4.2.5: Resolución Estratégica

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Lección

Resolvamos ecuaciones lineales como un jefe.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Equal Perimeters

El triángulo y el cuadrado tienen perímetros iguales.

Encuentra el valor de\(x\).
¿Cuál es el perímetro de cada una de las figuras?

Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Predicting Solutions

Sin resolver, identifique si estas ecuaciones tienen una solución positiva, negativa o cero.

\(\frac{x}{6}=\frac{3x}{4}\)
\(7x=3.25\)
\(7x=32.5\)
\(3x+11=11\)
\(9-4x=4\)
\(-8+5x=-20\)
\(-\frac{1}{2}(-8+5x)=-20\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Which Would You Rather Solve?

Aquí hay muchas ecuaciones:

\(-\frac{5}{6}(8+5b)=75+\frac{5}{3}b\)
\(-\frac{1}{2}(t+3)-10=-6.5\)
\(\frac{10-v}{4}=2(v+17)\)
\(2(4k+3)-13=2(18-k)-13\)
\(\frac{n}{7}-12=5n+5\)
\(3(c-1)+2(3c-1)=-(3c+1)\)
\(\frac{4m-3}{4}=-\frac{9+4m}{8}\)
\(p-5(p+4)=p-(8-p)\)
\(2(2q+1.5)=18-q\)
\(2r+49=-8(-r-5)\)

Sin resolver, identifica 3 ecuaciones que creas que serían menos difíciles de resolver y 3 ecuaciones que crees que serían las más difíciles de resolver. Esté preparado para explicar su razonamiento.
Elige 3 ecuaciones para resolver. Al menos uno debería ser de tu lista de “menos difíciles” y uno debería ser de tu lista “más difícil”.

¿Estás listo para más?

Mai le dio la mitad de sus brownies, y después medio brownie más, a Kiran. Después le dio la mitad de lo que quedaba, y medio brownie más, a Tyler. Eso la dejó con un brownie restante. ¿Con cuántos brownies tenía para empezar?

Resumen

A veces se nos pide resolver ecuaciones con muchas cosas que suceden en cada lado. Por ejemplo,

\[x-2(x+5)=\frac{3(2x-20)}{6}\nonumber\]

Esta ecuación tiene variables en cada lado, paréntesis, e incluso una fracción en la que pensar. Antes de comenzar a distribuir, echemos un vistazo más de cerca a la fracción del lado derecho. La expresión\(2x-20\) está siendo multiplicada por 3 y dividida por 6, que es lo mismo que simplemente dividirla por 2, así podemos reescribir la ecuación como

\[x-2(x+5)=\frac{2x-20}{2}\nonumber\]

Pero ahora es más fácil ver que todos los términos en el numerador del lado derecho son divisibles por 2, lo que significa que podemos volver a escribir el lado derecho como

\[x-2(x+5)=x-10\nonumber\]

En este punto, podríamos hacer alguna distribución y luego recolectar términos similares a cada lado de la ecuación. Otra opción sería utilizar la estructura de la ecuación. Tanto el lado izquierdo como el derecho tienen algo de lo que se está restando\(x\). Pero, si los dos lados son iguales, eso significa que el “algo” que se resta de cada lado también debe ser igual. Pensando de esta manera, la ecuación ahora se puede reescribir con menos términos como

\[2(x+5)=10\nonumber\]

¡Solo quedan unos pasos! Pero, ¿qué podemos decir de la solución a este problema ahora mismo? ¿Es positivo? ¿Negativo? ¿Cero? Bueno, el 2 y el 5 multiplicados juntos son 10, así que eso significa que el 2 y el\(x\) multiplicado juntos no pueden tener un valor positivo o negativo. Terminando los pasos que tenemos:

\[\begin{aligned} 2(x+5)&=10 \\ x+5&=5 &\text{Divide each side by 2.} \\ x&=0 &\text{Subtract 5 from each side}\end{aligned}\]

Ni positivo ni negativo. Justo como se predijo.

Entradas en el glosario

Definición: Término

Un término es parte de una expresión. Puede ser un solo número, una variable, o un número y una variable que se multiplican entre sí. Por ejemplo, la expresión\(5x+18\) tiene dos términos. El primer término es\(5x\) y el segundo es 18.

Practica

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Resuelve cada una de estas ecuaciones. Explica o muestra tu razonamiento.

\(2b+8-5b+3=-13+8b-5\)

\(2x+7-5x+8=3(5+6x)-12x\)

\(2c-3=2(6-c)+7c\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Resuelve cada ecuación y comprueba tu solución.

\(-3w-4=w+3\)

\(3(3-3x)=2(x+3)-30\)

\(\frac{1}{3}(z+4)-6=\frac{2}{3}(5-z)\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Elena dijo que la ecuación no\(9x+15=3x+15\) tiene soluciones porque\(9x\) es mayor que\(3x\). ¿Estás de acuerdo con Elena? Explica tu razonamiento.

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

La tabla da algunos datos de muestra para dos cantidades,\(x\) y\(y\), que están en una relación proporcional.

\(x\)	\(y\)
\ (x\) ">\(14\)	\ (y\) ">\(21\)
\ (x\) ">\(64\)	\ (y\) ">
\ (x\) ">	\ (y\) ">\(39\)
\ (x\) ">\(1\)	\ (y\) ">

Mesa\(\PageIndex{1}\)

Completa la tabla.
Escribe una ecuación que represente la relación entre\(x\) y que\(y\) se muestra en la tabla.
Grafica la relación. Utilice una escala para los ejes que muestre todos los puntos de la tabla.

(De la Unidad 3.1.3)