3.5: Resolver ecuaciones que involucran números enteros II
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Volvemos a resolver ecuaciones que involucran números enteros, solo que esta vez las ecuaciones serán un poco más avanzadas, requiriendo el uso de la propiedad distributiva y habilidad para combinar términos similares. Empecemos.
Ejemplo 1
Resolver para x: 7 x − 11 x = 12.
Solución
Combina términos similares.
\[ \begin{aligned} 7x-11x=12 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Original equation.}} \\ =4x=12 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Combine like terms: } 7x-11x=-4x.} \end{aligned}\nonumber \]
Para deshacer el efecto de multiplicar por −4, divida ambos lados de la última ecuación por −4.
\[ \begin{aligned} \frac{-4x}{-4} = \frac{12}{-4} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide both sides by } -4.} \\ x = -3 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify: } 12/(-4) = -3.} \end{aligned}\nonumber \]
Cheque
Sustituya −3 por x en la ecuación original.
\[ \begin{aligned} 7x-11x = 12 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Original equation.}} \\ 7(-3)-11(-3)=12 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Substitute } -3 \text{ for } x.} \\ -21 + 33 = 12 ~ & \textcolor{red}{ \text{ On the left, multiply first.}} \\ 12 = 12 ~ & \textcolor{red}{ \text{ On the left, add.}} \end{aligned}\nonumber \]
Debido a que la última línea de la comprobación es una declaración verdadera, −3 es una solución de la ecuación original.
Ejercicio
Resolver para x: −6 x − 5 x = 22.
- Contestar
-
x = −2
Ejemplo 2
Resolver para x: 12 = 5 x − (4 + x).
Solución
Para tomar lo negativo de una suma, negar cada término en la suma (cambiar cada término a su opuesto). Así, − (4 + x) = −4 − x.
\[ \begin{aligned} 12 = 5x - (4+x) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Original equation.}} \\ 12 = 5x - 4 - x ~ & \textcolor{red}{-(4+x)=-4-x.} \\ 12 = 4x-4 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Combine like terms: } 5x - x = 4x.} \end{aligned}\nonumber \]
Para deshacer el efecto de restar 4, suma 4 a ambos lados de la última ecuación.
\[ \begin{aligned} 12 + 4 = 4x-4+4 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add 4 to both sides.}} \\ 16 = 4x ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify both sides.}} \end{aligned}\nonumber \]
Para deshacer el efecto de multiplicar por 4, divida ambos lados de la última ecuación por 4.
\ [\ begin {aligned}\ frac {16} {4} =\ frac {4x} {4} ~ &\ textcolor {rojo} {\ text {Divide ambos lados por 4.}}\\ 4 = x ~ &\ textcolor {rojo} {\ text {Simplificar: 16/4=4.} \ end {alineado}]
Cheque
Sustituya 4 por x en la ecuación original.
\[ \begin{aligned} 12 = 5x - (4+x) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Original equation.}} \\ 12 = 5(4) - (4+4) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Substitute 4 for } x.} \\ 12 = 20 - 8 ~ & \textcolor{red}{ \text{ On the right, 5(4) = 20 and evaluate}} \\ ~ & \textcolor{red}{ \text{ parentheses: } 4+4=8.} \\ 12 = 12 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify.}} \end{aligned}\nonumber \]
Debido a que la última línea de la comprobación es una declaración verdadera, 4 es una solución de la ecuación original.
Ejercicio
Resolver para x: 11 = 3 x − (1 − x)
- Contestar
-
x = 3
Variables en ambos lados
Las variables pueden ocurrir en ambos lados de la ecuación.
Gol
Aísle los términos que contienen la variable para la que está resolviendo en un lado de la ecuación.
Ejemplo 3
Resolver para x: 5 x = 3 x − 18.
Solución
Para aislar las variables en un lado de la ecuación, restar 3 x de ambos lados de la ecuación y simplificar.
\[ \begin{aligned} 5x = 3x-18 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Original equation.}} \\ 5x-3x=3x-18-3x ~ & \textcolor{red}{ \text{ Subtract } 3x \text{ from both sides.}} \\ 2x = -18 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Combine like terms: } 5x - 3x = 2x } \\ ~ & \textcolor{red}{ \text{ and } 3x - 3x = 0.} \end{aligned}\nonumber \]
Tenga en cuenta que la variable ahora está aislada en el lado izquierdo de la ecuación. Para deshacer el efecto de multiplicar por 2, divida ambos lados de la última ecuación por 2.
\[ \begin{aligned} \frac{2x}{2} = \frac{-18}{2} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide both sides by 2.}} \\ x = -9 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify: } -18/2 = =-9.} \end{aligned}\nonumber \]
Cheque
Sustituya −9 por x en la ecuación original.
\[ \begin{aligned} 5x = 3x - 18 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Original equation.}} \\ 5(-9) = 3(-9)-18 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Substitute } -9 \text{ for } x.} \\ -45 = -27-18 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply first on both sides.}} \\ -45 = -45 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Subtract on the right: } -27 - 18 = -45.} \end{aligned}\nonumber \]
Debido a que la última línea de la comprobación es una declaración verdadera, −9 es una solución de la ecuación original.
Ejercicio
Resolver para x: 4 x − 3 = x
- Contestar
-
x = 1
Ejemplo 4
Resolver para x: 5 x =3+6 x.
Solución
Para aislar las variables en un lado de la ecuación, restar 6 x de ambos lados de la ecuación y simplificar.
\[ \begin{aligned} 5x = 3+6x ~ & \textcolor{red}{ \text{ Original equation.}} \\ 5x - 6x = 3+6x - 6x ~ & \textcolor{red}{ \text{ Subtract } 6x \text{ from both sides.}} \\ -x=3 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Combine like terms: } 5x - 6x = -x} \\ ~ & \textcolor{red}{ \text{ and } 6x - 6x = 0.} \end{aligned}\nonumber \]
Tenga en cuenta que la variable ahora está aislada en el lado izquierdo de la ecuación.
Hay un par de formas en las que podemos terminar esta solución. Recuerde, − x es lo mismo que (−1) x, así que podríamos deshacer los efectos de multiplicar por −1 dividiendo ambos lados de la ecuación por −1. Multiplicar ambos lados de la ecuación por −1 funcionará igualmente bien. Pero quizás la forma más fácil de proceder es simplemente negar ambos lados de la ecuación.
\[ \begin{aligned} -(-x) = -3 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Negate both sides.}} \\ x = -3 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify: } -(-x) = x.} \end{aligned}\nonumber \]
Cheque
Sustituya −3 por x en la ecuación original.
\[ \begin{aligned} 5x = 3+6x ~ & \textcolor{red}{ \text{ Original equation.}} \\ 5(-3) = 3+6(-3) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Substitute } -3 \text{ for } x.} \\ -15 = 3-18 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply first on both sides.}} \\ -15 = -15 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Subtract on the right: } 3 -8 = -15.} \end{aligned}\nonumber \]
Debido a que la última línea de la comprobación es una declaración verdadera, −3 es una solución de la ecuación original.
Ejercicio
Resolver para x: 7 x = 18 + 9 x
- Contestar
-
x = −9
Tratar con −x.
Si tu ecuación tiene la forma
− x = c,
donde c es algún número entero, tenga en cuenta que esto es equivalente a la ecuación (−1) x = c. Por lo tanto, al dividir ambos lados por −1 se producirá una solución para x. Multiplicar ambos lados por −1 funciona igualmente bien. Sin embargo, quizás lo más fácil de hacer es negar cada lado, produciendo
− (− x) = − c, que es equivalente a x = − c.
Ejemplo 5
Resolver para x: 6x − 5 = 12x + 19.
Solución
Para aislar las variables en un lado de la ecuación, restar 12x de ambos lados de la ecuación y simplificar.
\[ \begin{aligned} 6x-5 = 12x+19 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Original equation.}} \\ 6x-5-12x = 12x + 19 - 12x ~ & \textcolor{red}{ \text{ Subtract } 12x \text{ from both sides.}} \\ -6x - 5 = 19 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Combine like terms: } 6x-12x=-6x} \\ ~ & \textcolor{red}{ \text{ and } 12x-12x = 0.} \end{aligned}\nonumber \]
Tenga en cuenta que la variable ahora está aislada en el lado izquierdo de la ecuación. A continuación, para “deshacer” restando 5, suma 5 a ambos lados de la ecuación.
\[ \begin{aligned} -6x -5+5 = 19+5 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add 5 to both sides.}} \\ -6x = 24 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify: } -5+5=0 \text{ and } 19+5 = 24.} \end{aligned}\nonumber \]
Finalmente, para “deshacer” multiplicando por −6, divida ambos lados de la ecuación por −6.
\[ \begin{aligned} \frac{-6x}{-6} = \frac{24}{-6} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide both sides by } -6.} \\ x = -4 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify: } 24/(-6)=-4.} \end{aligned}\nonumber \]
Cheque. Sustituir −4 por x en la ecuación original
\[ \begin{aligned} 6x-5=12x+19 ~ & \textcolor{red}{ Original equation.}} \\ 6(-4)-5 = 12(-4)+19 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Substitute } -4 \text{ for } x.} \\ -24-5 = -48 + 19 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply first on both sides.}} \\ -29 = -29 ~ & \textcolor{red}{ Add: } -24 - 5 = -29 \text{ and } -48 + 19 = -29.} \end{aligned}\nonumber \]
Debido a que la última línea de la comprobación es una declaración verdadera, −4 es una solución de la ecuación original.
Ejercicio
Resolver para x: 2 x + 3 = 18 − 3 x
- Contestar
-
x = 3
Ejemplo 6
Resolver para x: 2 (3 x + 2) − 3 (4 − x) = x + 8.
Solución
Utilice la propiedad distributiva para eliminar paréntesis en el lado izquierdo de la ecuación.
\[ \begin{aligned} 2(3x+2)-3(4-x)=x+8 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Original equation.}} \\ 6x+4 - 12 + 3x = x + 8 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Use the distributive property.}} \\ 9x - 8 = x + 8 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Combine like terms: } 6x + 3x = 9x} \\ ~ & \textcolor{red}{ \text{ and } 4-12 = -8.} \end{aligned}\nonumber \]
Aísle las variables de la izquierda restando x de ambos lados de la ecuación
\[ \begin{aligned} 9x-8 -x = x + 8 - x ~ & \textcolor{red}{ \text{ Subtract } x \text{ from both sides.}} \\ 8x - 8 = 8 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Combine like terms: } 9x-x = 8x} \\ ~ & \textcolor{red}{ \text{ and } x-x=0.} \end{aligned}\nonumber \]
Tenga en cuenta que la variable ahora está aislada en el lado izquierdo de la ecuación. A continuación, para “deshacer” restando 8, suma 8 a ambos lados de la ecuación.
\[ \begin{aligned} 8x-8+8=8+8 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add 8 to both sides.}} \\ 8x = 16 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify: } -8+8=0 \text{ and } 8+8 = 16.} \end{aligned}\nonumber \]
Por último, para “deshacer” multiplicando por 8, dividir ambos lados de la ecuación por 8.
\[ \begin{aligned} \frac{8x}{8} = \frac{16}{8} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide both sides by 8.}} \\ x = 2 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify: } 16/8=2.} \end{aligned}\nonumber \]
Cheque. Sustituya 2 por x en la ecuación original.
\[ \begin{aligned} \end{aligned}\nonumber \]
Debido a que la última línea de la comprobación es una declaración verdadera, 2 es una solución de la ecuación original.
Ejercicio
Resolver para x: 3 (2 x − 4) − 2 (5 − x) = 18
- Contestar
-
x = 5
Ejercicios
En los Ejercicios 1-16, resuelve la ecuación.
1. −9x + x = −8
2. 4x − 5x = −3
3. −4=3x − 4x
4. −6 = −5x + 7x
5. 27x + 51 = −84
6. −20x + 46 = 26
7. 9=5x + 9 − 6x
8. −6 = x + 3 − 4x
9. 0= −18x + 18
10. 0= −x + 71
11. 41 = 28x + 97
12. −65 = −x − 35
13. 8x − 8 − 9x = −3
14. 6x + 7 − 9x = 4
15. −85x + 85 = 0
16. 17x − 17 = 0
En los Ejercicios 17-34, resuelve la ecuación.
17. −6x = −5x − 9
18. −5x = −3x − 2
19. 6x − 7=5x
20. 3x +8= −5x
21. 4x − 3=5x − 1
22. x − 2=9x − 2
23. −3x +5=3x − 1
24. −5x +9= −4x − 3
25. −5x = −3x + 6
26. 3x = 4x − 6
27. 2x − 2=4x
28. 6x − 4=2x
29. −6x +8= −2x
30. 4x − 9=3x
31. 6x = 4x − 4
32. −8x = −6x + 8
33. −8x +2= −6x + 6
34. −3x +6= −2x − 5
En los Ejercicios 35-52, resuelve la ecuación.
35. 1 − (x − 2) = −3
36. 1 − 8 (x − 8) = 17
37. −7x + 6 (x + 8) = −2
38. −8x + 4 (x + 7) = −12
39. 8 (−6x − 1) = −8
40. −7 (−2x − 4) = −14
41. −7 (−4x − 6) = −14
42. −2 (2x + 8) = −8
43. 2 − 9 (x − 5) = −16
44. 7 − 2 (x + 4) = −1
45. 7x + 2 (x + 9) = −9
46. −8x + 7 (x − 2) = −14
47. 2 (−x + 8) = 10
48. 2 (−x − 2) = 10
49. 8 + 2 (x − 5) = −4
50. −5 + 2 (x + 5) = −5
51. 9x − 2 (x + 5) = −10
52. −8x − 5 (x − 3) = 15
En los Ejercicios 53-68, resuelve la ecuación.
53. 4 (−7x + 5) + 8 = 3 (−9x − 1) − 2
54. −4 (−x + 9) + 5 = − (−5x − 4) − 2
55. −8 (−2x − 6) = 7 (5x − 1) − 2
56. 5 (−4x − 8) = −9 (−6x + 4) − 4
57. 2 (2x − 9) + 5 = −7 (−x − 8)
58. −6 (−4x − 9) + 4 = −2 (−9x − 8)
59. 6 (−3x + 4) − 6 = −8 (2x + 2) − 8
60. −5 (5x − 9) − 3 = −4 (2x + 5) − 6
61. 2 (−2x − 3) = 3 (−x + 2)
62. −2 (7x + 1) = −2 (3x − 7)
63. −5 (−9x + 7) + 7 = − (−9x − 8)
64. 7 (−2x − 6) + 1 = 9 (−2x + 7)
65. 5 (5x − 2) = 4 (8x + 1)
66. 5 (−x − 4) = − (−x + 8)
67. −7 (9x − 6) = 7 (5x + 7) − 7
68. −8 (2x + 1) = 2 (−9x + 8) − 2
RESPUESTAS
1. 1
3. 4
5. −5
7. 0
9. 1
11. −2
13. −5
15. 1
17. 9
19. 7
21. −2
23. 1
25. −3
27. −1
29. 2
31. −2
33. −2
35. 6
37. 50
39. 0
41. −2
43. 7
45. −3
47. 3
49. −1
51. 0
53. 33
55. 3
57. −23
59. 21
61. −12
63. 1
65. −2
67. 0