio forestal, siguiendo el problema teaser en la Sección 3.5. Esto podría darnos al menos un punto de partida para imaginar de dónde parte la curva NVC en el lado izquierdo de la Figura 3.2. Dado que no se da información específica sobre el tamaño de la propiedad, necesitamos hacer y declarar explícitamente una suposición. Supongamos por ahora que la propiedad tiene una superficie de 1000 hectáreas, ya que ese número es razonable a la vez para una parcela de tierra de propiedad única (esto sería un poco menos de 4 millas cuadradas) y se escala fácilmente. Supongamos también que este 10 ¡Un gran beneficio de usar la notación científica es que los cálculos se pueden aproximar fácilmente a mano! bosque en ausencia de cualquier esfuerzo de reducción de combustible está sobreabastecido, con quizás 30 m\(^{2}\) ha\(^{-1}\) de área basal\(^{11}\).
\(^{11}\)área basal, generalmente dada en\(^{2}\) pies\(^{-1}\) cuadrados por acre o m\(^{2}\) ha\(^{−1}\) (metros cuadrados por hectárea), proporciona una visión rápida de la cantidad de madera en pie en un área de tierra.
Usando tablas de trituración de madera, esta área basal produciría alrededor de 30,000 pies de tabla por hectárea\(^{12}\). Para obtener una estimación del valor de esta madera entonces, necesitamos encontrar el precio actual por tabla-pie de nuestra madera y luego escalar esto con el volumen de madera y el área de propiedad. Una suposición razonable para el precio de las sierras de madera de coníferas sería de 0.20 dólares estadounidenses (USD) por pie de tabla\(^{13}\). Entonces nuestro cómputo se convierte
NVC (0) = 1000 ha × 30000 BF/ha × 0.20 USD/BF.
\(^{12}\)Un pie de tabla equivale a aproximadamente 0.00236 m\(^{3}\) de madera.
\(^{13}\)Una búsqueda en la web de “precios de aserradero” puede darte una idea de cómo varía esto según el lugar y la hora.
Podemos hacer este cálculo relativamente rápido en una calculadora, pero existe el riesgo de escribir el número incorrecto de ceros y cometer un error importante. Sin embargo, si convertimos estas cantidades a notación científica y reescribimos la ecuación podemos hacer las matemáticas en nuestras cabezas. El área de la parcela es de 1 × 10\(^{3}\) hectáreas, el volumen de madera es de 3 × 10 pies de\(^{4}\) tabla por hectárea, y el valor es de 2 × 10\(^{−1}\) USD por pie de tabla. Así que podemos reescribir el cálculo como
NVC (0) = 1×10\(^{3}\) ha × 3 × 10\(^{4}\) BF/ha × 2 × 10\(^{−1}\) USD/BF.
Como todas estas cantidades se multiplican juntas, podemos reorganizar (por el principio conmutativo para la multiplicación) y agrupar las mantisas, juntar los poderes y juntar las unidades.
NVC (0) = 1 × 3 × 2 × 10\(^{3}\) × 10\(^{4}\) × 10\(^{−1}\) ha BF/ha USD/BF.
Multiplicando las mantisas a través obtenemos 6, y usando las reglas para manipular exponentes (¡mira la siguiente sección!) los exponentes se suman juntos (3 + 4 + −1) = 6. Al cancelar unidades, vemos que el USD es la única unidad restante. Entonces nuestra solución de estadio de béisbol es que el valor de la madera en pie en esta parcela de 1000 ha es de 6 × 10\(^{6}\) USD, o alrededor de $6 millones.
1. Las concentraciones de Hg medidas en el problema del programa RAFT fueron tomadas de bajo boca pequeña de tamaño “guardián”, de aproximadamente 35 cm de largo. Algunas mediciones dispersas de bajos cada vez más pequeños indicaron que había alguna relación sistemática entre las concentraciones de Hg y el tamaño de los peces en cada sitio, pero no entre sitios. ¿Qué relaciones sistemáticas predecirías que estarán presentes en peces de diferentes tamaños? ¿Qué cantidades podrían ser relevantes para este problema? Formular una hipótesis comprobable para la variación sistemática esperada en la concentración de Hg en el tejido de la lubina en función del tamaño de los peces.
2. \(^{14}\)El leucismo es albinismo parcial, que se manifiesta en los pingüinos como falta (o reducción sustancial de) pigmento en el plumaje. Un estudio de tres especies de pingüinos (Adélie, Gentoo y Barbijo) en la península antárcica buscó identificar la prevalencia de leucismo en estas diferentes especies. El artículo citado en el margen proporciona la siguiente información derivada de recuentos detallados de colonias reproductoras de pingüinos realizados durante los años 1994-1997:
Realizar las siguientes manipulaciones de los datos de prevalencia para cada especie:
a) Expresar la prevalencia como una fracción (una proporción de números enteros).
b) Convertir la prevalencia a un número decimal.
c) Convertir el número decimal a notación científica.
d) Expresar la prevalencia como porcentaje de la población.
e) Expresar la prevalencia en partes por millón (ppm).
f) Determinar el número de pingüinos leucistas en cada recuento.
\(^{14}\)Basado en el artículo “Prevalencia de leucismo en pingüinos pigocélidos de la Península Antártica” de Forrest y Naveen, Aves acuáticas 23 (2): 283-285, 2000.
3. De nuestra discusión sobre los valores maderables en pie (Sección 5.3.2), ¿en qué se diferenciaría el resultado si aprendiéramos que la parcela de tierra era de 385 hectáreas en lugar de 1000?