7.6: Interés
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Saldo. El saldo es el monto actual en una cuenta o el monto actual adeudado en un préstamo.
Director. El principal es la cantidad inicial invertida o prestada.
Tarifa. Esta es la tasa de interés, generalmente dada como porcentaje anual.
Tiempo. Este es el tiempo de duración del préstamo o inversión. Si la tasa de interés es por año, entonces el tiempo debe medirse en años.
Para calcular el interés simple de una cuenta o préstamo, utilice la siguiente fórmula.
Interés Sencillo
El interés simple se calcula con la fórmula
\[I = P rt,\nonumber \]
donde I es el interés, P es el principal, r es la tasa de interés, y t es el tiempo.
Ejemplo 1
¿Cuánto interés simple se gana si se invierten $1,200 al 4% anual durante 5 años?
Solución
Configura la fórmula para un interés simple.
\[I = P rt\nonumber \]
El principal es P = $1200, la tasa de interés es r = 4% = 0.04 anual, y el tiempo o duración de la inversión es t = 5 años. Sustituya cada uno de estos números en la fórmula de interés simple\(I = P rt\).
\[ \begin{aligned} I = (1200)(0.04)(5) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Substitute 1200 for } P, 0.04 \text{ for } r, \text{ and } 5 \text{ for } t.} \\ = 240 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply.}} \end{aligned}\nonumber \]
De ahí que el interés ganado en 5 años sea de 240 dólares.
Ejercicio
¿Cuánto interés simple se gana si se invierten $2,500 al 5% anual durante 8 años?
- Responder
-
$1,000
Para encontrar el saldo, debemos sumar los intereses al principal.
Cálculo del Saldo
Para encontrar el saldo, agregue los intereses al principal. Es decir,
\[ \text{Balance } = \text{ Principal } + \text{ Interest.}\nonumber \]
Ejemplo 2
Un contratista toma prestados $5,000 a 4.5% por año. El interés devengado es interés simple. La duración del préstamo es de 6 meses. ¿Cuánto tendrá que devolver el contratista al finalizar el periodo de préstamo de 6 meses?
Solución
Configura la fórmula para un interés simple.
\[I = P rt\nonumber \]
El principal es P = $5000, la tasa de interés es r = 4.5% = 0.045 anual, y el tiempo o duración del préstamo es t = 6 meses. Debido a que la tasa de interés es por año, el tiempo debe cambiarse a años. Es decir,
\[ \begin{aligned} \text{6 months = 6 months} \cdot \frac{1 \text{ yr}}{12 \text{ months}} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Apply conversion factor.}} \\ = 6 \cancel{ \text{months}} \cdot \frac{1 \text{ yr}}{12 \cancel{ \text{months}}} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Cancel common unit.}} \\ = \frac{6}{12} \text{ yr} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply numerators; multiply denominators.}} \\ = \frac{1}{2} \text{ yr} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Reduce.}} \end{aligned}\nonumber \]
Sustituir estos números por la fórmula de interés simple\(I = P rt\).
\[ \begin{aligned} I = (5000)(0.045) \left( \frac{1}{2} \right) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Substitute 5000 for } P,~ 0.045 \text{ for } r,~ \text{ and } 1/2 \text{ for } t.} \\ =112.50 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply.}} \end{aligned}\nonumber \]
De ahí que el interés devengado en 6 meses sea de 112.50 dólares. Por lo tanto,
\[ \begin{aligned} \text{Amount owed } & ~ = \text{ Principal } + \text{ Interest } \\ ~ & = 5000 + 112.50 \\ ~ & = 5112.50 \end{aligned}\nonumber \]
Es decir, el monto adeudado al término del periodo de préstamo de 6 meses es de $5,112.50.
Ejercicio
Un contador toma prestados $8,000 a 5.5% anual. El interés devengado es interés simple. La duración del préstamo es de 3 meses. ¿Cuánto tendrá que devolver el aacountant al finalizar el periodo de préstamo de 3 meses?
- Responder
-
$8,110
Ejemplo 3
El dueño de un negocio saca un préstamo de 4 meses a 5.4% anual de interés simple. Al término del periodo de préstamo de 4 meses, el interés adeudado es de 90 dólares. ¿Cuál fue el monto principal prestado?
Solución
Configura la fórmula para un interés simple.
\[I = P rt\nonumber \]
El interés adeudado es I = $90, la tasa de interés es r = 5.4% = 0.054 por año, y el tiempo o duración del préstamo es t = 4 meses. Debido a que la tasa de interés es por año, el tiempo debe cambiarse a años. Es decir,
\[ \begin{aligned} 4 \text{ months } = 4 \text{ months } \cdot \frac{ 1 \text{ yr}}{12 \text{ months}} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Apply conversion factor.}} \\ = 4 \cancel{ \text{months}} \cdot \frac{1 \text{ yr}}{12 \cancel{ \text{months}}} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Cancel common unit.}} \\ = \frac{4}{12} \text{yr} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply numerators; multiply denominators.}} \\ = \frac{1}{3} \text{yr} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Reduce.}} \end{aligned}\nonumber \]
Sustituir estos números por la fórmula de interés simple\(I = P rt\).
\[ \begin{aligned} 90 = P(0.054) \left( \frac{1}{3} \right) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Substitute 90 for } I, ~ 0.054 \text{ for } r, ~ \text{ and } 1/3 \text{ for } t.} \\ 90 = \frac{0.054}{3} P ~ & \textcolor{red}{ \text{ Rearrange order of multiplication.}} \\ 90 = 0.018P ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide: } 0.054/3=0.018.} \end{aligned}\nonumber \]
Resuelve la ecuación para P.
\[ \begin{aligned} \frac{90}{0.018} = \frac{0.018P}{0.018} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide both sides by 0.018.}} \\ 5000 = P ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide: 90/0.018 = 5000.}} \end{aligned}\nonumber \]
Así, el monto principal prestado fue de $5,000.
Ejercicio
El dueño de Alioto Motors saca un préstamo de 8 meses a 4% anual de interés simple. Al término del periodo de préstamo de 8 meses, el interés adeudado es de 80 dólares. ¿Cuál fue el monto principal prestado?
- Responder
-
$3,000
Ejemplo 4
El dueño de una tienda de mascotas toma prestados $8,000 por 6 meses. Al término del periodo de préstamo de 6 meses, el interés adeudado es de $200. ¿Cuál era la tasa de interés simple?
Solución
Configura la fórmula para un interés simple.
\[I = P rt\nonumber \]
El principal es P = $8, 000, el interés adeudado es I = $200, y la duración del préstamo es t = 6 meses. Como vimos en el Ejemplo 2, 6 meses equivale a 1/2 año. Sustituir estos números por la fórmula de interés simple\(I = P rt\).
\[ \begin{aligned} 200 = (8000)(r) \left( \frac{1}{2} \right) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Substitute 8000 for } P, ~ 200 \text{ for } I, \text{ and } 1/2 \text{ for } t.} \\ 200 = \frac{8000}{2} r ~ & \textcolor{red}{ \text{ Rearrange order of multiplication.}} \\ 200 = 4000r ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide: 8000/2 = 4000. }} \end{aligned}\nonumber \]
Resuelve esta última ecuación para r.
\[ \begin{aligned} \frac{200}{4000} = \frac{4000r}{4000} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide both sides by 4000.}} ~ \\ \frac{1}{20} = r ~ & \textcolor{red}{ \text{ Reduce: Divide numerator and denominator by 200.}} \end{aligned}\nonumber \]
Tenemos que cambiar r a un por ciento. Esto se logra fácilmente creando una fracción equivalente con un denominador de 100.
\[ \begin{aligned} \frac{1}{20} & = \frac{1 \cdot \textcolor{red}{5}}{20 \cdot \textcolor{red}{5}} \\ ~ & = \frac{5}{100} \\ ~ & = 5 \% \end{aligned}\nonumber \]
Así, la tasa de interés simple es del 5%.
Ejercicio
Un fabricante toma prestados $10,000 por 4 años. Al término del periodo de préstamo de 4 años, el interés adeudado es de $3,200. ¿Cuál era la tasa de interés simple?
- Responder
-
8%
Ampliar la fórmula de interés simple
En el Ejemplo 2, tuvimos que sumar los intereses al principal para descubrir el saldo adeudado al final del préstamo. Es decir,
\[ \text{Balance } = \text{ Principal } + \text{ Interest,}\nonumber \]
o en símbolos,
\[A = P + I,\nonumber \]
donde A es el saldo, P es el principal, y yo es el simple interés. Porque\(I = P rt\), sustituimos\(P rt\) a I en la última ecuación para obtener
\[A = P + P rt.\nonumber \]
Utilice la propiedad distributiva para facturar P de cada término a la derecha.
\[ \begin{array}{c} A = P \cdot 1 + P \cdot rt \\ A = P(1 + rt). \end{array}\nonumber \]
Fórmula de equilibrio usando interés simple
Si se aplica interés simple, entonces el saldo viene dado por la fórmula
\[A = P(1 + rt),\nonumber \]
donde A es el saldo, P es el principal, r es la tasa de interés simple y t es la duración del préstamo o inversión.
Ejemplo 5
Si se invierten $4,000 a 6.25% de interés simple, ¿cuál será el saldo después de 2 años?
Solución
Comience con la fórmula de saldo para un interés simple.
\[A = P(1 + rt)\nonumber \]
El principal es P = $4, 000, la tasa es r = 6.25% = 0.0625 por año, y el tiempo es t = 2 años. Sustituir estos números en la fórmula de saldo\(A = P(1 + rt)\).
\[ \begin{aligned} A = 4000 1 + (0.0625)(2) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Substitute 4000 for } P, ~ 0.0625 \text{ for } r, \text{ and } 2 \text{ for } t.} \\ A = 4000(1 + 0.125) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Order of Ops: } 0.0625 \cdot 2=0.125.} \\ A = 4000(1.125) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Order of Ops: } 1 + 0.125 = 1.125.} \\ A = 4500 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply: } 4000 · 1.125 = 4500.} \end{aligned}\nonumber \]
De ahí que el saldo al cierre de dos años sea A = 4.500 dólares.
Ejercicio
Si se invierten $8,000 a 4.25% de interés simple, ¿cuál será el saldo después de 4 años?
- Responder
-
$9,360
Ejemplo 6
El saldo adeudado en un préstamo a 2 años es de $3,360. Si la tasa de interés simple es del 6%, ¿cuál fue el principal prestado?
Solución
Comience con la fórmula de saldo para un interés simple.
\[A = P(1 + rt)\nonumber \]
El saldo es A = $3360, la tasa es r = 6% = 0.06 anual, y el tiempo es t = 2 años. Sustituir estos números en la fórmula de saldo\(A = P(1 + rt)\).
\[ \begin{aligned} 3360 = P \left( 1 + (0.06)(2) \right) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Substitute 3360 for } A, ~ 0.06 \text{ for } r, \text{ and } 2 \text{ for } t.} \\ 3360 = P(1 + 0.12) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Order of Ops: } 0.06 \cdot 2=0.12.} \\ 3360 = P(1.12) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Order of Ops: } 1 + 0.12 = 1.12.} \\ 3360 = 1.12P ~ & \textcolor{red}{ \text{ Change order of multiplication.}} \end{aligned}\nonumber \]
Resuelve esta última ecuación para P.
\[ \begin{aligned} \frac{3360}{1.12} = \frac{1.12P}{1.12} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide both sides by 1.12.}} \\ 3000 = P ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide: } 3360/1.12 = 3000.} \end{aligned}\nonumber \]
De ahí que el principal prestado fue P = $3, 000.
Ejercicio
El saldo adeudado en un préstamo a 4 años es de $6,300. Si la tasa de interés simple es del 10%, ¿cuál fue el principal prestado?
- Responder
-
$4,500
Ejemplo 7
El saldo adeudado en un préstamo a 2 años es de $2,200. Si el principal prestado era de 2.000 dólares, ¿cuál era la tasa de interés simple?
Solución
Comience con la fórmula de saldo para un interés simple.
\[A = P(1 + rt)\nonumber \]
El saldo es A = $2, 200, el principal es P = $2, 000, y el tiempo es t = 2 años. Sustituir estos números en la fórmula de saldo\(A = P(1 + rt)\).
\[ \begin{aligned} 2200 = 2000(1 + (r)(2)) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Substitute 2200 for } A, ~ 2000 \text{ for } P, \text{ and } t = 2.} \\ 2200 = 2000(1 + 2r) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Change the order of muliplication.}} \end{aligned}\nonumber \]
Resuelve esta última ecuación para r.
\[ \begin{aligned} 2200 = 2000 + 4000r ~ & \textcolor{red}{ \text{ Distribute 2000. }} \\ 2200 − 2000 = 2000 + 4000r − 2000 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Subtract 2000 from both sides.}} \\ 200 = 4000r ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify both sides.}} \\ \frac{200}{4000} = \frac{4000r}{4000} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide both sides by 4000.}} \\ \frac{1}{20} = r ~ & \textcolor{red}{ \text{ Reduce: 200/4000 = 1/20. }} \end{aligned}\nonumber \]
Por supuesto, r debe cambiarse a un porcentaje. En el Ejemplo 4, encontramos esta misma fracción.
\[r = \frac{1}{20} = \frac{5}{100} = 5 \%\nonumber \]
De ahí que la tasa de interés simple sea r = 5%.
Ejercicio
El saldo adeudado en un préstamo a 2 años es de $4,640. Si el principal prestado era de 4.000 dólares, ¿cuál era la tasa de interés simple?
- Contestar
-
8%
Ejercicios
1. ¿Cuánto interés simple se gana si se invierten $7,600 al 8% anual durante 7 años?
2. ¿Cuánto interés simple se gana si se invierten $2,500 al 5% anual durante 6 años?
3. ¿Cuánto interés simple se gana si se invierten $5,800 al 3.25% anual durante 4 años?
4. ¿Cuánto interés simple se gana si se invierten $2,000 al 8.5% anual por 6 años?
5. ¿Cuánto interés simple se gana si se invierten 2.400 dólares al 8.25% anual por 5 años?
6. ¿Cuánto interés simple se gana si se invierten $4,000 al 6.5% anual durante 6 años?
7. ¿Cuánto interés simple se gana si se invierten $4,000 al 7.25% anual por 6 años?
8. ¿Cuánto interés simple se gana si se invierten $8,200 al 8% anual durante 6 años?
9. El dueño de un negocio toma prestados $3,600 por 2 meses a una tasa de interés simple de 4.5% anual. Al finalizar el periodo de préstamo de 2 meses, ¿cuánto interés se adeuda?
10. El dueño de un negocio toma prestados $3,200 por 4 meses a una tasa de interés simple de 9% por año. Al finalizar el periodo de préstamo de 4 meses, ¿cuánto interés se adeuda?
11. El dueño de un negocio toma prestados $2,400 por 6 meses a una tasa de interés simple de 2% por año. Al finalizar el periodo de préstamo de 6 meses, ¿cuánto interés se adeuda?
12. El dueño de un negocio toma prestados $2,200 por 4 meses a una tasa de interés simple de 3% anual. Al finalizar el periodo de préstamo de 4 meses, ¿cuánto interés se adeuda?
13. El dueño de un negocio saca un préstamo de 6 meses a una tasa de interés simple de 8% anual. Al término del periodo de préstamo de 6 meses, el interés adeudado es de 68 dólares. ¿Cuál fue el monto principal prestado?
14. El dueño de un negocio saca un préstamo de 4 meses a una tasa de interés simple de 6% anual. Al término del periodo de préstamo de 4 meses, el interés adeudado es de 194 dólares. ¿Cuál fue el monto principal prestado?
15. El dueño de un negocio toma prestados $3,600 por 3 meses a una tasa de interés simple de 8% por año. Al finalizar el periodo de préstamo de 3 meses, ¿cuánto interés se adeuda?
16. El dueño de un negocio toma prestados $2,400 por 4 meses a una tasa de interés simple de 8.25% anual. Al finalizar el periodo de préstamo de 4 meses, ¿cuánto interés se adeuda?
17. El dueño de un negocio saca un préstamo de 2 meses a una tasa de interés simple de 8.5% anual. Al término del periodo de préstamo de 2 meses, el interés adeudado es de 85 dólares. ¿Cuál fue el monto principal prestado?
18. El dueño de un negocio saca un préstamo de 3 meses a una tasa de interés simple de 2% por año. Al término del periodo de préstamo de 3 meses, el interés adeudado es de 45 dólares. ¿Cuál fue el monto principal prestado?
19. El dueño de un negocio toma prestados $4,000 por 3 meses. Al término del periodo de préstamo de 3 meses, el interés adeudado es de 35 dólares. ¿Cuál era la tasa de interés anual simple (como porcentaje)?
20. El dueño de un negocio toma prestados $4,200 por 4 meses. Al término del periodo de préstamo de 4 meses, el interés adeudado es de 63 dólares. ¿Cuál era la tasa de interés anual simple (como porcentaje)?
21. El dueño de un negocio saca un préstamo de 6 meses a una tasa de interés simple de 7% anual. Al término del periodo de préstamo de 6 meses, el interés adeudado es de 287 dólares. ¿Cuál fue el monto principal prestado?
22. El dueño de un negocio saca un préstamo de 6 meses a una tasa de interés simple de 2% por año. Al término del periodo de préstamo de 6 meses, el interés adeudado es de $40. ¿Cuál fue el monto principal prestado?
23. El dueño de un negocio toma prestados $7,300 por 2 meses. Al término del periodo de préstamo de 2 meses, el interés adeudado es de 73 dólares. ¿Cuál era la tasa de interés anual simple (como porcentaje)?
24. El dueño de un negocio toma prestado $5,600 por 6 meses. Al término del periodo de préstamo de 6 meses, el interés adeudado es de 182 dólares. ¿Cuál era la tasa de interés anual simple (como porcentaje)?
25. El dueño de un negocio toma prestados $3,200 por 6 meses. Al término del periodo de préstamo de 6 meses, el interés adeudado es de $96. ¿Cuál era la tasa de interés anual simple (como porcentaje)?
26. El dueño de un negocio toma prestados $5,700 por 4 meses. Al término del periodo de préstamo de 4 meses, el interés adeudado es de 133 dólares. ¿Cuál era la tasa de interés anual simple (como porcentaje)?
27. Supongamos que $6,700 se invierte a 9% de interés simple al año. ¿Cuál será el saldo después de 4 años?
28. Supongamos que $5,200 se invierte a 3.5% de interés simple al año. ¿Cuál será el saldo después de 2 años?
29. Supongamos que $1,600 se invierte a 2% de interés simple al año. ¿Cuál será el saldo después de 3 años?
30. Supongamos que $8,100 se invierte a 8.25% de interés simple al año. ¿Cuál será el saldo después de 4 años?
31. Supongamos que $8,900 se invierte a 2.5% de interés simple al año. ¿Cuál será el saldo después de 2 años?
32. Supongamos que $9,800 se invierte a 2.75% de interés simple al año. ¿Cuál será el saldo después de 6 años?
33. Supongamos que $5,400 se invierte a 4.25% de interés simple al año. ¿Cuál será el saldo después de 2 años?
34. Supongamos que $8,400 se invierte a 4.5% de interés simple al año. ¿Cuál será el saldo después de 4 años?
35. El saldo de un préstamo a 6 años es de $10,222. Si el principal prestado era de $7,600, ¿cuál era la tasa de interés simple (como porcentaje)?
36. El saldo de un préstamo a 8 años es de $12,264. Si el principal prestado era de $8,400, ¿cuál era la tasa de interés simple (como porcentaje)?
37. El saldo de un préstamo a 5 años es de $4,640. Si la tasa de interés simple es de 9% anual, ¿cuál fue el principal prestado?
38. El saldo de un préstamo a 6 años es de $6,838. Si la tasa de interés simple es de 5.25% anual, ¿cuál fue el principal prestado?
39. El saldo de un préstamo a 9 años es de $9,593. Si la tasa de interés simple es de 9% anual, ¿cuál fue el principal prestado?
40. El saldo de un préstamo a 8 años es de $10,032. Si la tasa de interés simple es de 4% anual, ¿cuál fue el principal prestado?
41. El saldo de un préstamo a 3 años es de $5,941. Si el principal prestado era de $5,200, ¿cuál era la tasa de interés simple (como porcentaje)?
42. El saldo de un préstamo a 2 años es de $9,589. Si el principal prestado era de $8,600, ¿cuál era la tasa de interés simple (como porcentaje)?
43. El saldo de un préstamo a 5 años es de $5,400. Si el principal prestado era de $4,000, ¿cuál era la tasa de interés simple (como porcentaje)?
44. El saldo de un préstamo a 6 años es de 12,635 dólares. Si el principal prestado era de $9,500, ¿cuál era la tasa de interés simple (como porcentaje)?
45. El saldo de un préstamo a 5 años es de 11,550 dólares. Si la tasa de interés simple es de 7.5% anual, ¿cuál fue el principal prestado?
46. El saldo de un préstamo a 8 años es de $3,160. Si la tasa de interés simple es de 7.25% anual, ¿cuál fue el principal prestado?
47. El saldo de un préstamo a 4 años es de $5,720. Si el principal prestado era de 4.400 dólares, ¿cuál era la tasa de interés simple (como porcentaje)?
48. El saldo de un préstamo a 8 años es de $4,422. Si el principal prestado era de $3,300, ¿cuál era la tasa de interés simple (como porcentaje)?
49. El saldo de un préstamo a 8 años es de $9,768. Si la tasa de interés simple es de 4% anual, ¿cuál fue el principal prestado?
50. El saldo de un préstamo a 2 años es de $8,322. Si la tasa de interés simple es de 7% anual, ¿cuál fue el principal prestado?
RESPUESTAS
1. $4,256
3. $754
5. $990
7. $1,740
9. $27
11. $24
13. $1,700
15. $72
17. $6, 000
19. 3.5%
21. $8,200
23. 6%
25. 6%
27. $9,112
29. $1,696
31. $9,345
33. $5,859
35. 5.75%
37. $3,200
39. $5,300
41. 4.75%
43. 7%
45. $8,400
47. 7.5%
49. $7,400