7.2: Propiedades conmutativas y asociativas (Parte 1)

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Objetivos de aprendizaje

Utilizar las propiedades conmutativas y asociativas
Evaluar expresiones usando las propiedades conmutativas y asociativas
Simplificar expresiones usando las propiedades conmutativas y asociativas

¡prepárate!

Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

Simplificar: 7y + 2 + y + 13. Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 2.3.10.
Multiplicar:$\dfrac{2}{3} \cdot 18$. Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 4.3.10.
Encuentra lo contrario de 15. Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 3.1.3.

En las próximas secciones, echaremos un vistazo a las propiedades de los números reales. Muchas de estas propiedades describirán cosas que ya conoces, pero ayudará a dar nombres a las propiedades y definirlas formalmente. De esta manera podremos referirnos a ellos y utilizarlos a medida que resolvamos ecuaciones en el siguiente capítulo.

Utilizar las propiedades conmutativas y asociativas

Piensa en sumar dos números, como 5 y 3.

\[\begin{split} 5 &+ 3 \qquad 3 + 5 \\ &\; 8 \qquad \qquad 8 \end{split}\]

Los resultados son los mismos. 5 + 3 = 3 + 5

Aviso, el orden en que añadimos no importa. Lo mismo ocurre cuando se multiplican 5 y 3.

\[\begin{split} 5 &\cdot 3 \qquad \; 3 \cdot 5 \\ & 15 \qquad \quad 15 \end{split}\]

De nuevo, ¡los resultados son los mismos! 5 • 3 = 3 • 5. El orden en que nos multiplicamos no importa. Estos ejemplos ilustran las propiedades conmutativas de adición y multiplicación.

Definición: Propiedades conmutativas

Propiedad conmutativa de la suma: si a y b son números reales, entonces a + b = b + a

Propiedad conmutativa de la multiplicación: si a y b son números reales, entonces a • b = b • a

Las propiedades conmutativas tienen que ver con el orden. Si cambia el orden de los números al sumar o multiplicar, el resultado es el mismo.

Ejemplo$\PageIndex{1}$:

Utilice las propiedades conmutativas para reescribir las siguientes expresiones: (a) −1 + 3 = _____ (b) 4 • 9 = _____

Solución

(a) −1 + 3 = _____

Utilice la propiedad conmutativa de adición para cambiar el orden.

−1 + 3 = 3 + (−1)

b) 4 • 9 = _____

Utilizar la propiedad conmutativa de la multiplicación para cambiar el orden.

4 • 9 = 9 • 4

Ejercicio$\PageIndex{1}$:

Utilice las propiedades conmutativas para reescribir las siguientes expresiones: (a) −4 + 7 = _____ (b) 6 • 12 = _____

Contestar a: $-4+7=7+(-4)$
Respuesta b: $6 \cdot 12=12 \cdot 6$

Ejercicio$\PageIndex{2}$:

Utilice las propiedades conmutativas para reescribir las siguientes expresiones: (a) 14 + (-2) = _____ (b) 3 (-5) = _____

Contestar a: $14+(-2)=-2+14$
Respuesta b: $3(-5)=(-5) 3$

¿Qué pasa con la resta? ¿Importa el orden cuando restamos números? ¿7 − 3 da el mismo resultado que 3 − 7?

\[\begin{split} 7 &- 3 \qquad 3 - 7 \\ &\; 4 \qquad \quad -4 \\ & \quad 4 \neq -4 \end{split}\]

Los resultados no son los mismos. 7 − 3 ≠ 3 − 7

Dado que cambiar el orden de la resta no dio el mismo resultado, podemos decir que la resta no es conmutativa. Veamos qué pasa cuando dividimos dos números. ¿Es la división conmutativa?

\[\begin{split} 12 &\div 4 \qquad 4 \div 12 \\ & \dfrac{12}{4} \qquad \quad \dfrac{4}{12} \\ &\; 3 \qquad \qquad \dfrac{1}{3} \\ &\quad \; 3 \neq \dfrac{1}{3} \end{split}\]

Los resultados no son los mismos. Así 12 ÷ 4 ≠ 4 ÷ 12

Dado que cambiar el orden de la división no dio el mismo resultado, la división no es conmutativa.

La suma y la multiplicación son conmutativas. La resta y la división no son conmutativas.

Supongamos que se le pidió que simplificara esta expresión.

\[7 + 8 + 2\]

¿Cómo lo harías y cuál sería tu respuesta?

Algunas personas pensarían que 7 + 8 es 15 y luego 15 + 2 es 17. Otros podrían comenzar con 8 + 2 hace 10 y luego 7 + 10 hace 17.

Ambas vías dan el mismo resultado, como se muestra en la Figura$\PageIndex{1}$. (Recuerde que los paréntesis son símbolos de agrupación que indican qué operaciones deben realizarse primero).

$La imagen muestra una ecuación. El lado izquierdo de la ecuación muestra la cantidad 7 más 8 entre paréntesis más 2. El lado derecho de la ecuación muestra 7 más la cantidad 8 más 2. Cada lado de la ecuación está encajonado por separado en rojo. Cada caja tiene una flecha apuntando desde la caja al número 17 de abajo.$

Figura$\PageIndex{1}$

Al sumar tres números, cambiar la agrupación de los números no cambia el resultado. Esto se conoce como la Propiedad Asociativa de Adición.

El mismo principio también es válido para la multiplicación. Supongamos que queremos encontrar el valor de la siguiente expresión:

\[5 \cdot \dfrac{1}{3} \cdot 3\]

Cambiar la agrupación de los números da el mismo resultado, como se muestra en la Figura$\PageIndex{2}$.

$La imagen muestra una ecuación. El lado izquierdo de la ecuación muestra la cantidad 5 por 1 tercio entre paréntesis por 3. El lado derecho de la ecuación muestra 5 veces la cantidad 1 tercio por 3. Cada lado de la ecuación está encajonado por separado en rojo. Cada caja tiene una flecha apuntando desde la caja al número 5 de abajo.$

Figura$\PageIndex{2}$

Al multiplicar tres números, cambiar la agrupación de los números no cambia el resultado. Esto se conoce como la Propiedad Asociativa de la Multiplicación.

Si multiplicamos tres números, cambiar la agrupación no afecta al producto. Probablemente lo sepas, pero la terminología puede ser nueva para ti. Estos ejemplos ilustran las Propiedades Asociativas.

Definición: Propiedades asociativas

Propiedad asociativa de la suma: si a, b y c son números reales, entonces (a + b) + c = a + (b + c)

Propiedad asociativa de la multiplicación: si a, b y c son números reales, entonces (a • b) • c = a • (b • c)

Ejemplo$\PageIndex{2}$:

Utilice las propiedades asociativas para reescribir lo siguiente: (a) (3 + 0.6) + 0.4 = __________ (b)$\left(−4 \cdot \dfrac{2}{5}\right) \cdot 15$ = __________

Solución

(a) (3 + 0.6) + 0.4 = __________

Cambiar la agrupación.

(3 + 0.6) + 0.4 = 3 + (0.6 + 0.4)

Observe que 0.6 + 0.4 es 1, por lo que la adición será más fácil si agrupamos como se muestra a la derecha.

b)$\left(−4 \cdot \dfrac{2}{5}\right) \cdot 15$ = __________

Cambiar la agrupación.

(3 + 0.6) + 0.4 = 3 + (0.6 + 0.4)

Observe que$\dfrac{2}{5} \cdot 15$ es 6. La multiplicación será más fácil si agrupamos como se muestra a la derecha.

Ejercicio$\PageIndex{3}$:

Utilice las propiedades asociativas para reescribir lo siguiente: (a) (1 + 0.7) + 0.3 = __________ (b) (−9 • 8) •$\dfrac{3}{4}$ = __________

Contestar a: $(1+0.7)+0.3=1+(0.7+0.3)$
Respuesta b: $(-9 \cdot 8) \cdot \frac{3}{4}=-9\left(8 \cdot \frac{3}{4}\right)$

Ejercicio$\PageIndex{4}$:

Utilice las propiedades asociativas para reescribir lo siguiente: (a) (4 + 0.6) + 0.4 = __________ (b) (−2 • 12) •$\dfrac{5}{6}$ = __________

Contestar a: $(4+0.6)+0.4=4+(0.6+0.4)$
Respuesta b: $(-2 \cdot 12) \cdot \frac{5}{6}=-2\left(12 \cdot \frac{5}{6}\right)$

Además de usar las propiedades asociativas para facilitar los cálculos, a menudo lo usaremos para simplificar expresiones con variables.

Ejemplo$\PageIndex{3}$:

Utilice la Propiedad Asociativa de la Multiplicación para simplificar: 6 (3x).

Solución

Cambiar la agrupación.	(6 • 3) x
Multiplicar entre paréntesis.	18x

Observe que podemos multiplicar 6 • 3, pero no podríamos multiplicar 3 • x sin tener un valor para x.

Ejercicio$\PageIndex{5}$:

Utilice la Propiedad Asociativa de Multiplicación para simplificar la expresión dada: 8 (4x).

Contestar: $32x$

Ejercicio$\PageIndex{6}$:

Utilice la Propiedad Asociativa de Multiplicación para simplificar la expresión dada: −9 (7y).

Contestar: $-63y$

Evaluar expresiones usando las propiedades conmutativas y asociativas

Las propiedades conmutativas y asociativas pueden facilitar la evaluación de algunas expresiones algebraicas. Dado que el orden no importa a la hora de sumar o multiplicar tres o más términos, podemos reorganizar y reagrupar términos para facilitar nuestro trabajo, como ilustran los siguientes ejemplos.

Ejemplo$\PageIndex{4}$:

Evalúa cada expresión cuando x =$\dfrac{7}{8}$. (a) x + 0.37 + (− x) (b) x + (− x) + 0.37

Solución

(a) x + 0.37 + (− x)

Sustituto$\dfrac{7}{8}$ por x.	$$\ textcolor {rojo} {\ dfrac {7} {8}} + 0.37 +\ izquierda (-\ textcolor {rojo} {\ dfrac {7} {8}}\ derecha) $$
Convertir fracciones a decimales.	0.875 + 0.37 + (-0.875)
Añadir de izquierda a derecha.	1.245 - 0.875
Restar.	0.37

(b) x + (− x) + 0.37

Sustituto$\dfrac{7}{8}$ por x.	$$\ textcolor {rojo} {\ dfrac {7} {8}} +\ izquierda (-\ textcolor {rojo} {\ dfrac {7} {8}}\ derecha) + 0.37$$
Agrega primero los opuestos.	0.37

¿Cuál fue la diferencia entre la parte (a) y la parte (b)? Sólo cambió el orden. Por la Propiedad Conmutativa de Adición, x + 0.37 + (− x) = x + (− x) + 0.37. Pero, ¿no fue la parte (b) mucho más fácil?

Ejercicio$\PageIndex{7}$:

Evalúe cada expresión cuando y =$\dfrac{3}{8}$: (a) y + 0.84 + (− y) (b) y + (− y) + 0.84.

Contestar a: $0.84$
Respuesta b: $0.84$

Ejercicio$\PageIndex{8}$:

Evalúe cada expresión cuando f =$\dfrac{17}{20}$: (a) f + 0.975 + (− f) (b) f + (− f) + 0.975.

Contestar a: $0.975$
Respuesta b: $0.975$

Hagamos una más, esta vez con multiplicación.

Ejemplo$\PageIndex{5}$:

Evalúe cada expresión cuando n = 17. a$\dfrac{4}{3} \left(\dfrac{3}{4} n\right)$) b$\left(\dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{3}{4}\right) n$

Solución

(a)$\dfrac{4}{3} \left(\dfrac{3}{4} n\right)$

Sustituto 17 por n.	$$\ dfrac {4} {3}\ izquierda (\ dfrac {3} {4}\ cdot\ textcolor {rojo} {17}\ derecha) $$
Multiplique primero entre paréntesis.	$$\ dfrac {4} {3}\ izquierda (\ dfrac {51} {4}\ derecha) $$
Multiplicar de nuevo.	$$17$$

b)$\left(\dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{3}{4}\right) n$

Sustituto 17 por n.	$$\ izquierda (\ dfrac {4} {3}\ cdot\ dfrac {3} {4}\ derecha)\ textcolor {rojo} {\ cdot 17} $$
Multiplicar. El producto de los recíprocos es 1.	$$ (1)\ cdot 17$$
Multiplicar de nuevo.	$$17$$

¿Cuál fue la diferencia entre la parte (a) y la parte (b) aquí? Sólo cambió la agrupación. Por la Propiedad Asociativa de la Multiplicación,$\dfrac{4}{3} \left(\dfrac{3}{4} n\right) = \left(\dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{3}{4}\right) n$. Al elegir cuidadosamente cómo agrupar los factores, podemos facilitar el trabajo.

Ejercicio$\PageIndex{9}$:

Evalúe cada expresión cuando p = 24. a$\dfrac{5}{9} \left(\dfrac{9}{5} p\right)$) b$\left(\dfrac{5}{9} \cdot \dfrac{9}{5}\right) p$

Contestar a: $24$
Respuesta b: $24$

Ejercicio$\PageIndex{10}$:

Evalúa cada expresión cuando q = 15. a$\dfrac{7}{11} \left(\dfrac{11}{7} q\right)$) b$\left(\dfrac{7}{11} \cdot \dfrac{11}{7}\right) q$

Contestar a: $15$
Respuesta b: $15$

Colaboradores y Atribuciones

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Definición: Propiedades conmutativas

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Ejercicio\(\PageIndex{1}\):

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Ejemplo\(\PageIndex{4}\):

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Ejemplo\(\PageIndex{5}\):

Ejercicio\(\PageIndex{9}\):

Ejercicio\(\PageIndex{10}\):

Sustituto\(\dfrac{7}{8}\) por x.	$$\ textcolor {rojo} {\ dfrac {7} {8}} + 0.37 +\ izquierda (-\ textcolor {rojo} {\ dfrac {7} {8}}\ derecha) $$
Convertir fracciones a decimales.	0.875 + 0.37 + (-0.875)
Añadir de izquierda a derecha.	1.245 - 0.875
Restar.	0.37