7.6: Interés
- Page ID
- 113430
Una forma de otorgar intereses se llama interés simple. Antes de proporcionar la fórmula utilizada para calcular el interés simple, primero definamos algunos términos básicos.
Saldo. El saldo es el monto actual en una cuenta o el monto actual adeudado en un préstamo.
Director. El principal es la cantidad inicial invertida o prestada.
Tarifa. Esta es la tasa de interés, generalmente dada como porcentaje anual.
Tiempo. Este es el tiempo de duración del préstamo o inversión. Si la tasa de interés es por año, entonces el tiempo debe medirse en años.
Para calcular el interés simple de una cuenta o préstamo, utilice la siguiente fórmula.
Interés Sencillo
El interés simple se calcula con la fórmula
\[I = P rt,\nonumber \]
donde I es el interés, P es el principal, r es la tasa de interés, y t es el tiempo.
Ejemplo 1
¿Cuánto interés simple se gana si se invierten $1,200 al 4% anual durante 5 años?
Solución
Configura la fórmula para un interés simple.
\[I = P rt\nonumber \]
El principal es P = $1200, la tasa de interés es r = 4% = 0.04 anual, y el tiempo o duración de la inversión es t = 5 años. Sustituya cada uno de estos números en la fórmula de interés simple\(I = P rt\).
\[ \begin{aligned} I = (1200)(0.04)(5) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Substitute 1200 for } P, 0.04 \text{ for } r, \text{ and } 5 \text{ for } t.} \\ = 240 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply.}} \end{aligned}\nonumber \]
De ahí que el interés ganado en 5 años sea de 240 dólares.
Ejercicio
¿Cuánto interés simple se gana si se invierten $2,500 al 5% anual durante 8 años?
- Responder
-
$1,000
Para encontrar el saldo, debemos sumar los intereses al principal.
Cálculo del Saldo
Para encontrar el saldo, agregue los intereses al principal. Es decir,
\[ \text{Balance } = \text{ Principal } + \text{ Interest.}\nonumber \]
Ejemplo 2
Un contratista toma prestados $5,000 a 4.5% por año. El interés devengado es interés simple. La duración del préstamo es de 6 meses. ¿Cuánto tendrá que devolver el contratista al finalizar el periodo de préstamo de 6 meses?
Solución
Configura la fórmula para un interés simple.
\[I = P rt\nonumber \]
El principal es P = $5000, la tasa de interés es r = 4.5% = 0.045 anual, y el tiempo o duración del préstamo es t = 6 meses. Debido a que la tasa de interés es por año, el tiempo debe cambiarse a años. Es decir,
\[ \begin{aligned} \text{6 months = 6 months} \cdot \frac{1 \text{ yr}}{12 \text{ months}} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Apply conversion factor.}} \\ = 6 \cancel{ \text{months}} \cdot \frac{1 \text{ yr}}{12 \cancel{ \text{months}}} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Cancel common unit.}} \\ = \frac{6}{12} \text{ yr} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply numerators; multiply denominators.}} \\ = \frac{1}{2} \text{ yr} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Reduce.}} \end{aligned}\nonumber \]
Sustituir estos números por la fórmula de interés simple\(I = P rt\).
\[ \begin{aligned} I = (5000)(0.045) \left( \frac{1}{2} \right) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Substitute 5000 for } P,~ 0.045 \text{ for } r,~ \text{ and } 1/2 \text{ for } t.} \\ =112.50 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply.}} \end{aligned}\nonumber \]
De ahí que el interés devengado en 6 meses sea de 112.50 dólares. Por lo tanto,
\[ \begin{aligned} \text{Amount owed } & ~ = \text{ Principal } + \text{ Interest } \\ ~ & = 5000 + 112.50 \\ ~ & = 5112.50 \end{aligned}\nonumber \]
Es decir, el monto adeudado al término del periodo de préstamo de 6 meses es de $5,112.50.
Ejercicio
Un contador toma prestados $8,000 a 5.5% anual. El interés devengado es interés simple. La duración del préstamo es de 3 meses. ¿Cuánto tendrá que devolver el aacountant al finalizar el periodo de préstamo de 3 meses?
- Responder
-
$8,110
Ejemplo 3
El dueño de un negocio saca un préstamo de 4 meses a 5.4% anual de interés simple. Al término del periodo de préstamo de 4 meses, el interés adeudado es de 90 dólares. ¿Cuál fue el monto principal prestado?
Solución
Configura la fórmula para un interés simple.
\[I = P rt\nonumber \]
El interés adeudado es I = $90, la tasa de interés es r = 5.4% = 0.054 por año, y el tiempo o duración del préstamo es t = 4 meses. Debido a que la tasa de interés es por año, el tiempo debe cambiarse a años. Es decir,
\[ \begin{aligned} 4 \text{ months } = 4 \text{ months } \cdot \frac{ 1 \text{ yr}}{12 \text{ months}} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Apply conversion factor.}} \\ = 4 \cancel{ \text{months}} \cdot \frac{1 \text{ yr}}{12 \cancel{ \text{months}}} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Cancel common unit.}} \\ = \frac{4}{12} \text{yr} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply numerators; multiply denominators.}} \\ = \frac{1}{3} \text{yr} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Reduce.}} \end{aligned}\nonumber \]
Sustituir estos números por la fórmula de interés simple\(I = P rt\).
\[ \begin{aligned} 90 = P(0.054) \left( \frac{1}{3} \right) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Substitute 90 for } I, ~ 0.054 \text{ for } r, ~ \text{ and } 1/3 \text{ for } t.} \\ 90 = \frac{0.054}{3} P ~ & \textcolor{red}{ \text{ Rearrange order of multiplication.}} \\ 90 = 0.018P ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide: } 0.054/3=0.018.} \end{aligned}\nonumber \]
Resuelve la ecuación para P.
\[ \begin{aligned} \frac{90}{0.018} = \frac{0.018P}{0.018} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide both sides by 0.018.}} \\ 5000 = P ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide: 90/0.018 = 5000.}} \end{aligned}\nonumber \]
Así, el monto principal prestado fue de $5,000.
Ejercicio
El dueño de Alioto Motors saca un préstamo de 8 meses a 4% anual de interés simple. Al término del periodo de préstamo de 8 meses, el interés adeudado es de 80 dólares. ¿Cuál fue el monto principal prestado?
- Responder
-
$3,000
Ejemplo 4
El dueño de una tienda de mascotas toma prestados $8,000 por 6 meses. Al término del periodo de préstamo de 6 meses, el interés adeudado es de $200. ¿Cuál era la tasa de interés simple?
Solución
Configura la fórmula para un interés simple.
\[I = P rt\nonumber \]
El principal es P = $8, 000, el interés adeudado es I = $200, y la duración del préstamo es t = 6 meses. Como vimos en el Ejemplo 2, 6 meses equivale a 1/2 año. Sustituir estos números por la fórmula de interés simple\(I = P rt\).
\[ \begin{aligned} 200 = (8000)(r) \left( \frac{1}{2} \right) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Substitute 8000 for } P, ~ 200 \text{ for } I, \text{ and } 1/2 \text{ for } t.} \\ 200 = \frac{8000}{2} r ~ & \textcolor{red}{ \text{ Rearrange order of multiplication.}} \\ 200 = 4000r ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide: 8000/2 = 4000. }} \end{aligned}\nonumber \]
Resuelve esta última ecuación para r.
\[ \begin{aligned} \frac{200}{4000} = \frac{4000r}{4000} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide both sides by 4000.}} ~ \\ \frac{1}{20} = r ~ & \textcolor{red}{ \text{ Reduce: Divide numerator and denominator by 200.}} \end{aligned}\nonumber \]
Tenemos que cambiar r a un por ciento. Esto se logra fácilmente creando una fracción equivalente con un denominador de 100.
\[ \begin{aligned} \frac{1}{20} & = \frac{1 \cdot \textcolor{red}{5}}{20 \cdot \textcolor{red}{5}} \\ ~ & = \frac{5}{100} \\ ~ & = 5 \% \end{aligned}\nonumber \]
Así, la tasa de interés simple es del 5%.
Ejercicio
Un fabricante toma prestados $10,000 por 4 años. Al término del periodo de préstamo de 4 años, el interés adeudado es de $3,200. ¿Cuál era la tasa de interés simple?
- Responder
-
8%
Ampliar la fórmula de interés simple
En el Ejemplo 2, tuvimos que sumar los intereses al principal para descubrir el saldo adeudado al final del préstamo. Es decir,
\[ \text{Balance } = \text{ Principal } + \text{ Interest,}\nonumber \]
o en símbolos,
\[A = P + I,\nonumber \]
donde A es el saldo, P es el principal, y yo es el simple interés. Porque\(I = P rt\), sustituimos\(P rt\) a I en la última ecuación para obtener
\[A = P + P rt.\nonumber \]
Utilice la propiedad distributiva para facturar P de cada término a la derecha.
\[ \begin{array}{c} A = P \cdot 1 + P \cdot rt \\ A = P(1 + rt). \end{array}\nonumber \]
Fórmula de equilibrio usando interés simple
Si se aplica interés simple, entonces el saldo viene dado por la fórmula
\[A = P(1 + rt),\nonumber \]
donde A es el saldo, P es el principal, r es la tasa de interés simple y t es la duración del préstamo o inversión.
Ejemplo 5
Si se invierten $4,000 a 6.25% de interés simple, ¿cuál será el saldo después de 2 años?
Solución
Comience con la fórmula de saldo para un interés simple.
\[A = P(1 + rt)\nonumber \]
El principal es P = $4, 000, la tasa es r = 6.25% = 0.0625 por año, y el tiempo es t = 2 años. Sustituir estos números en la fórmula de saldo\(A = P(1 + rt)\).
\[ \begin{aligned} A = 4000 1 + (0.0625)(2) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Substitute 4000 for } P, ~ 0.0625 \text{ for } r, \text{ and } 2 \text{ for } t.} \\ A = 4000(1 + 0.125) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Order of Ops: } 0.0625 \cdot 2=0.125.} \\ A = 4000(1.125) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Order of Ops: } 1 + 0.125 = 1.125.} \\ A = 4500 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply: } 4000 · 1.125 = 4500.} \end{aligned}\nonumber \]
De ahí que el saldo al cierre de dos años sea A = 4.500 dólares.
Ejercicio
Si se invierten $8,000 a 4.25% de interés simple, ¿cuál será el saldo después de 4 años?
- Responder
-
$9,360
Ejemplo 6
El saldo adeudado en un préstamo a 2 años es de $3,360. Si la tasa de interés simple es del 6%, ¿cuál fue el principal prestado?
Solución
Comience con la fórmula de saldo para un interés simple.
\[A = P(1 + rt)\nonumber \]
El saldo es A = $3360, la tasa es r = 6% = 0.06 anual, y el tiempo es t = 2 años. Sustituir estos números en la fórmula de saldo\(A = P(1 + rt)\).
\[ \begin{aligned} 3360 = P \left( 1 + (0.06)(2) \right) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Substitute 3360 for } A, ~ 0.06 \text{ for } r, \text{ and } 2 \text{ for } t.} \\ 3360 = P(1 + 0.12) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Order of Ops: } 0.06 \cdot 2=0.12.} \\ 3360 = P(1.12) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Order of Ops: } 1 + 0.12 = 1.12.} \\ 3360 = 1.12P ~ & \textcolor{red}{ \text{ Change order of multiplication.}} \end{aligned}\nonumber \]
Resuelve esta última ecuación para P.
\[ \begin{aligned} \frac{3360}{1.12} = \frac{1.12P}{1.12} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide both sides by 1.12.}} \\ 3000 = P ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide: } 3360/1.12 = 3000.} \end{aligned}\nonumber \]
De ahí que el principal prestado fue P = $3, 000.
Ejercicio
El saldo adeudado en un préstamo a 4 años es de $6,300. Si la tasa de interés simple es del 10%, ¿cuál fue el principal prestado?
- Responder
-
$4,500
Ejemplo 7
El saldo adeudado en un préstamo a 2 años es de $2,200. Si el principal prestado era de 2.000 dólares, ¿cuál era la tasa de interés simple?
Solución
Comience con la fórmula de saldo para un interés simple.
\[A = P(1 + rt)\nonumber \]
El saldo es A = $2, 200, el principal es P = $2, 000, y el tiempo es t = 2 años. Sustituir estos números en la fórmula de saldo\(A = P(1 + rt)\).
\[ \begin{aligned} 2200 = 2000(1 + (r)(2)) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Substitute 2200 for } A, ~ 2000 \text{ for } P, \text{ and } t = 2.} \\ 2200 = 2000(1 + 2r) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Change the order of muliplication.}} \end{aligned}\nonumber \]
Resuelve esta última ecuación para r.
\[ \begin{aligned} 2200 = 2000 + 4000r ~ & \textcolor{red}{ \text{ Distribute 2000. }} \\ 2200 − 2000 = 2000 + 4000r − 2000 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Subtract 2000 from both sides.}} \\ 200 = 4000r ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify both sides.}} \\ \frac{200}{4000} = \frac{4000r}{4000} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide both sides by 4000.}} \\ \frac{1}{20} = r ~ & \textcolor{red}{ \text{ Reduce: 200/4000 = 1/20. }} \end{aligned}\nonumber \]
Por supuesto, r debe cambiarse a un porcentaje. En el Ejemplo 4, encontramos esta misma fracción.
\[r = \frac{1}{20} = \frac{5}{100} = 5 \%\nonumber \]
De ahí que la tasa de interés simple sea r = 5%.
Ejercicio
El saldo adeudado en un préstamo a 2 años es de $4,640. Si el principal prestado era de 4.000 dólares, ¿cuál era la tasa de interés simple?
- Contestar
-
8%
Ejercicios
1. ¿Cuánto interés simple se gana si se invierten $7,600 al 8% anual durante 7 años?
2. ¿Cuánto interés simple se gana si se invierten $2,500 al 5% anual durante 6 años?
3. ¿Cuánto interés simple se gana si se invierten $5,800 al 3.25% anual durante 4 años?
4. ¿Cuánto interés simple se gana si se invierten $2,000 al 8.5% anual por 6 años?
5. ¿Cuánto interés simple se gana si se invierten 2.400 dólares al 8.25% anual por 5 años?
6. ¿Cuánto interés simple se gana si se invierten $4,000 al 6.5% anual durante 6 años?
7. ¿Cuánto interés simple se gana si se invierten $4,000 al 7.25% anual por 6 años?
8. ¿Cuánto interés simple se gana si se invierten $8,200 al 8% anual durante 6 años?
9. El dueño de un negocio toma prestados $3,600 por 2 meses a una tasa de interés simple de 4.5% anual. Al finalizar el periodo de préstamo de 2 meses, ¿cuánto interés se adeuda?
10. El dueño de un negocio toma prestados $3,200 por 4 meses a una tasa de interés simple de 9% por año. Al finalizar el periodo de préstamo de 4 meses, ¿cuánto interés se adeuda?
11. El dueño de un negocio toma prestados $2,400 por 6 meses a una tasa de interés simple de 2% por año. Al finalizar el periodo de préstamo de 6 meses, ¿cuánto interés se adeuda?
12. El dueño de un negocio toma prestados $2,200 por 4 meses a una tasa de interés simple de 3% anual. Al finalizar el periodo de préstamo de 4 meses, ¿cuánto interés se adeuda?
13. El dueño de un negocio saca un préstamo de 6 meses a una tasa de interés simple de 8% anual. Al término del periodo de préstamo de 6 meses, el interés adeudado es de 68 dólares. ¿Cuál fue el monto principal prestado?
14. El dueño de un negocio saca un préstamo de 4 meses a una tasa de interés simple de 6% anual. Al término del periodo de préstamo de 4 meses, el interés adeudado es de 194 dólares. ¿Cuál fue el monto principal prestado?
15. El dueño de un negocio toma prestados $3,600 por 3 meses a una tasa de interés simple de 8% por año. Al finalizar el periodo de préstamo de 3 meses, ¿cuánto interés se adeuda?
16. El dueño de un negocio toma prestados $2,400 por 4 meses a una tasa de interés simple de 8.25% anual. Al finalizar el periodo de préstamo de 4 meses, ¿cuánto interés se adeuda?
17. El dueño de un negocio saca un préstamo de 2 meses a una tasa de interés simple de 8.5% anual. Al término del periodo de préstamo de 2 meses, el interés adeudado es de 85 dólares. ¿Cuál fue el monto principal prestado?
18. El dueño de un negocio saca un préstamo de 3 meses a una tasa de interés simple de 2% por año. Al término del periodo de préstamo de 3 meses, el interés adeudado es de 45 dólares. ¿Cuál fue el monto principal prestado?
19. El dueño de un negocio toma prestados $4,000 por 3 meses. Al término del periodo de préstamo de 3 meses, el interés adeudado es de 35 dólares. ¿Cuál era la tasa de interés anual simple (como porcentaje)?
20. El dueño de un negocio toma prestados $4,200 por 4 meses. Al término del periodo de préstamo de 4 meses, el interés adeudado es de 63 dólares. ¿Cuál era la tasa de interés anual simple (como porcentaje)?
21. El dueño de un negocio saca un préstamo de 6 meses a una tasa de interés simple de 7% anual. Al término del periodo de préstamo de 6 meses, el interés adeudado es de 287 dólares. ¿Cuál fue el monto principal prestado?
22. El dueño de un negocio saca un préstamo de 6 meses a una tasa de interés simple de 2% por año. Al término del periodo de préstamo de 6 meses, el interés adeudado es de $40. ¿Cuál fue el monto principal prestado?
23. El dueño de un negocio toma prestados $7,300 por 2 meses. Al término del periodo de préstamo de 2 meses, el interés adeudado es de 73 dólares. ¿Cuál era la tasa de interés anual simple (como porcentaje)?
24. El dueño de un negocio toma prestado $5,600 por 6 meses. Al término del periodo de préstamo de 6 meses, el interés adeudado es de 182 dólares. ¿Cuál era la tasa de interés anual simple (como porcentaje)?
25. El dueño de un negocio toma prestados $3,200 por 6 meses. Al término del periodo de préstamo de 6 meses, el interés adeudado es de $96. ¿Cuál era la tasa de interés anual simple (como porcentaje)?
26. El dueño de un negocio toma prestados $5,700 por 4 meses. Al término del periodo de préstamo de 4 meses, el interés adeudado es de 133 dólares. ¿Cuál era la tasa de interés anual simple (como porcentaje)?
27. Supongamos que $6,700 se invierte a 9% de interés simple al año. ¿Cuál será el saldo después de 4 años?
28. Supongamos que $5,200 se invierte a 3.5% de interés simple al año. ¿Cuál será el saldo después de 2 años?
29. Supongamos que $1,600 se invierte a 2% de interés simple al año. ¿Cuál será el saldo después de 3 años?
30. Supongamos que $8,100 se invierte a 8.25% de interés simple al año. ¿Cuál será el saldo después de 4 años?
31. Supongamos que $8,900 se invierte a 2.5% de interés simple al año. ¿Cuál será el saldo después de 2 años?
32. Supongamos que $9,800 se invierte a 2.75% de interés simple al año. ¿Cuál será el saldo después de 6 años?
33. Supongamos que $5,400 se invierte a 4.25% de interés simple al año. ¿Cuál será el saldo después de 2 años?
34. Supongamos que $8,400 se invierte a 4.5% de interés simple al año. ¿Cuál será el saldo después de 4 años?
35. El saldo de un préstamo a 6 años es de $10,222. Si el principal prestado era de $7,600, ¿cuál era la tasa de interés simple (como porcentaje)?
36. El saldo de un préstamo a 8 años es de $12,264. Si el principal prestado era de $8,400, ¿cuál era la tasa de interés simple (como porcentaje)?
37. El saldo de un préstamo a 5 años es de $4,640. Si la tasa de interés simple es de 9% anual, ¿cuál fue el principal prestado?
38. El saldo de un préstamo a 6 años es de $6,838. Si la tasa de interés simple es de 5.25% anual, ¿cuál fue el principal prestado?
39. El saldo de un préstamo a 9 años es de $9,593. Si la tasa de interés simple es de 9% anual, ¿cuál fue el principal prestado?
40. El saldo de un préstamo a 8 años es de $10,032. Si la tasa de interés simple es de 4% anual, ¿cuál fue el principal prestado?
41. El saldo de un préstamo a 3 años es de $5,941. Si el principal prestado era de $5,200, ¿cuál era la tasa de interés simple (como porcentaje)?
42. El saldo de un préstamo a 2 años es de $9,589. Si el principal prestado era de $8,600, ¿cuál era la tasa de interés simple (como porcentaje)?
43. El saldo de un préstamo a 5 años es de $5,400. Si el principal prestado era de $4,000, ¿cuál era la tasa de interés simple (como porcentaje)?
44. El saldo de un préstamo a 6 años es de 12,635 dólares. Si el principal prestado era de $9,500, ¿cuál era la tasa de interés simple (como porcentaje)?
45. El saldo de un préstamo a 5 años es de 11,550 dólares. Si la tasa de interés simple es de 7.5% anual, ¿cuál fue el principal prestado?
46. El saldo de un préstamo a 8 años es de $3,160. Si la tasa de interés simple es de 7.25% anual, ¿cuál fue el principal prestado?
47. El saldo de un préstamo a 4 años es de $5,720. Si el principal prestado era de 4.400 dólares, ¿cuál era la tasa de interés simple (como porcentaje)?
48. El saldo de un préstamo a 8 años es de $4,422. Si el principal prestado era de $3,300, ¿cuál era la tasa de interés simple (como porcentaje)?
49. El saldo de un préstamo a 8 años es de $9,768. Si la tasa de interés simple es de 4% anual, ¿cuál fue el principal prestado?
50. El saldo de un préstamo a 2 años es de $8,322. Si la tasa de interés simple es de 7% anual, ¿cuál fue el principal prestado?
RESPUESTAS
1. $4,256
3. $754
5. $990
7. $1,740
9. $27
11. $24
13. $1,700
15. $72
17. $6, 000
19. 3.5%
21. $8,200
23. 6%
25. 6%
27. $9,112
29. $1,696
31. $9,345
33. $5,859
35. 5.75%
37. $3,200
39. $5,300
41. 4.75%
43. 7%
45. $8,400
47. 7.5%
49. $7,400