4.2.4: Resolver cualquier ecuación lineal

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 118710

Illustrative Mathematics
OpenUp Resources

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Lección

Resolvamos ecuaciones lineales.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Equation Talk

Resuelve cada ecuación mentalmente.

\(5-x=8\)

\(-1=x-2\)

\(-3x=9\)

\(-10=-5x\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Trading Moves

Tu profesor te dará 4 tarjetas, cada una con una ecuación.

Con tu pareja, selecciona una tarjeta y elige quién tomará el primer turno.
Durante tu turno, decide cuál debe ser el siguiente movimiento para resolver la ecuación, explica tu elección a tu pareja y luego escríbalo una vez que ambos estén de acuerdo. Cambiar roles para el siguiente movimiento. Esto continúa hasta que se resuelve la ecuación.
Elija una segunda ecuación para resolver de la misma manera, cambiando la tarjeta de ida y vuelta después de cada movimiento.
Para las dos últimas ecuaciones, elige una para resolver cada una y luego comercia con tu pareja cuando termines para verificar el trabajo del otro.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\): A Puzzling Puzzle

Tyler dice que inventó un acertijo numérico. Él le pide a Clare que elija un número, y luego le pide que haga lo siguiente:

Triplicar el número
Restar 7
Duplique el resultado
Restar 22
Dividir por 6

Clare dice que ahora tiene un -3. Tyler dice que su número original debe haber sido un 3. ¿Cómo lo sabía Tyler? Explica o muestra tu razonamiento. Esté preparado para compartir su razonamiento con la clase.

Resumen

Cuando tenemos una ecuación en una variable, hay muchas formas diferentes de resolverla. Generalmente queremos hacer movimientos que nos acerquen a una ecuación como

variable = algún número.

Por ejemplo,\(x=5\) o\(t=\frac{7}{3}\). Dado que hay muchas formas de hacerlo, ayuda elegir movimientos que dejen menos términos o factores. Si tenemos una ecuación como\(3t+5=7\),

sumar -5 a cada lado nos dejará con menos términos. La ecuación entonces se convierte\(3t=2\).

Dividir cada lado de esta ecuación por 3 nos dejará con\(t\) por sí mismo a la izquierda y eso\(t=\frac{2}{3}\).

O, si tenemos una ecuación como\(4(5-a)=12\),

dividir cada lado por 4 nos dejará con menos factores a la izquierda,\(5-a=3\).

Algunas personas utilizan los siguientes pasos para resolver una ecuación lineal en una variable:

Utilice la propiedad distributiva para que todas las expresiones ya no tengan paréntesis.
Recoge términos similares en cada lado de la ecuación.
Suma o resta una expresión para que haya una variable en un solo lado.
Sumar o restar una expresión para que solo haya un número en el otro lado.
Multiplica o divide por un número para que tengas una ecuación que parezca variable algún número.

Por ejemplo, supongamos que queremos resolver\(9-2b+6=-3(b+5)+4b\).

\[\begin{aligned} 9-2b+6&=-3b-15+4b &\text{Use the distributive property} \\ 15-2b&=b-15 &\text{Gather like terms} \\ 15&=3b-15 &\text{Add 2b to each side} \\ 30&=3b &\text{Add 15 to each side} \\ 10&=b &\text{Divide each side by 3}\end{aligned}\nonumber\]

Seguir estos pasos siempre funcionará, aunque puede que no sea el método más eficiente. De mucha experiencia, aprendemos cuándo usar diferentes enfoques.

Definición: Término

Un término es parte de una expresión. Puede ser un solo número, una variable, o un número y una variable que se multiplican entre sí. Por ejemplo, la expresión\(5x+18\) tiene dos términos. El primer término es\(5x\) y el segundo es 18.

Practica

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Resuelve cada una de estas ecuaciones. Explica o muestra tu razonamiento.

\[2(x+5)=3x+1\qquad 3y-4=6-2y\qquad 3(n+2)=9(6-n)\nonumber\]

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Clare estaba resolviendo una ecuación, pero cuando comprobó su respuesta vio que su solución era incorrecta. Ella sabe que cometió un error, pero no lo encuentra. ¿Dónde está el error de Clare y cuál es la solución a la ecuación?

\[\begin{aligned} 12(5+2y)&=4y-(5-9y)\\ 72+24y&=4y-5-9y \\ 72+24y&=-5y-5 \\ 24y&=-5y-77 \\ 29y&=-77 \\ y&=-\frac{77}{29}\end{aligned}\nonumber\]

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Resuelve cada ecuación y comprueba tu solución.

\[\frac{1}{9}(2m-16)=\frac{1}{3}(2m+4)\qquad -4(r+2)=4(2-2r) \qquad 12(5+2y)=4y-(6-9y)\nonumber\]

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Aquí está la gráfica de una ecuación lineal.

Seleccione todas las declaraciones verdaderas sobre la línea y su ecuación.

Una solución de la ecuación es\((3,2)\).
Una solución de la ecuación es\((-1,1)\).
Una solución de la ecuación es\((1,\frac{3}{2})\).
Hay 2 soluciones.
Hay infinitamente muchas soluciones.
La ecuación de la línea es\(y=\frac{1}{4}x+\frac{5}{4}\).
La ecuación de la línea es\(y=\frac{5}{4}x+\frac{1}{4}\).

(De la Unidad 3.4.2)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Un participante en una caminata de 21 millas camina a un ritmo constante de 3 millas por hora. Él piensa: “La relación entre el número de millas que quedan para caminar y el número de horas que ya caminé puede ser representada por una línea con pendiente”\(-3\). ¿Está de acuerdo con su afirmación? Explica tu razonamiento.

(De la Unidad 3.3.1)