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6.6: Resolver proporciones y sus aplicaciones (Parte 2)

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    Escribir Ecuaciones de Porcentaje como Proporciones

    Anteriormente, resolvimos ecuaciones porcentuales aplicando las propiedades de igualdad que hemos utilizado para resolver ecuaciones a lo largo de este texto. Algunas personas prefieren resolver ecuaciones porcentuales usando el método de proporción. El método de proporción para resolver problemas porcentuales implica una proporción porcentual. Una proporción porcentual es una ecuación donde un porcentaje es igual a una relación equivalente.

    Por ejemplo, 60% =\(\dfrac{60}{100}\) y podemos simplificar\(\dfrac{60}{100} = \dfrac{3}{5}\). Dado que la ecuación\(\dfrac{60}{100} = \dfrac{3}{5}\) muestra un porcentaje igual a una relación equivalente, la llamamos proporción porcentual. Usando el vocabulario que usamos anteriormente:

    \[\begin{split} \dfrac{ \text{amount}}{\text{base}} & = \dfrac{\text{percent}}{100} \\ \dfrac{3}{5} & = \dfrac{60}{100} \end{split}\]

    Definición: Porcentaje Proporción

    El monto es a la base ya que el porcentaje es a 100.

    \[\dfrac{amount}{base} = \dfrac{percent}{100} \tag{6.5.37}\]

    Si reafirmamos el problema en palabras de una proporción, puede ser más fácil establecer la proporción:

    El monto es a la base ya que el porcentaje es a cien.

    También podríamos decir:

    El monto fuera de la base es el mismo que el porcentaje sobre cien.

    Primero practicaremos traducir en una proporción porcentual. Posteriormente, resolveremos la proporción.

    Ejemplo\(\PageIndex{9}\):

    Traducir a una proporción. ¿Qué número es 75% de 90?

    Solución

    Si buscas la palabra “de”, puede ayudarte a identificar la base.

    Identificar las partes de la proporción porcentual.
    Reafirmar como una proporción. $ $ ¿Qué\; número\; fuera\;\ textcolor {rojo} {de}\; 90\; es\; el\; mismo\; como\; 75\; fuera\; de\; 100? $$
    Establecer la proporción. Dejar n = número. $$\ dfrac {n} {90} =\ dfrac {75} {100}\ tag {6.5.38} $$
    Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

    Traducir a una proporción: ¿Qué número es 60% de 105?

    Contestar

    \(\frac{n}{105} = \frac{60}{100}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

    Traducir a una proporción: ¿Qué número es 40% de 85?

    Contestar

    \(\frac{n}{85} = \frac{40}{100}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{10}\)

    Traducir a una proporción. ¿19 es 25% de qué número?

    Solución

    Identificar las partes de la proporción porcentual.
    Reafirmar como una proporción. $$19\; fuera\;\ textcolor {rojo} {de}\; qué\; número\; es\; el\; mismo\; como\; 25\; fuera\; de\; 100? $$
    Establecer la proporción. Dejar n = número. $$\ dfrac {19} {n} =\ dfrac {25} {100}\ tag {6.5.39} $$
    Ejercicio\(\PageIndex{19}\):

    Traducir a una proporción: ¿36 es 25% de qué número?

    Contestar

    \(\frac{36}{n} = \frac{25}{100}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{20}\):

    Traducir a una proporción: ¿27 es 36% de qué número?

    Contestar

    \(\frac{27}{n} = \frac{36}{100}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{11}\):

    Traducir a una proporción. ¿Cuál por ciento de 27 es 9?

    Solución

    Identificar las partes de la proporción porcentual.
    Reafirmar como una proporción. $$9\; fuera\;\ textcolor {rojo} {de}\; 27\; es\; el\; mismo\; como\; qué\; número\; fuera\; de\; 100$$
    Establecer la proporción. Dejar p = por ciento. $$\ dfrac {9} {27} =\ dfrac {p} {100}\ tag {6.5.40} $$
    Ejercicio\(\PageIndex{21}\):

    Traducir a una proporción: ¿Qué porcentaje de 52 es 39?

    Contestar

    \(\frac{n}{100} = \frac{39}{52}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{22}\):

    Traducir a una proporción: ¿Qué porcentaje de 92 es 23?

    Contestar

    \(\frac{n}{100} = \frac{23}{92}\)

    Traducir y resolver proporciones porcentuales

    Ahora que hemos escrito ecuaciones porcentuales como proporciones, estamos listos para resolver las ecuaciones.

    Ejemplo\(\PageIndex{12}\):

    Traducir y resolver usando proporciones: ¿Qué número es 45% de 80?

    Solución

    Identificar las partes de la proporción porcentual.
    Reafirmar como una proporción. $ $ ¿Qué\; número\; fuera\;\ textcolor {rojo} {de}\; 80\; es\; el\; mismo\; como\; 45\; fuera\; de\; 100? $$
    Establecer la proporción. Dejar n = número. $$\ dfrac {n} {80} =\ dfrac {45} {100}\ tag {6.5.41} $$
    Encuentra los productos cruzados y ponlos iguales. $$100\ cdot n = 80\ cdot 45\ tag {6.5.42} $$
    Simplificar. $100n = 3.600\ tag {6.5.43} $$
    Divide ambos lados por 100. $$\ dfrac {100n} {100} =\ dfrac {3,600} {100}\ tag {6.5.44} $$
    Simplificar. $$n = 36\ tag {6.5.45} $$
    Verifica si la respuesta es razonable. Sí. 45 es un poco menos de la mitad de 100 y 36 es un poco menos de la mitad 80.
    Escribe una oración completa que responda a la pregunta. 36 es 45% de 80.
    Ejercicio\(\PageIndex{23}\):

    Traducir y resolver usando proporciones: ¿Qué número es 65% de 40?

    Contestar

    26

    Ejercicio\(\PageIndex{24}\):

    Traducir y resolver usando proporciones: ¿Qué número es 85% de 40?

    Contestar

    34

    En el siguiente ejemplo, el porcentaje es más de 100, que es más de un todo. Por lo que el número desconocido será más que la base.

    Ejemplo\(\PageIndex{13}\):

    Traducir y resolver usando proporciones: 125% de 25 es ¿qué número?

    Solución

    Identificar las partes de la proporción porcentual.
    Reafirmar como una proporción. $ $ ¿Qué\; número\; fuera\;\ textcolor {rojo} {de}\; 25\; es\; el\; mismo\; como\; 125\; fuera\; de\; 100? $$
    Establecer la proporción. Dejar n = número. $$\ dfrac {n} {25} =\ dfrac {125} {100}\ tag {6.5.46} $$
    Encuentra los productos cruzados y ponlos iguales. $$100\ cdot n = 25\ cdot 125\ tag {6.5.47} $$
    Simplificar. $100n = 3,125\ tag {6.5.48} $$
    Divide ambos lados por 100. $$\ dfrac {100n} {100} =\ dfrac {3,125} {100}\ tag {6.5.49} $$
    Simplificar. $$n = 31.25\ tag {6.5.50} $$
    Verifica si la respuesta es razonable. Sí. 125 es más de 100 y 31.25 es más de 25.
    Escribe una oración completa que responda a la pregunta. 125% de 25 es 31.25.
    Ejercicio\(\PageIndex{25}\):

    Traducir y resolver usando proporciones: 125% de 64 es ¿qué número?

    Contestar

    80

    Ejercicio\(\PageIndex{26}\):

    Traducir y resolver usando proporciones: 175% de 84 es ¿qué número?

    Contestar

    147

    Los porcentajes con decimales y dinero también se utilizan en proporciones.

    Ejemplo\(\PageIndex{14}\):

    Traducir y resolver: ¿6.5% de qué número es $1.56?

    Solución

    Identificar las partes de la proporción porcentual.
    Reafirmar como una proporción. $$\ $1.56\; fuera\;\ textcolor {rojo} {de}\; qué\; número\; es\; el\; mismo\; como\; 6.5\; fuera\; de\; 100? $$
    Establecer la proporción. Dejar n = número. $$\ dfrac {1.56} {n} =\ dfrac {6.5} {100}\ tag {6.5.51} $$
    Encuentra los productos cruzados y ponlos iguales. $$100 (1.56) = n\ cdot 6.5\ tag {6.5.52} $$
    Simplificar. $156 = 6.5n\ tag {6.5.53} $$
    Divide ambos lados por 6.5 para aislar la variable. $$\ dfrac {156} {6.5} =\ dfrac {6.5n} {6.5}\ tag {6.5.54} $$
    Simplificar. $$24 = n\ tag {6.5.55} $$
    Verifica si la respuesta es razonable. Sí. 6.5% es una cantidad pequeña y $1.56 es mucho menor que $24.
    Escribe una oración completa que responda a la pregunta. 6.5% de $24 es $1.56.
    Ejercicio\(\PageIndex{27}\):

    Traducir y resolver usando proporciones: 8.5% de lo que número es $3.23?

    Contestar

    38

    Ejercicio\(\PageIndex{28}\):

    Traducir y resolver usando proporciones: 7.25% de ¿qué número es $4.64?

    Contestar

    64

    Ejemplo\(\PageIndex{15}\):

    Traducir y resolver usando proporciones: ¿Qué porcentaje de 72 es 9?

    Solución

    Identificar las partes de la proporción porcentual.
    Reafirmar como una proporción. $$9\; fuera\;\ textcolor {rojo} {de}\; 72\; es\; el\; mismo\; como\; qué\; número\; fuera\; de\; 100? $$
    Establecer la proporción. Dejar n = número. $$\ dfrac {9} {72} =\ dfrac {n} {100}\ tag {6.5.56} $$
    Encuentra los productos cruzados y ponlos iguales. $$72\ cdot n = 100\ cdot 9\ tag {6.5.57} $$
    Simplificar. $72n = 900\ tag {6.5.58} $$
    Divide ambos lados por 72. $$\ dfrac {72n} {72} =\ dfrac {900} {72}\ tag {6.5.59} $$
    Simplificar. $$n = 12.5\ tag {6.5.60} $$
    Verifica si la respuesta es razonable. Sí. 9 es\(\dfrac{1}{8}\) de 72 y\(\dfrac{1}{8}\) es 12.5%.
    Escribe una oración completa que responda a la pregunta. 12.5% de 72 es 9.
    Ejercicio\(\PageIndex{29}\):

    Traducir y resolver usando proporciones: ¿Qué porcentaje de 72 es 27?

    Contestar

    37.5%

    Ejercicio\(\PageIndex{30}\):

    Traducir y resolver usando proporciones: ¿Qué porcentaje de 92 es 23?

    Contestar

    25%

    La práctica hace la perfección

    Usar la Definición de Proporción

    En los siguientes ejercicios, escribe cada oración en proporción.

    1. 4 es a 15 como 36 es a 135.
    2. 7 es a 9 como 35 es a 45.
    3. 12 es a 5 como 96 es a 40.
    4. 15 es a 8 como 75 es a 40.
    5. 5 victorias en 7 juegos es lo mismo que 115 victorias en 161 juegos.
    6. 4 victorias en 9 juegos es lo mismo que 36 victorias en 81 juegos.
    7. 8 campistas a 1 consejero es lo mismo que 48 campistas a 6 consejeros.
    8. 6 campistas a 1 consejero es lo mismo que 48 campistas a 8 consejeros.
    9. $9.36 por 18 onzas es lo mismo que $2.60 por 5 onzas.
    10. $3.92 por 8 onzas es lo mismo que $1.47 por 3 onzas.
    11. $18.04 por 11 libras es lo mismo que $4.92 por 3 libras.
    12. $12.42 por 27 libras es lo mismo que $5.52 por 12 libras.

    En los siguientes ejercicios, determinar si cada ecuación es una proporción.

    1. \(\dfrac{7}{15} = \dfrac{56}{120}\)
    2. \(\dfrac{5}{12} = \dfrac{45}{108}\)
    3. \(\dfrac{11}{6} = \dfrac{21}{16}\)
    4. \(\dfrac{9}{4} = \dfrac{39}{34}\)
    5. \(\dfrac{12}{18} = \dfrac{4.99}{7.56}\)
    6. \(\dfrac{9}{16} = \dfrac{2.16}{3.89}\)
    7. \(\dfrac{13.5}{8.5} = \dfrac{31.05}{19.55}\)
    8. \(\dfrac{10.1}{8.4} = \dfrac{3.03}{2.52}\)

    Resolver proporciones

    En los siguientes ejercicios, resuelve cada proporción.

    1. \(\dfrac{x}{56} = \dfrac{7}{8}\)
    2. \(\dfrac{n}{91} = \dfrac{8}{13}\)
    3. \(\dfrac{49}{63} = \dfrac{z}{9}\)
    4. \(\dfrac{56}{72} = \dfrac{y}{9}\)
    5. \(\dfrac{5}{a} = \dfrac{65}{117}\)
    6. \(\dfrac{4}{b} = \dfrac{64}{144}\)
    7. \(\dfrac{98}{154} = \dfrac{-7}{p}\)
    8. \(\dfrac{72}{156} = \dfrac{-6}{q}\)
    9. \(\dfrac{a}{-8} = \dfrac{-42}{48}\)
    10. \(\dfrac{b}{-7} = \dfrac{-30}{42}\)
    11. \(\dfrac{2.6}{3.9} = \dfrac{c}{3}\)
    12. \(\dfrac{2.7}{3.6} = \dfrac{d}{4}\)
    13. \(\dfrac{2.7}{j} = \dfrac{0.9}{0.2}\)
    14. \(\dfrac{2.8}{k} = \dfrac{2.1}{1.5}\)
    15. \(\dfrac{\dfrac{1}{2}}{1} = \dfrac{m}{8}\)
    16. \(\dfrac{\dfrac{1}{3}}{3} = \dfrac{9}{n}\)

    Resolver aplicaciones usando proporciones

    En los siguientes ejercicios, resolver el problema de proporción.

    1. Los pediatras prescriben 5 mililitros (ml) de acetaminofén por cada 25 libras del peso de un niño. ¿Cuántos mililitros de acetaminofén le recetará el médico a Jocelyn, quien pesa 45 libras?
    2. Brianna, quien pesa 6 kg, acaba de recibir sus inyecciones y necesita un analgésico. El analgésico se prescribe a los niños a 15 miligramos (mg) por cada 1 kilogramo (kg) del peso del niño. ¿Cuántos miligramos prescribirá el médico?
    3. En el gimnasio, Carol toma el pulso durante 10 segundos y cuenta 19 latidos. ¿Cuántos latidos por minuto es esto? ¿Carol ha cumplido su ritmo cardíaco objetivo de 140 latidos por minuto?
    4. Kevin quiere mantener su ritmo cardíaco a 160 latidos por minuto mientras entrena. Durante su entrenamiento cuenta 27 latidos en 10 segundos. ¿Cuántos latidos por minuto es esto? ¿Kevin ha cumplido con su frecuencia cardíaca objetivo?
    5. Una nueva bebida energética anuncia 106 calorías por 8 onzas. ¿Cuántas calorías hay en 12 onzas de la bebida?
    6. Una lata de refresco de 12 onzas tiene 150 calorías. Si Josiah bebe el tamaño grande de 32 onzas del mini-mart local, ¿cuántas calorías obtiene?
    7. Karen come\ (\ dfrac {1} {2}) taza de avena que cuenta por 2 puntos en su programa de pérdida de peso. Su esposo, Joe, puede tomar 3 puntos de avena para desayunar. ¿Cuánta avena puede tomar?
    8. Una receta de galleta de avena requiere una\(\dfrac{1}{2}\) taza de mantequilla para hacer 4 docenas de galletas. Hilda necesita hacer 10 docenas de galletas para la venta de pasteles. ¿Cuántas tazas de mantequilla necesitará?
    9. Janice viaja a Canadá y cambiará 250 dólares estadounidenses a dólares canadienses. Al tipo de cambio actual, $1 US es igual a $1.01 canadiense. ¿Cuántos dólares canadienses obtendrá por su viaje?
    10. Todd viaja a México y necesita cambiar 450 dólares por pesos mexicanos. Si cada dólar vale 12.29 pesos, ¿cuántos pesos obtendrá por su viaje?
    11. Steve cambió 600 dólares a 480 euros. ¿Cuántos euros recibió por dólar estadounidense?
    12. Martha cambió 350 dólares estadounidenses a 385 dólares australianos. ¿Cuántos dólares australianos recibió por dólar estadounidense?
    13. En la lavandería, Lucy cambió 12.00 dólares a cuartos. ¿Cuántos cuartos obtuvo?
    14. Cuando llegó a un casino, Gerty cambió 20 dólares en monedas de cinco centavos. ¿Cuántas cinco dólares obtuvo?
    15. El auto de Jesse obtiene 30 millas por galón de gasolina. Si Las Vegas está a 285 millas de distancia, ¿cuántos galones de gasolina se necesitan para llegar y luego a casa? Si el gas es de $3.09 por galón, ¿cuál es el costo total del gas para el viaje?
    16. Danny quiere conducir hasta Phoenix para ver a su abuelo. Phoenix está a 370 millas de la casa de Danny y su auto obtiene 18.5 millas por galón. ¿Cuántos galones de gasolina necesitará Danny para llegar y salir de Phoenix? Si la gasolina es de $3.19 por galón, ¿cuál es el costo total para que la gasolina conduzca para ver a su abuelo?
    17. Hugh sale temprano una mañana para conducir desde su casa en Chicago para ir al monte Rushmore, a 812 millas de distancia. Después de 3 horas, ha recorrido 190 millas. A ese ritmo, ¿cuánto tiempo tardará todo el viaje?
    18. Kelly sale de su casa en Seattle para conducir a Spokane, a una distancia de 280 millas. Después de 2 horas, ha recorrido 152 millas. A ese ritmo, ¿cuánto tiempo tardará todo el viaje?
    19. Phil quiere fertilizar su césped. Cada bolsa de fertilizante cubre alrededor de 4,000 pies cuadrados de césped. El césped de Phil es aproximadamente 13.500 pies cuadrados. ¿Cuántas bolsas de fertilizante tendrá que comprar?
    20. April quiere pintar el exterior de su casa. Un galón de pintura cubre aproximadamente 350 pies cuadrados, y el exterior de la casa mide aproximadamente 2000 pies cuadrados. ¿Cuántos galones de pintura tendrá que comprar?

    Escribir Ecuaciones de Porcentaje como Proporciones

    En los siguientes ejercicios, traduzca a una proporción.

    1. ¿Qué número es 35% de 250?
    2. ¿Qué número es 75% de 920?
    3. ¿Qué número es 110% de 47?
    4. ¿Qué número es 150% de 64?
    5. 45 es 30% de qué número?
    6. 25 es 80% de qué número?
    7. ¿90 es 150% de qué número?
    8. ¿77 es 110% de qué número?
    9. ¿Cuál por ciento de 85 es 17?
    10. ¿Cuál por ciento de 92 es 46?
    11. ¿Cuál por ciento de 260 es 340?
    12. ¿Cuál por ciento de 180 es 220?

    Traducir y resolver proporciones porcentuales

    En los siguientes ejercicios, traduzca y resuelva usando proporciones.

    1. ¿Qué número es 65% de 180?
    2. ¿Qué número es 55% de 300?
    3. ¿18% de 92 es qué número?
    4. ¿22% de 74 es qué número?
    5. 175% de 26 es ¿qué número?
    6. ¿250% de 61 es qué número?
    7. ¿Qué es el 300% de 488?
    8. ¿Qué es el 500% de 315?
    9. ¿17% de qué número es $7.65?
    10. ¿19% de qué número es $6.46?
    11. $13.53 es 8.25% de qué número?
    12. $18.12 es 7.55% de qué número?
    13. ¿Cuál por ciento de 56 es 14?
    14. ¿Cuál por ciento de 80 es 28?
    15. ¿Qué porcentaje de 96 es 12?
    16. ¿Cuál por ciento de 120 es 27?

    Matemáticas cotidianas

    1. Mezclando un concentrado Sam compró una botella grande de solución de limpieza concentrada en la tienda del almacén. Debe mezclar el concentrado con agua para hacer una solución para lavarse las ventanas. Las instrucciones le dicen que mezcle 3 onzas de concentrado con 5 onzas de agua. Si pone 12 onzas de concentrado en un cubo, ¿cuántas onzas de agua debe agregar? ¿Cuántas onzas de la solución tendrá en conjunto?
    2. Mezclando un concentrado Travis va a lavar su auto. Las instrucciones en la botella de concentrado de lavado de autos dicen mezclar 2 onzas de concentrado con 15 onzas de agua. Si Travis pone 6 onzas de concentrado en un cubo, ¿cuánta agua debe mezclar con el concentrado?

    Ejercicios de escritura

    1. Para resolver “qué número es 45% de 350” ¿prefieres usar una ecuación como la que hiciste en la sección de Operaciones Decimales o una proporción como la que hiciste en esta sección? Explica tu razón.
    2. Para resolver “qué porcentaje de 125 es 25” ¿prefieres usar una ecuación como la que hiciste en la sección de Operaciones Decimales o una proporción como la que hiciste en esta sección? Explica tu razón.

    Autocomprobación

    (a) Después de completar los ejercicios, utilice esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

    (b) En general, después de mirar la lista de verificación, ¿cree que está bien preparado para el próximo Capítulo? ¿Por qué o por qué no?

    Colaboradores y Atribuciones


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