6.4: Resolver aplicaciones de interés simple
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- Resolver aplicaciones de interés simples
¡
Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.
- Resolver 0.6y = 45. Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 5.7.4.
- Resolver\(\dfrac{n}{1.45}\) = 4.6. Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 5.7.5.
Utilice la fórmula de interés simple
¿Sabes que los bancos te pagan para que se queden con tu dinero? El dinero que pones en el banco se llama el principal,\(P\), y el banco te paga intereses,\(I\). El interés se computa como un cierto porcentaje del principal; llamado la tasa de interés,\(r\). La tasa de interés generalmente se expresa como un porcentaje anual, y se calcula utilizando el equivalente decimal del porcentaje. La variable por tiempo, t, representa el número de años que el dinero queda en la cuenta.
Si una cantidad de dinero,\(P\), el principal, se invierte por un periodo de t años a una tasa de interés anual r, la cantidad de intereses,\(I\), devengados es
\[I = Prt \nonumber\]
donde
- \(I\)= interés
- \(P\)= principal
- \(r\)= tasa
- \(t\)= tiempo
Los intereses devengados de acuerdo con esta fórmula se denominan interés simple.
La fórmula que utilizamos para calcular el interés simple es I = Prt. Para usar la fórmula de interés simple sustituimos en los valores las variables que se dan, y luego resolvemos por la variable desconocida. Puede ser útil organizar la información enumerando las cuatro variables y rellenando la información dada.
Encuentra el interés simple ganado después de 3 años en $500 a una tasa de interés del 6%.
Solución
Organizar la información dada en una lista.
I =? , P = $500, r = 6%, t = 3 años
Utilizaremos la fórmula de interés simple para encontrar el interés.
| Escribe la fórmula. | I = Prt |
| Sustituir la información dada. Recuerda escribir el porcentaje en forma decimal. | I = (500) (0.06) (3) |
| Simplificar. | I = 90 |
| Comprueba tu respuesta. ¿Es $90 un interés razonable ganado por $500 en 3 años? | En 3 años el dinero ganó 18%. Si redondeáramos al 20%, el interés habría sido de 500 (0.20) o $100. Sí, $90 es razonable. |
| Escribe una oración completa que responda a la pregunta. | El interés simple es de 90 dólares. |
Encuentra el interés simple ganado después de 4 años en $800 a una tasa de interés del 5%.
- Contestar
-
$160
Encuentra el interés simple ganado después de 2 años en $700 a una tasa de interés del 4%.
- Contestar
-
$56
En el siguiente ejemplo, utilizaremos la fórmula de interés simple para encontrar el principal.
Encuentra el principal invertido si se obtuvieron 178 dólares de interés en 2 años a una tasa de interés del 4%.
Solución
Organizar la información dada en una lista.
I = $178, P =? , r = 4%, t = 2 años
Utilizaremos la fórmula de interés simple para encontrar el principal.
| Escribe la fórmula. | I = Prt |
| Sustituir la información dada. | 178 = P (0.04) (2) |
| Dividir. | $$\ dfrac {178} {0.08} =\ dfrac {0.08P} {0.08} $$ |
| Simplificar. | 2,225 = P |
| Comprueba tu respuesta. ¿Es razonable que $2,225 ganaría 178 dólares en 2 años? | $$178\ stackrel {?} {=} 2,225 (0.04) (2) $$ |
| $$178 = 178\;\ checkmark$$ | |
| Escribe una oración completa que responda a la pregunta. | El principal es de $2,225. |
Encuentra el principal invertido si se obtuvieron 495 dólares de interés en 3 años a una tasa de interés del 6%.
- Contestar
-
$2,750
Encuentra el principal invertido si se obtuvieron 1.246 dólares de interés en 5 años a una tasa de interés del 7%.
- Contestar
-
$3,560
Ahora vamos a resolver por la tasa de interés.
Encuentra la tasa si un principal de $8,200 ganó $3,772 intereses en 4 años.
Solución
Organizar la información dada.
I = $3,772, P = $8,200, r =? , t = 4 años
Utilizaremos la fórmula de interés simple para encontrar la tasa.
| Escribe la fórmula. | I = Prt |
| Sustituir la información dada. | 3,772 = 8,200r (4) |
| Multiplicar. | 3,772 = 32.800r |
| Dividir. | $$\ dfrac {3.772} {32.800} =\ dfrac {32,800r} {32.800} $$ |
| Simplificar. | 0.115 = r |
| Escribir como porcentaje. | 11.5% = r |
| Comprueba tu respuesta. ¿El 11.5% es una tasa razonable si se ganaron $3,772 en 4 años? | $$3,772\ stackrel {?} {=} 8.200 (0.115) (4) $$ |
| $$3,772 = 3.772\;\ checkmark$$ | |
| Escribe una oración completa que responda a la pregunta. | La tasa fue de 11.5%. |
Encuentra la tasa si un principal de $5,000 ganó $1,350 intereses en 6 años.
- Contestar
-
4.5%
Encuentra la tasa si un principal de $9,000 ganó $1,755 intereses en 3 años.
- Contestar
-
6.5%
Resolver aplicaciones de interés simple
Las aplicaciones con intereses simples generalmente implican invertir dinero o pedir dinero prestado. Para resolver estas aplicaciones, seguimos utilizando la misma estrategia para las aplicaciones que hemos utilizado anteriormente en este capítulo. La única diferencia es que en lugar de traducir para obtener una ecuación, podemos usar la fórmula de interés simple.
Comenzaremos resolviendo una simple aplicación de interés para encontrar el interés.
Nathaly depositó $12,500 en su cuenta bancaria donde ganará 4% de intereses. ¿Cuánto interés ganará Nathaly en 5 años?
Solución
Se nos pide encontrar el Interés, I. Organizar la información dada en una lista.
I =? , P = $12,500, r = 4%, t = 5 años
| Escribe la fórmula. | I = Prt |
| Sustituir la información dada. | I = (12.500) (0.04) (5) |
| Simplificar. | I = 2,500 |
| Comprueba tu respuesta. ¿Es $2,500 un interés razonable sobre $12,500 a lo largo de 5 años? | Al 4% de interés anual, en 5 años el interés sería 20% del principal. ¿El 20% de $12,500 es igual a $2,500? Sí. |
| Escribe una oración completa que responda a la pregunta. | El interés es de $2,500. |
Areli invirtió un principal de 950 dólares en su cuenta bancaria con tasa de interés del 3%. ¿Cuánto interés ganó en 5 años?
- Contestar
-
$142.50
Susana invirtió un principal de 36,000 dólares en su cuenta bancaria con tasa de interés 6.5%. ¿Cuánto interés ganó en 3 años?
- Contestar
-
$7,020
Puede haber ocasiones en las que conozca la cantidad de intereses ganados sobre un principal determinado durante un cierto período de tiempo, pero no conozca la tasa. Por ejemplo, esto podría suceder cuando los miembros de la familia prestan o piden prestado dinero entre ellos en lugar de tratar con un banco. En el siguiente ejemplo, mostraremos cómo resolver para la tasa.
Loren prestó a su hermano 3.000 dólares para que le ayudara a comprar un auto. En 4 años su hermano le devolvió los $3,000 más $660 en intereses. ¿Cuál era la tasa de interés?
Solución
Se nos pide encontrar la tasa de interés, r. Organizar la información dada.
I = 660, P = $3,000, r =? , t = 4 años
| Escribe la fórmula. | I = Prt |
| Sustituir la información dada. | 660 = (3,000) r (4) |
| Multiplicar. | 660 = (12.000) r |
| Dividir. | $$\ dfrac {660} {12,000} =\ dfrac {(12,000) r} {12,000} $$ |
| Simplificar. | 0.055 = r |
| Cambiar a forma porcentual. | 5.5% = r |
| Comprueba tu respuesta. ¿El 5.5% es una tasa de interés razonable para pagarle a tu hermano? | $$660\ stackrel {?} {=} (3,000) (0.055) (4) $$ |
| $$660 = 660\;\ checkmark$$ | |
| Escribe una oración completa que responda a la pregunta. | La tasa de interés fue de 5.5%. |
Jim le prestó a su hermana 5.000 dólares para ayudarla a comprar una casa. En 3 años, ella le pagó los 5.000 dólares, más 900 dólares de interés. ¿Cuál era la tasa de interés?
- Contestar
-
6%
Colgar prestado $7,500 de sus padres para pagar su colegiatura. En 5 años, les pagó 1.500 dólares de interés además de los $7,500 que pidió prestados. ¿Cuál era la tasa de interés?
- Contestar
-
4%
Puede haber ocasiones en las que tome un préstamo para una compra grande y el monto del principal no esté claro. Esto podría suceder, por ejemplo, al realizar la compra de un automóvil cuando el concesionario agrega el costo de una garantía al precio del automóvil. En el siguiente ejemplo, resolveremos una simple solicitud de interés para el principal.
Eduardo se percató de que sus nuevos papeles de préstamo de auto establecían que con una tasa de interés del 7.5%, pagaría $6,596.25 en intereses a lo largo de 5 años. ¿Cuánto pidió prestado para pagar su auto?
Solución
Se nos pide encontrar al director, P. Organizar la información dada.
I = 6,596.25, P =? , r = 7.5%, t = 5 años
| Escribe la fórmula. | I = Prt |
| Sustituir la información dada. | 6,596.25 = P (0.075) (5) |
| Multiplicar. | 6,596.25 = 0.375P |
| Dividir. | $$\ dfrac {6,596.25} {0.375} =\ dfrac {0.375P} {0.375} $$ |
| Simplificar. | 17.590 = P |
| Comprueba tu respuesta. ¿Es $17,590 una cantidad razonable para pedir prestado para comprar un auto? | $$6,596.25\ stackrel {?} {=} (17,590) (0.075) (5) $$ |
| $$6,596.25 = 6.596.25\;\ checkmark$$ | |
| Escribe una oración completa que responda a la pregunta. | El monto prestado fue de $17,590. |
El estado de cuenta de préstamo para auto nuevo de Sean dijo que pagaría $4,866.25 en interés a partir de una tasa de interés de 8.5% en 5 años. ¿Cuánto pidió prestado para comprar su auto nuevo?
- Contestar
-
11,450
En 5 años, la cuenta bancaria de Gloria obtuvo 2.400 dólares de interés al 5%. ¿Cuánto había depositado en la cuenta?
- Contestar
-
$9,600
En la fórmula de interés simple, la tasa de interés se da como una tasa anual, la tasa de un año. Por lo que las unidades de tiempo deben ser en años. Si el tiempo se da en meses, lo convertimos en años.
Caroline obtuvo 900 dólares como regalos de graduación y lo invirtió en un certificado de depósito de 10 meses que obtuvo 2.1% de interés. ¿Cuánto interés obtuvo esta inversión?
Solución
Se nos pide encontrar el interés, I. Organizar la información dada.
I =? , P = $900, r = 2.1%, t = 10 meses
| Escribe la fórmula. | I = Prt |
| Sustituir la información dada, convirtiendo 10 meses a\(\dfrac{10}{12}\) de un año. | $$I =\ $900 (0.021)\ izquierda (\ dfrac {10} {12}\ derecha) $$ |
| Multiplicar. | I = 15.75 |
| Comprueba tu respuesta. ¿Es $15.75 una cantidad razonable de interés? | Si Caroline hubiera invertido los 900 dólares por un año completo al 2% de interés, el monto de los intereses habría sido de 18 dólares. Sí, $15.75 es razonable. |
| Escribe una oración completa que responda a la pregunta. | El interés ganado fue de 15.75 dólares. |
Adriana invirtió $4,500 por 8 meses en una cuenta que pagó 1.9% de intereses. ¿Cuánto interés ganó?
- Contestar
-
$57.00
Milton invirtió 2.460 dólares durante 20 meses en una cuenta que pagó 3.5% de intereses ¿Cuánto interés ganó?
- Contestar
-
$143.50
La práctica hace la perfección
Utilice la fórmula de interés simple
En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula de interés simple para rellenar la información que falta.
| Intereses | Principal | Tarifa | Tiempo (años) |
|---|---|---|---|
| $1200 | 3% | 5 |
| Intereses | Principal | Tarifa | Tiempo (años) |
|---|---|---|---|
| $1500 | 2% | 4 |
| Intereses | Principal | Tarifa | Tiempo (años) |
|---|---|---|---|
| $4410 | 4.5% | 7 |
| Intereses | Principal | Tarifa | Tiempo (años) |
|---|---|---|---|
| $2212 | 3.2% | 6 |
| Intereses | Principal | Tarifa | Tiempo (años) |
|---|---|---|---|
| $577.08 | $4580 | 2 |
| Intereses | Principal | Tarifa | Tiempo (años) |
|---|---|---|---|
| $528.12 | $3260 | 3 |
En los siguientes ejercicios, resuelve el problema usando la fórmula de interés simple.
- Encuentra el interés simple ganado después de 5 años en $600 a una tasa de interés del 3%.
- Encuentra el interés simple ganado después de 4 años en $900 a una tasa de interés del 6%.
- Encuentra el interés simple ganado después de 2 años en $8,950 a una tasa de interés del 3.24%.
- Encuentra el interés simple ganado después de 3 años en $6,510 a una tasa de interés de 2.85%.
- Encuentra el interés simple ganado después de 8 años en $15,500 a una tasa de interés de 11.425%.
- Encuentra el interés simple ganado después de 6 años en $23,900 a una tasa de interés de 12.175%.
- Encuentre el principal invertido si se obtuvieron 656 dólares de interés en 5 años a una tasa de interés del 4%.
- Encuentra el principal invertido si se obtuvieron intereses de $177 en 2 años a una tasa de interés del 3%.
- Encuentre el principal invertido si se obtuvieron 70.95 dólares de interés en 3 años a una tasa de interés de 2.75%.
- Encuentre el principal invertido si se obtuvieron 636,84 dólares de interés en 6 años a una tasa de interés de 4.35%.
- Encuentre el principal invertido si se obtuvieron 15,222.57 dólares de interés en 6 años a una tasa de interés de 10.28%.
- Encuentre el principal invertido si se obtuvieron 10.953.70 dólares de interés en 5 años a una tasa de interés del 11.04%.
- Encuentra la tasa si un principal de $5,400 ganó $432 intereses en 2 años.
- Encuentra la tasa si un principal de $2,600 ganó $468 intereses en 6 años.
- Encuentra la tasa si un principal de $11,000 ganó $1,815 intereses en 3 años.
- Encuentra la tasa si un principal de $8,500 ganó $3,230 intereses en 4 años.
Resolver aplicaciones de interés simple
En los siguientes ejercicios, resuelve el problema usando la fórmula de interés simple.
- Casey depositó $1,450 en una cuenta bancaria con tasa de interés 4%. ¿Cuánto interés se ganó en 2 años?
- Terrence depositó $5,720 en una cuenta bancaria con tasa de interés 6%. ¿Cuánto interés se ganó en 4 años?
- Robin depositó $31,000 en una cuenta bancaria con tasa de interés 5.2%. ¿Cuánto interés se ganó en 3 años?
- Carleen depositó $16.400 en una cuenta bancaria con tasa de interés 3.9%. ¿Cuánto interés se ganó en 8 años?
- Hilaria pidió prestados $8,000 a su abuelo para pagar la universidad. Cinco años después, ella le devolvió los $8,000, más $1,200 intereses. ¿Cuál era la tasa de interés?
- Kenneth prestó a su sobrina 1.200 dólares para comprar una computadora. Dos años después, ella le devolvió los 1.200 dólares, más 96 dólares de interés. ¿Cuál era la tasa de interés?
- Lebron le prestó a su hija 20,000 dólares para ayudarla a comprar un condominio. Cuando vendió el condominio cuatro años después, le pagó los 20,000 dólares, más $3,000 intereses. ¿Cuál era la tasa de interés?
- Pablo pidió prestados 50 mil dólares para iniciar un negocio. Tres años después, reembolsó los 50 mil dólares, más 9,375 dólares de interés. ¿Cuál era la tasa de interés?
- En 10 años, una cuenta bancaria que pagó 5.25% ganó $18,375 intereses. ¿Cuál era el principal de la cuenta?
- En 25 años, un bono que pagó 4.75% ganó 2.375 dólares de interés. ¿Cuál fue el principal del vínculo?
- El estado de cuenta del préstamo informático de Joshua dijo que pagaría 1.244.34 dólares en intereses por un préstamo de 3 años al 12.4%. ¿Cuánto tomó prestado Joshua para comprar la computadora?
- El estado de cuenta del préstamo de automóvil de Margaret dijo que pagaría $7,683.20 en intereses por un préstamo a 5 años al 9.8%. ¿Cuánto pidió prestado Margaret para comprar el auto?
- Caitlin invirtió $8,200 en un certificado de depósito de 18 meses pagando 2.7% de interés. ¿Cuánto interés ganó de esta inversión?
- Diego invirtió $6,100 en un certificado de depósito de 9 meses pagando 1.8% de interés. ¿Cuánto interés ganó de esta inversión?
- Airin pidió prestados 3.900 dólares a sus padres para el pago inicial de un automóvil y prometió devolverlos en 15 meses a una tasa de interés del 4%. ¿Cuánto interés le debía a sus padres?
- Yuta le pidió prestado 840 dólares a su hermano para pagar sus libros de texto y prometió devolverle el dinero en 5 meses a una tasa de interés del 6%. ¿Cuánto interés le debía Yuta a su hermano?
Matemáticas cotidianas
- Intereses sobre el ahorro Encuentra la tasa de interés que tu banco local paga en las cuentas de ahorro.
- ¿Cuál es la tasa de interés?
- Calcula la cantidad de interés que ganarías sobre un principal de $8,000 por 5 años.
- Intereses de un préstamo Encuentra la tasa de interés que tu banco local cobra por un préstamo de auto.
- ¿Cuál es la tasa de interés?
- Calcula la cantidad de intereses que pagarías por un préstamo de $8,000 por 5 años.
Ejercicios de escritura
- ¿Por qué los bancos pagan intereses sobre el dinero depositado en cuentas de ahorro?
- ¿Por qué los bancos cobran intereses por prestar dinero?
Autocomprobación
(a) Después de completar los ejercicios, utilice esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.
b) En una escala del 1 al 10, ¿cómo calificaría su dominio de esta sección a la luz de sus respuestas en la lista de verificación? ¿Cómo se puede mejorar esto?