5.5.2: Escalar dos dimensiones

Lección

Cambiemos más dimensiones de formas.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Tripling Statements

\(m, n, a, b\), y\(c\) todos representan enteros positivos. Considera estas dos ecuaciones:\(m=a+b+c\)\(n=abc\)

1. ¿Cuáles de estas afirmaciones son ciertas? Seleccione todas las que correspondan.
   1. Si\(a\) se triplica,\(m\) se triplica.
   2. Si\(a\),\(b\), y\(c\) son todos triplicados, entonces\(m\) se triplican.
   3. Si\(a\) se triplica,\(n\) se triplica.
   4. Si\(a\),\(b\), y\(c\) son todos triplicados, entonces\(n\) se triplican.
2. Crea una verdadera declaración propia sobre una de las ecuaciones.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\): A Square Base

Clare esboza un prisma rectangular con una altura de 11 y una base cuadrada y etiqueta los bordes de la base\(s\). Ella le pregunta a Han qué piensa que le pasará al volumen del prisma rectangular si se triplica\(s\).

Han dice que el volumen será 9 veces mayor. ¿Tiene razón? Explica o muestra tu razonamiento.

¿Estás listo para más?

Se puede construir un cilindro a partir de un trozo de papel rizándolo para que puedas pegar dos bordes opuestos (los bordes punteados en la figura).

Figura\(\PageIndex{1}\)

1. Si quisieras aumentar el volumen dentro del cilindro resultante, ¿tendría más sentido duplicar\(x\)\(y\), o no importa?
2. Si quisieras aumentar la superficie del cilindro resultante, ¿tendría más sentido duplicar\(x\)\(y\), o no importa?
3. ¿Cómo cambiarían sus respuestas a estas preguntas si hiciéramos un cilindro pegando juntas las líneas continuas en lugar de las líneas discontinuas?

Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Playing with Cones

Hay muchos conos con una altura de 7 unidades. Dejar\(r\) representar el radio y\(V\) representar el volumen de estos conos.

1. Escribir una ecuación que exprese la relación entre\(V\) y\(r\). Utilice 3.14 como aproximación para\(\pi\).
2. Predice qué pasa con el volumen si triples el valor de\(r\).
3. Grafica esta ecuación.
4. ¿Qué pasa con el volumen si triples\(r\)? ¿Dónde ves esto en la gráfica? ¿Cómo se puede ver algebraicamente?

Resumen

Hay muchos prismas rectangulares que tienen una longitud de 4 unidades y un ancho de 5 unidades pero diferentes alturas. Si\(h\) representa la altura, entonces el volumen\(V\) de dicho prisma es

\(V=20h\)

La ecuación nos muestra que el volumen de un prisma con un área base de 20 unidades cuadradas es una función lineal de la altura. Debido a que esta es una relación proporcional, si la altura se multiplica por un factor de\(a\), entonces el volumen también se multiplica por un factor de\(a\):

\(V=20(ah)\)

¿Qué pasa si escalamos dos dimensiones de un prisma por un factor de\(a\)? En este caso, el volumen se multiplica por un factor de\(a\) dos veces, o\(a^{2}\).

Por ejemplo, piense en un prisma con una longitud de 4 unidades, un ancho de 5 unidades y una altura de 6 unidades. Su volumen es de 120 unidades cúbicas desde entonces\(4\cdot 5\cdot 6=120\). Ahora imagina el largo y ancho cada uno se escala por un factor de\(a\), lo que significa que el nuevo prisma tiene una longitud de\(4a\), ancho de\(5a\), y una altura de 6. El nuevo volumen es unidades\(120a^{2}\) cúbicas desde\(4a\cdot 5a\cdot 6=120a^{2}\).

Una relación similar se mantiene para cilindros. Piense en un cilindro con una altura de 6 y un radio de 5. El volumen serían unidades\(150\pi\) cúbicas desde entonces\(\pi\cdot 5^{2}\cdot 6=150\pi \). Ahora, imagina que el radio se escala por un factor de\(a\). Entonces el nuevo volumen es\(\pi\cdot (5a)^{2}\cdot 6=\pi\cdot 25a^{2}\cdot 6\) o unidades\(150a^{2}\pi\) cúbicas. Entonces escalar el radio por un factor de\(a\) tiene el efecto de multiplicar el volumen por\(a^{2}\)!

¿Por qué el volumen se multiplica por\(a^{2}\) cuando solo cambia el radio? Esto tiene sentido si imaginamos cómo escalar el radio cambia el área base del cilindro. A medida que aumenta el radio, el área base se hace más grande en dos dimensiones (el círculo se ensancha y también más alto), mientras que la tercera dimensión del cilindro, la altura, permanece igual.

Practica

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Hay muchos cilindros con una altura de 18 metros. Dejar\(r\) representar el radio en metros y\(V\) representar el volumen en metros cúbicos.

1. Escribe una ecuación que represente\(V\) el volumen en función del radio\(r\).
2. Completa esta tabla, dando tres posibles ejemplos.

   Mesa\(\PageIndex{1}\)

   \(r\)	\(V\)
   \ (r\) ">1	\ (V\) ">
   \ (r\) ">	\ (V\) ">
   \ (r\) ">	\ (V\) ">

3. Si se duplica el radio de un cilindro, ¿se duplica el volumen? Explique cómo sabe.
4. ¿La gráfica de esta función es una línea? Explique cómo sabe.

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Como parte de una competencia, Diego debe dar vueltas en círculo 6 veces y luego correr hacia un árbol. El tiempo que pasa en cada giro está representado por\(s\) y el tiempo que pasa corriendo lo es\(r\). Llega al árbol 21 segundos después de que empieza a girar.

1. Escribir una ecuación que muestre la relación entre\(s\) y\(r\).
2. Reorganizar la ecuación para que\(r\) se muestre en función de\(s\).
3. Si Diego tarda 1.2 segundos en dar vueltas cada vez, ¿cuántos segundos pasó corriendo?

(De la Unidad 5.2.1)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

La tabla y la gráfica representan dos funciones. Utilice la tabla y la gráfica para responder a las preguntas.

Figura\(\PageIndex{2}\): Un plano coordenado, x, 0 a 14 por unos, y, negativo 4 a 4. La gráfica comienza en el origen, aumenta aproximadamente (2 punto 5 coma 4), luego disminuye a través de (5 coma 0) a (7 punto 5 coma negativa 4), luego aumenta a través de (10 coma 0) a (12 punto 5 coma 4) luego comienza a disminuir nuevamente.

Mesa\(\PageIndex{2}\)

\(x\)	1	2	3	4	5	6
\(y\)	3	-1	0	4	5	-1

1. ¿Para qué valores de la salida de la tabla\(x\) es menor que la salida de la gráfica?
2. En la función graficada, ¿qué valores de\(x\) dan una salida de 0?

(De la Unidad 5.2.5)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Un cono tiene un radio de 3 unidades y una altura de 4 unidades.

1. ¿Qué es este volumen de este cono?
2. Otro cono tiene cuadruplicado el radio, y la misma altura. ¿Cuántas veces más grande es el volumen del nuevo cono?