4.2.6: Todas, Algunas o Sin Soluciones

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Lección

Pensemos en cuántas soluciones puede tener una ecuación.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Which one doesn't belong?

\(5+7=7+5\)
\(5\cdot 7=7\cdot 5\)
\(2=7-5\)
\(5-7=7-5\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Thinking About Solutions

\(n=n\)

\(2t+6=2(t+3)\)

\(3(n+1)=3n+1\)

\(\frac{1}{4}(20d+4)=5d\)

\(5-9+3x=-10+6+3x\)

\(\frac{1}{2}+x=\frac{1}{3}+x\)

\(y\cdot -6\cdot -3=2\cdot y\cdot 9\)

\(v+2=v-2\)

Clasifica estas ecuaciones en los dos tipos: true para todos los valores y true para ningún valor.
Escribe el otro lado de esta ecuación para que esta ecuación sea verdadera para todos los valores de\(u\). \(6(u-2)+2=\)
Escribe el otro lado de esta ecuación para que esta ecuación sea cierta para no valores de\(u\). \(6(u-2)+2=\)

¿Estás listo para más?

Los números consecutivos siguen uno tras otro. Un ejemplo de tres números consecutivos es 17, 18 y 19. Otro ejemplo es -100, -99, -98.

¿Cuántos conjuntos de dos o más enteros positivos consecutivos se pueden sumar para obtener una suma de 100?

Ejercicio\(\PageIndex{3}\): What's the Equation?

Completa cada ecuación para que sea cierta para todos los valores de\(x\).
1. \(3x+6=3(x+\underline{ })\)
2. \(x-2=-(\underline{ }-x)\)
3. \(\frac{15x-10}{5}=\underline{ }-2\)
Completar cada ecuación para que sea cierto para no valores de\(x\).
1. \(3x+6=3(x+\underline{ })\)
2. \(x-2=-(\underline{ }-x)\)
3. \(\frac{15x-10}{5}=\underline{ }-2\)
Describa cómo sabe si una ecuación será verdadera para todos los valores de\(x\) o verdadera para ningún valor de\(x\).

Resumen

Una ecuación es una declaración de que dos expresiones tienen un valor igual. La ecuación

\(2x=6\)

es una declaración verdadera si\(x\) es 3:

\(2\cdot 3=6\)

Es una declaración falsa si\(x\) es 4:

\(2\cdot 4=6\)

La ecuación\(2x=6\) tiene una y sólo una solución, porque solo hay un número (3) que puedes duplicar para obtener 6.

Algunas ecuaciones son ciertas sin importar cuál sea el valor de la variable. Por ejemplo:

\(2x=x+x\)

siempre es cierto, porque si duplicas un número, eso siempre será lo mismo que sumarle el número a sí mismo. Ecuaciones como\(2x=x+x\) tener un número infinito de soluciones. Decimos que es cierto para todos los valores de\(x\).

Algunas ecuaciones no tienen soluciones. Por ejemplo:

\(x=x+1\)

no tiene soluciones, porque no importa cuál sea el valor de\(x\) es, no puede igualar a uno más que a sí mismo.

Cuando resolvemos una ecuación, estamos buscando los valores de la variable que hagan verdadera la ecuación. Cuando tratamos de resolver la ecuación, hacemos movimientos permisibles asumiendo que tiene una solución. A veces hacemos movimientos permitidos y obtenemos una ecuación como esta:

\(8=7\)

Esta afirmación es falsa, por lo que debe ser que la ecuación original no tuvo solución alguna.

Entradas en el glosario

Definición: Término

Un término es parte de una expresión. Puede ser un solo número, una variable, o un número y una variable que se multiplican entre sí. Por ejemplo, la expresión\(5x+18\) tiene dos términos. El primer término es\(5x\) y el segundo es 18.

Practica

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Para cada ecuación, decide si es siempre verdadera o nunca cierta.

\(x-13=x+1\)
\(x+\frac{1}{2}=x-\frac{1}{2}\)
\(2(x+3)=5x+6-3x\)
\(x-3=2x-3-x\)
\(3(x-5)=2(x-5)+x\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Mai dice que la ecuación no\(2x+2=x+1\) tiene solución porque el lado izquierdo es el doble del lado derecho. ¿Estás de acuerdo con Mai? Explica tu razonamiento.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Escribe el otro lado de esta ecuación para que sea cierto para todos los valores de\(x\):
\(\frac{1}{2}(6x-10)-x=\)
Escribe el otro lado de esta ecuación para que sea cierto para ningún valor de\(x\):
\(\frac{1}{2}(6x-10)-x=\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Aquí hay una ecuación que es cierta para todos los valores de\(x\):\(5(x+2)=5x+10\). Elena vio esta ecuación y dice que puede decir que también\(20(x+2)+31=4(5x+10)+31\) es cierto para cualquier valor de\(x\). ¿Cómo puede saberlo? Explica tu razonamiento.

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Elena y Lin están tratando de resolver\(\frac{1}{2}x+3=\frac{7}{2}x+5\). Describir el cambio que cada uno realiza a cada lado de la ecuación.

El primer paso de Elena es escribir\(3=\frac{7}{2}x-\frac{1}{2}x+5\).
El primer paso de Lin es escribir\(x+6=7x+10\).

(De la Unidad 4.2.3)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Resuelve cada ecuación y comprueba tu solución.

\[3x-6=4(2-3x)-8x\qquad \frac{1}{2}z+6=\frac{3}{2}(z+6)\qquad 9-7w=8w+8\nonumber\]

(De la Unidad 4.2.5)

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

El punto\((-3,6)\) está en una línea con una pendiente de 4.

Encuentra dos puntos más en la línea.
Escribe una ecuación para la línea.

(De la Unidad 3.4.1)