Saltar al contenido principal

# 6.5: Resolver proporciones y sus aplicaciones (Parte 1)

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$
##### Objetivos de aprendizaje
• Usa la definición de proporción
• Resolver proporciones
• Resolver aplicaciones usando proporciones
• Escribir ecuaciones porcentuales como proporciones
• Traducir y resolver proporciones porcentuales
##### ¡prepárate!

Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

1. Simplificar:$$\dfrac{\dfrac{1}{3}}{4}$$. Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 4.5.8.
2. Resolver:$$\dfrac{x}{4}$$ = 20. Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 4.12.5.
3. Escribe como tarifa: Sale montó su bicicleta 24 millas en 2 horas. Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 5.10.6.

## Usar la Definición de Proporción

En la sección de Ratios y Tarifas vimos algunas formas en que se utilizan en nuestra vida diaria. Cuando dos ratios o tasas son iguales, la ecuación que las relaciona se denomina proporción.

##### Definición: proporcion

Una proporción es una ecuación de la forma$$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$$, donde b ≠ 0, d ≠ 0.

La proporción indica que dos ratios o tasas son iguales. La proporción se lee “a es a b, como c es a d”.

La ecuación$$\dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{8}$$ es una proporción porque las dos fracciones son iguales. La proporción$$\dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{8}$$ se lee “1 es a 2 como 4 es a 8”.

Si comparamos cantidades con unidades, tenemos que estar seguros de que las estamos comparando en el orden correcto. Por ejemplo, en la proporción$$\dfrac{20\; students}{1\; teacher} = \dfrac{60\; students}{3\; teachers}$$ comparamos el número de alumnos con el número de profesores. Ponemos a los alumnos en los numeradores y a los profesores en los denominadores.

##### Ejemplo$$\PageIndex{1}$$:

Escribe cada oración en proporción: (a) 3 es a 7 como 15 es a 35. (b) 5 hits en 8 en murciélagos es lo mismo que 30 hits en 48 turnos al bate. (c) $1.50 por 6 onzas equivale a$2.25 por 9 onzas.

Solución

(a) 3 es a 7 como 15 es a 35

 Escribir como proporción. $$\ dfrac {3} {7} =\ dfrac {15} {35}$$

(b) 5 hits en 8 en murciélagos es lo mismo que 30 hits en 48 turnos al bate

 Escribe cada fracción para comparar golpes con turnos al bate. $$\ dfrac {hits} {at-bats} =\ dfrac {hits} {at-bats}$$ Escribir como proporción. $$\ dfrac {5} {8} =\ dfrac {30} {48}$$

(c) $1.50 por 6 onzas equivale a$2.25 por 9 onzas

 Escribe cada fracción para comparar dólares con onzas. $$\ dfrac {\ } {onzas} =\ dfrac {\ } {onzas}$$ Escribir como proporción. $$\ dfrac {1.50} {6} =\ dfrac {2.25} {9}$$
##### Ejercicio$$\PageIndex{1}$$:

Escribe cada oración en proporción: (a) 5 es a 9 como 20 es a 36. (b) 7 hits en 11 turnos al bate es lo mismo que 28 hits en 44 turnos al bate. (c) $2.50 por 8 onzas equivale a$3.75 por 12 onzas.

Responder a

$$\frac{5}{9} = \frac{20}{36}$$

Respuesta b

$$\frac{7}{11} = \frac{28}{44}$$

Respuesta c

$$\frac{2.50}{8} = \frac{3.75}{12}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{2}$$:

Escribe cada oración en proporción: (a) 6 es a 7 como 36 es a 42. b) 8 adultos para 36 niños es lo mismo que 12 adultos para 54 niños. (c) $3.75 por 6 onzas equivale a$2.50 por 4 onzas.

Responder a

$$\frac{6}{7} = \frac{36}{42}$$

Respuesta b

$$\frac{8}{36} = \frac{12}{54}$$

Respuesta c

$$\frac{3.75}{6} = \frac{2.50}{4}$$

Mira las proporciones$$\dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{8}$$ y$$\dfrac{2}{3} = \dfrac{6}{9}$$. De nuestro trabajo con fracciones equivalentes sabemos que estas ecuaciones son ciertas. Pero, ¿cómo sabemos si una ecuación es una proporción con fracciones equivalentes si contiene fracciones con números mayores? Para determinar si una proporción es verdadera, encontramos los productos cruzados de cada proporción. Para encontrar los productos cruzados, multiplicamos cada denominador con el numerador opuesto (diagonalmente a través del signo igual). Los resultados se denominan productos cruzados debido a la cruz formada. Los productos cruzados de una proporción son iguales.

##### Definición: Productos cruzados de una proporción

Para cualquier proporción de la forma$$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$$, donde b ≠ 0, d ≠ 0, sus productos cruzados son iguales.

Los productos cruzados se pueden usar para probar si una proporción es verdadera. Para probar si una ecuación hace una proporción, encontramos los productos cruzados. Si son iguales, tenemos una proporción.

##### Ejemplo$$\PageIndex{2}$$:

Determinar si cada ecuación es una proporción: (a)$$\dfrac{4}{9} = \dfrac{12}{28}$$ (b)$$\dfrac{17.5}{37.5} = \dfrac{7}{15}$$

Solución

Para determinar si la ecuación es una proporción, encontramos los productos cruzados. Si son iguales, la ecuación es una proporción.

(a)$$\dfrac{4}{9} = \dfrac{12}{28}$$

 Encuentra los productos cruzados. $28 \cdot 4 = 112 \qquad 9 \cdot 12 = 108$

Dado que los productos cruzados no son iguales, 28 · 4 ≠ 9 · 12, la ecuación no es una proporción.

b)$$\dfrac{17.5}{37.5} = \dfrac{7}{15}$$

 Encuentra los productos cruzados. $15 \cdot 17.5 = 262.5 \qquad 37.5 \cdot 7 = 262.5$

Dado que los productos cruzados son iguales, 15 • 17.5 = 37.5 • 7, la ecuación es una proporción.

##### Ejercicio$$\PageIndex{3}$$:

Determinar si cada ecuación es una proporción: (a)$$\dfrac{7}{9} = \dfrac{54}{72}$$ (b)$$\dfrac{24.5}{45.5} = \dfrac{7}{13}$$

Responder a

no

Respuesta b

si

##### Ejercicio$$\PageIndex{4}$$:

Determinar si cada ecuación es una proporción: (a)$$\dfrac{8}{9} = \dfrac{56}{73}$$ (b)$$\dfrac{28.5}{52.5} = \dfrac{8}{15}$$

Responder a

no

Respuesta b

no

## Resolver proporciones

Para resolver una proporción que contiene una variable, recordamos que la proporción es una ecuación. Todas las técnicas que hemos utilizado hasta ahora para resolver ecuaciones siguen aplicándose. En el siguiente ejemplo, resolveremos una proporción multiplicando por el Mínimo Denominador Común (LCD) usando la Propiedad de Multiplicación de Igualdad.

##### Ejemplo$$\PageIndex{3}$$:

Resolver:$$\dfrac{x}{63} =\dfrac{4}{7}$$.

Solución

 Para aislar x, multiplique ambos lados por la pantalla LCD, 63. $$\ textcolor {rojo} {63}\ izquierda (\ dfrac {x} {63}\ derecha) =\ textcolor {rojo} {63}\ izquierda (\ dfrac {4} {7}\ derecha)$$ Simplificar. $$x =\ dfrac {9\ cdot\ cancel {7}\ cdot 4} {\ cancel {7}}$$ Dividir los factores comunes. $$x = 36$$

Consulta: Para verificar nuestra respuesta, sustituimos en la proporción original.

 Sustituto x =$$\textcolor{red}{36}$$ $$\ dfrac {\ textcolor {rojo} {36}} {63}\ stackrel {?} {=}\ dfrac {4} {7}$$ Mostrar factores comunes. $$\ dfrac {4\ cdot 9} {7\ cdot 9}\ stackrel {?} {=}\ dfrac {4} {7}$$ Simplificar. $$\ dfrac {4} {7} =\ dfrac {4} {7}\;\ marca de verificación$$
##### Ejercicio$$\PageIndex{5}$$:

Resolver la proporción:$$\dfrac{n}{84} = \dfrac{11}{12}$$.

Responder

77

##### Ejercicio$$\PageIndex{6}$$:

Resolver la proporción:$$\dfrac{y}{96} = \dfrac{13}{12}$$.

Responder

104

Cuando la variable está en un denominador, usaremos el hecho de que los productos cruzados de una proporción son iguales para resolver las proporciones.

Podemos encontrar los productos cruzados de la proporción y luego ponerlos iguales. Luego resolvemos la ecuación resultante utilizando nuestras técnicas familiares.

##### Ejemplo$$\PageIndex{4}$$:

Resolver:$$\dfrac{144}{a} =\dfrac{9}{4}$$.

Solución

Observe que la variable está en el denominador, por lo que resolveremos encontrando los productos cruzados y poniéndolos iguales.

Solución

Responder

590 Euros

##### Ejercicio$$\PageIndex{16}$$:

Corey y Nicole viajan a Japón y necesitan cambiar 600 dólares por yenes japoneses. Si cada dólar es 94.1 yenes, ¿cuántos yenes obtendrán?

Responder

56,460 yenes