1.4: Resumen y lectura adicional

En este primer capítulo, preparamos el escenario para la teoría de categorías introduciendo uno de los ejemplos más simples e interesantes: los pedidos anticipados. De esta estructura aparentemente simple, surge un montón de estructuras adicionales: mapas monótonos, se reúne, se une y más. En términos de modelar fenómenos del mundo real, pensamos en los pedidos anticipados como los estados de un sistema, y los mapas monótonos como la descripción de una manera de usar un sistema para observar otro. Desde este punto de vista, los efectos generativos ocurren cuando las observaciones del conjunto no pueden deducirse combinando observaciones de las partes.

En la sección final presentamos las conexiones de Galois. Una conexión Galois, o adjunction, es un par de mapas que son como inversos, pero que se les permite estar más “relajados” al involucrar las órdenes. Quizás sorprendentemente, resulta que los adjuntos están estrechamente relacionados con uniones y cumple: si un preorden P tiene todas las uniones, entonces un mapa monótona de P es un adjunto izquierdo si y solo si conserva uniones; de manera similar para los meets y los anexos derechos.

Los dos capítulos siguientes se construyen significativamente sobre este material, pero en dos direcciones diferentes. El capítulo 2 agrega una nueva operación sobre el conjunto subyacente: introduce la idea de una estructura monoidal en los pedidos anticipados. Esto nos permite construir un elemento a b de un preorden P a partir de cualquier elemento a, b\(\in\) P, de una manera que respete el orden. Por otra parte, el Capítulo 3 agrega nueva estructura sobre el orden mismo: introduce la idea de un morfismo, que describe no sólo si a ≤ b, sino que da un nombre f por cómo a se relaciona con b. Esta estructura se conoce como categoría. Estas generalizaciones son a la vez fundamentales para la historia de la composicionalidad, y en el Capítulo 4 las veremos encontrarse en el concepto de categoría monoidal. Las lecciones que hemos aprendido en este capítulo iluminarán las generalizaciones más estructuradas en los capítulos venideros. En efecto, es un principio útil en el estudio de la teoría de categorías tratar de entender conceptos primero en el establecimiento de preordenes donde muchas veces se despoja gran parte de la complejidad y se puede desarrollar alguna intuición antes de considerar el caso general.

Pero tal vez te pueda interesar explorar algunas ideas en este capítulo en otras direcciones. Si bien no volveremos a ellos en este libro, aprendimos sobre los efectos generativos de la tesis de Elie Adam [Ada17], y allí se puede encontrar un tratamiento mucho más rico del efecto generativo. En particular, analiza las categorías abelianas y la cohomología,

proporcionando una manera de detectar efectos generativos en un entorno bastante general.
Otra aplicación importante de los pedidos anticipados, los mapas monótonos y las conexiones Galois es al análisis de lenguajes de programación. En este escenario, los preordenes describen los posibles estados de una computadora, y los mapas monótonos describen la acción de los programas, o las relaciones entre diferentes formas de modelar estados de cómputos. Las implicaciones de Galois son útiles para mostrar cómo los diferentes modelos pueden estar estrechamente relacionados, y para transportar el análisis de programas de un marco a otro. Para más detalles sobre esto,

véase el capítulo 4 del libro de texto [NNH99].