2.1.3: Dilataciones sin Rejilla

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Lección

Vamos a dilatar las cifras no en las cuadrículas.

Ejercicio$\PageIndex{1}$: Points on a Ray

Encuentre y etiquete un punto$C$ en el rayo cuya distancia de$A$ sea el doble de la distancia de$B$ a$A$.
Encontrar y etiquetar un punto$D$ en el rayo cuya distancia de$A$ es la mitad de la distancia de$B$ a$A$.

Ejercicio$\PageIndex{2}$: Dilation Obstacle Course

Dilate$B$ usando un factor de escala de 5 y$A$ como centro de dilatación. ¿Qué punto es su imagen?
Usando$H$ como centro de dilatación, dilatar$G$ para que su imagen sea$E$. ¿Qué factor de escala utilizaste?
Usando$H$ como centro de dilatación, dilatar$E$ para que su imagen sea$G$. ¿Qué factor de escala utilizaste?
Para dilatar para$F$ que su imagen sea$B$, ¿qué punto del diagrama puedes usar como centro?
Dilate$H$ usando$A$ como centro y un factor de escala de\ frac {1} {3}\). ¿Qué punto es su imagen?
Describir una dilatación que utilice un punto etiquetado como su centro y que llevaría$F$ a$H$.
Usando$B$ como centro de dilatación, dilatar$H$ para que su imagen sea en sí misma. ¿Qué factor de escala utilizaste?

Ejercicio$\PageIndex{3}$: Getting Perspective

Dilate$P$ usando$C$ como centro y un factor de escala de 4. Sigue las indicaciones para realizar las dilataciones en el applet.
1. Seleccione la herramienta Dilatación desde punto.
  $clipboard_e9c34494227fc0f22a749cea0fd0de5f5.png$
2. Haga clic en el objeto a dilatar, y luego haga clic en el centro de dilatación.
3. Cuando se abra el cuadro de diálogo, introduzca el factor de escala. Las fracciones se pueden escribir con texto plano, ex. 1/2.
4. Click
  $clipboard_ed35870767031cbbd544561c6fbafaf97.png$
5. Utilice la herramienta Rayos y la herramienta Distancia para verificar.
Dilate$Q$ usando$C$ como centro y un factor de escala de$\frac{1}{2}$.
Dibuja un polígono simple.
1. Elija un punto fuera del polígono para usarlo como centro de dilatación. Etiquetarlo$C$.
2. Usando tu centro$C$ y el factor de escala que te dieron, dibuja la imagen bajo la dilatación de cada vértice del polígono, uno a la vez. Conecta los vértices dilatados para crear el polígono dilatado.
3. Dibuja un segmento que conecte cada uno de los vértices originales con su imagen. ¡Esto hará que tu diagrama se vea como un genial dibujo tridimensional de una caja! Si hay tiempo, puedes sombrear los lados de la caja para que se vea más realista.
4. Compara tu dibujo con los dibujos de otras personas. ¿Qué es lo mismo y qué es diferente? ¿Cómo afectan las elecciones que tomaste al sorteo final? ¿Tu polígono dilatado estaba$C$ más cerca que del polígono original, o más lejos? ¿Cómo se decide eso?

¿Estás listo para más?

Aquí está el segmento de línea$DE$ y su imagen$D'E'$ bajo una dilatación.

Usa una regla para encontrar y dibujar el centro de dilatación. Etiquetarlo$F$.
¿Cuál es el factor de escala de la dilatación?

Resumen

Si$A$ es el centro de dilatación, ¿cómo podemos encontrar qué punto es la dilatación de$B$ con factor de escala 2?

Dado que el factor de escala es mayor que 1, el punto debe estar$A$ más lejos de lo que$B$ es, lo que hace que$C$ el punto que estamos buscando. Si medimos la distancia entre$A$ y$C$, encontraríamos que es exactamente el doble de la distancia entre$A$ y$B$.

Una dilatación con factor de escala menor a 1 acerca los puntos. El punto$D$ es la dilatación de$B$ con centro$A$ y factor de escala$\frac{1}{3}$.

Entradas en el glosario

Definición: Centro de una Dilatación

El centro de una dilatación es un punto fijo en un plano. Es el punto de partida desde el que medimos distancias en una dilatación.

En este diagrama, el punto$P$ es el centro de la dilatación.

Definición: Dilatación

Una dilatación es una transformación en la que cada punto de una figura se mueve a lo largo de una línea y cambia su distancia desde un punto fijo. El punto fijo es el centro de la dilatación. Todas las distancias originales se multiplican por el mismo factor de escala.

Por ejemplo, triángulo$DEF$ es una dilatación de triángulo$ABC$. El centro de dilatación es$O$ y el factor de escala es 3.

Esto significa que cada punto del triángulo$DEF$ está 3 veces más lejos$O$ de cada punto correspondiente del triángulo$ABC$.

Definición: Factor de Escala

Para crear una copia a escala, multiplicamos todas las longitudes de la figura original por el mismo número. Este número se llama factor de escala.

En este ejemplo, el factor de escala es 1.5, porque$4\cdot (1.5)=6$,$5\cdot (1.5)=7.5$, y$6\cdot (1.5)=9$.

Practica

Ejercicio$\PageIndex{4}$

El segmento$AB$ mide 3 cm. El punto$O$ es el centro de dilatación. ¿Cuánto dura la imagen de$AB$ después de una dilatación con...

$5$¿Factor de escala?
$3.7$¿Factor de escala?
$\frac{1}{5}$¿Factor de escala?
$s$¿Factor de escala?

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Aquí están los puntos$A$ y$B$. Trazar los puntos para cada dilatación descrita.

$C$es la imagen de$B$ usar$A$ como centro de dilatación y un factor de escala de$2$.
$D$es la imagen de$A$ usar$B$ como centro de dilatación y un factor de escala de$2$.
$E$es la imagen de$B$ usar$A$ como centro de dilatación y un factor de escala de$\frac{1}{2}$.
$F$es la imagen de$A$ usar$B$ como centro de dilatación y un factor de escala de$\frac{1}{2}$.

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Hacer un dibujo en perspectiva. Incluye en tu trabajo el centro de dilatación, la forma que dilatas y el factor de escala que usas.

Ejercicio$\PageIndex{7}$

Triángulo$ABC$ es una copia a escala del triángulo$DEF$. El lado$AB$ mide 12 cm y es el lado más largo de$ABC$. El lado$DE$ mide 8 cm y es el lado más largo de$DEF$.

$ABC$¿Triángulo es una copia escalada del triángulo$DEF$ con qué factor de escala?
$DEF$¿Triángulo es una copia escalada del triángulo$ABC$ con qué factor de escala?

(De la Unidad 2.1.1)

Ejercicio$\PageIndex{8}$

El diagrama muestra dos líneas que se cruzan.

Figura$\PageIndex{8}$: Dos líneas que se cruzan, formando una X. El ángulo superior está etiquetado como 102 grados. El ángulo izquierdo está etiquetado como grados. El ángulo inferior está etiquetado como b grados. El ángulo recto está etiquetado con c grados.

Encuentra las medidas de ángulo faltantes.

(De la Unidad 1.4.1)

Ejercicio$\PageIndex{9}$

Demostrar que los dos triángulos son congruentes.
Encuentra las longitudes laterales de$DEF$ y las medidas de ángulo de$ABC$.

Figura$\PageIndex{9}$: Dos triángulos en un plano x y. Origen O. Eje horizontal de negativo 6 a 6, por 1s. Eje vertical de negativo 4 a 4, por 1s. Triángulo A B C. Punto A en negativo 2 coma 4. Punto B en negativo 6 coma 1. Punto C en negativo 3 coma 1. La cara A C está etiquetada con 3 punto 2. La cara C B está etiquetada con 3. El lado A B está etiquetado como 5. Triángulo D E F. Punto D a 3 coma negativo 1. Punto F a 4 coma negativo 4. Punto E a 7 coma negativa 4. El ángulo F E D está etiquetado como 36 puntos 9 grados. El ángulo E D F está etiquetado como 34 punto 7 grados. El ángulo D F E está etiquetado 108 punto 4 grados.

(De la Unidad 1.2.1)