4.3.4: Resolver Sistemas de Ecuaciones

Lección

Resolvamos sistemas de ecuaciones.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): True or False: Two Lines

Figura\(\PageIndex{1}\): Gráfica de 2 líneas, origen O. Eje horizontal, escala negativa 25 a 25, por 5's. Eje vertical, escala negativa 20 a 20, por 5's. Una línea es etiquetada y es igual a negativo x más 10. Otra línea está etiquetada y es igual a 2 x más 4. Las líneas se cruzan en el punto 2 coma 8.

Usa las líneas para decidir si cada declaración es verdadera o falsa. Esté preparado para explicar su razonamiento usando las líneas.

1. Una solución a\(8=-x+10\) es 2.
2. Una solución a\(2=2x+4\) es 8.
3. Una solución a\(-x+10=2x+4\) es 8.
4. Una solución a\(-x+10=2x+4\) es 2.
5. No hay valores de\(x\) y\(y\) que hacen\(y=-x+10\) y\(y=2x+4\) verdad al mismo tiempo.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Matching Graphs to Systems

Aquí hay tres sistemas de ecuaciones gráficas en un plano de coordenadas:

Figura\(\PageIndex{2}\): Tres gráficas, con dos líneas cada una, en el plano x y, origen O. Todas las gráficas tienen una escala de 25 a 25 negativas tanto en el eje x como en el eje y. Gráfica A. Una línea se inclinó hacia abajo y hacia la derecha. Cruza el eje x en 10 y el eje y en 20. Otra línea se inclinó hacia arriba y hacia la derecha. Cruza el eje y en 5. Cruza el eje x a la izquierda del origen. Gráfica B. Una línea se inclinó hacia arriba y hacia la derecha. Cruza el eje y entre 25 y 30. Cruza el eje x entre negativo 10 y negativo 15. Otra línea se inclinó hacia arriba y hacia la derecha. Cruza el eje y entre 10 y 15. Cruza el eje x entre negativo 20 y negativo 25. Gráfica C. Una línea se inclinó hacia arriba y hacia la derecha. Cruza el eje x entre 0 y 5. Cruza el eje y entre 0 y negativo 5. Otra línea se inclinó hacia arriba y hacia la derecha. Cruza el eje x en 5 y el eje y en negativo 10.

1. Haga coincidir cada figura con uno de los sistemas de ecuaciones que se muestran aquí.
   1. \(\left\{\begin{array}{l}{y=3x+5}\\{y=-2x+20}\end{array}\right.\)
   2. \(\left\{\begin{array}{l}{y=2x-10}\\{y=4x-1}\end{array}\right.\)
   3. \(\left\{\begin{array}{l}{y=0.5x+12}\\{y=2x+27}\end{array}\right.\)
2. Encuentre la solución para cada sistema y luego verifique que su solución sea razonable en la gráfica.

• Observe que los deslizadores establecen los valores del coeficiente y el término constante en cada ecuación.
• Cambiar los deslizadores a los valores del coeficiente y el término constante en el siguiente par de ecuaciones.
• Haga clic en el lugar donde se cruzan las líneas y debería aparecer un punto etiquetado.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Different Types of Systems

Tu profesor te dará una página con 6 sistemas de ecuaciones.

1. Grafica cada sistema de ecuaciones escribiendo cada par de ecuaciones en el applet, una a la vez.
2. Describir cómo se ve la gráfica de un sistema de ecuaciones cuando tiene.
   1. 1 solución
   2. 0 soluciones
   3. infinitamente muchas soluciones

Usa el applet para confirmar tu respuesta a la pregunta 2.

¿Estás listo para más?

Las gráficas de las ecuaciones\(Ax+By=15\) y se\(Ax-By=9\) cruzan en\((2,1)\). Encontrar\(A\) y\(B\). Muestra o explica tu razonamiento.

Resumen

A veces es más fácil resolver un sistema de ecuaciones sin tener que graficar las ecuaciones y buscar un punto de intersección. En general, siempre que estemos resolviendo un sistema de ecuaciones escritas como

\[\left\{\begin{array}{l}{y=\text{[some stuff]}}\\{y=\text{[some other stuff]}}\end{array}\right.\nonumber\]

sabemos que estamos buscando un par de valores\((x,y)\) que hagan verdaderas ambas ecuaciones. En particular, sabemos que el valor para\(y\) será el mismo en ambas ecuaciones. Eso significa que

\[\text{[some stuff]}=\text{[some other stuff]}\nonumber\]

Por ejemplo, mira este sistema de ecuaciones:

\[\left\{\begin{array}{l}{y=2x+6}\\{y=-3x-4}\end{array}\right.\nonumber\]

Dado que el\(y\) valor de la solución es el mismo en ambas ecuaciones, entonces sabemos\(2x+6=-3x-4\)

Podemos resolver esta ecuación para\(x\):

\[\begin{aligned} 2x+6&=-3x-4 \\ 5x+6&=-4 &\text{add 3x to each side} \\ 5x&=-10 &\text{subtract 6 from each side} \\ x&=-2 &\text{divide each side by 5}\end{aligned}\nonumber\]

Pero esto es sólo la mitad de lo que estamos buscando: conocemos el valor para\(x\), pero necesitamos el valor correspondiente para\(y\). Dado que ambas ecuaciones tienen el mismo\(y\) valor, podemos usar cualquiera de las dos ecuaciones para encontrar el\(y\) -value:

\(y=2(-2)+6\)

O

\(y=-3(-2)-4\)

En ambos casos, nos encontramos con eso\(y=2\). Entonces la solución al sistema es\((-2,2)\). Podemos verificar esto graficando ambas ecuaciones en el plano de coordenadas.

Figura\(\PageIndex{3}\): Gráfica de línea de dos líneas, origen O, con cuadrícula. Eje horizontal, x, escala negativa 4 a 1, por 1s. Eje vertical, y, escala negativa 1 a 4, por 1's Las líneas se cruzan en el punto negativo 2 coma 2.

En general, un sistema de ecuaciones lineales puede tener:

• Sin soluciones. En este caso, las líneas que corresponden a cada ecuación nunca se cruzan.
• Exactamente una solución. Las líneas que corresponden a cada ecuación se cruzan en exactamente un punto.
• Un número infinito de soluciones. ¡Las gráficas de las dos ecuaciones son la misma línea!

Entradas en el glosario

Definición: Sistema de ecuaciones

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones. Cada ecuación contiene dos o más variables. Queremos encontrar valores para las variables que hagan verdaderas todas las ecuaciones.

Estas ecuaciones conforman un sistema de ecuaciones:

\[\left\{\begin{array}{l}{x+y=-2}\\{x-y=12}\end{array}\right.\nonumber\]

La solución a este sistema es\(x=5\) y\(y=-7\) porque cuando estos valores son sustituidos por\(x\) y\(y\), cada ecuación es verdadera:\(5+(-7)=-2\) y\(5-(-7)=12\).

Practica

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

1. Escribe ecuaciones para las líneas mostradas.

Figura\(\PageIndex{4}\): Gráfica de dos líneas que se cruzan en el plano XY. Escala negativa 8 a 8 en ambos ejes. La primera línea se inclinó hacia arriba y hacia la derecha, cruza el eje y en 2, y pasa por el punto 1 coma 5. La segunda línea se inclinó hacia abajo y hacia la derecha, cruza el eje y en 8, y pasa por el punto 1 coma 5.

2. Describir cómo encontrar la solución al sistema correspondiente mirando la gráfica.

3. Describir cómo encontrar la solución al sistema correspondiente mediante el uso de las ecuaciones.

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

La solución a un sistema de ecuaciones es\((5,-19)\). Elija dos ecuaciones que podrían formar el sistema.

1. \(y=-3x-6\)
2. \(y=2x-23\)
3. \(y=-7x+16\)
4. \(y=x-17\)
5. \(y=-2x-9\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Resuelve el sistema de ecuaciones:

\[\left\{\begin{array}{l}{y=4x-3}\\{y=-2x+9}\end{array}\right.\nonumber\]

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Resuelve el sistema de ecuaciones:

\[\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{5}{4}x-2}\\{y=-\frac{1}{4}x+19}\end{array}\right.\nonumber\]

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Aquí hay una ecuación:\(\frac{15(x-3)}{5}=3(2x-3)\)

1. Resuelve la ecuación usando primero la propiedad distributiva.
2. Resuelve la ecuación sin usar la propiedad distributiva.
3. Consulta tu solución.

(De la Unidad 4.2.5)