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LibreTexts Español

5.5.4: El volumen de una esfera

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    Lección

    Exploremos esferas y sus volúmenes.

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Sketch a Sphere

    Aquí hay un método para dibujar rápidamente una esfera:

    • Dibuja un círculo.
    • Dibuja un óvalo en el medio cuyos bordes toquen la esfera.
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    Figura\(\PageIndex{1}\)
    1. Practica bosquejar algunas esferas. Esboce algunos tamaños diferentes.
    2. Para cada boceto, dibuje un radio y etiquételo\(r\).

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\): A Sphere in a Cylinder

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    Figura\(\PageIndex{2}\)

    Aquí hay un cono, una esfera y un cilindro que tienen todos los mismos radios y alturas. El radio del cilindro es de 5 unidades. Cuando sea necesario, expresar todas las respuestas en términos de\(\pi\).

    1. ¿Cuál es la altura del cilindro?
    2. ¿Cuál es el volumen del cilindro?
    3. ¿Cuál es el volumen del cono?
    4. ¿Cuál es el volumen de la esfera? Explica tu razonamiento.

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Spheres in Cylinders

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    Figura\(\PageIndex{3}\)

    Aquí hay un cono, una esfera y un cilindro que tienen todos los mismos radios y alturas. Deje que el radio del cilindro sean\(r\) unidades. Cuando sea necesario, expresar respuestas en términos de\(\pi\).

    1. ¿Cuál es la altura del cilindro en términos de\(r\)?
    2. ¿Cuál es el volumen del cilindro en términos de\(r\)?
    3. ¿Cuál es el volumen del cono en términos de\(r\)?
    4. ¿Cuál es el volumen de la esfera en términos de\(r\)?
    5. Un volumen del cono es\(\frac{1}{3}\) el volumen de un cilindro. El volumen de la esfera es ¿qué fracción del volumen del cilindro?

    Resumen

    Piense en una esfera con\(r\) unidades de radio que se ajuste perfectamente dentro de un cilindro. El cilindro debe entonces tener también un radio de\(r\) unidades y una altura de\(2r\) unidades. Usando lo que hemos aprendido sobre el volumen, el cilindro tiene un volumen de\(\pi r^{2}h=\pi r^{2}\cdot (2r)\), que es igual a unidades\(2\pi r^{3}\) cúbicas.

    Sabemos por una lección anterior que el volumen de un cono con la misma base y altura que un cilindro tiene\(\frac{1}{3}\) del volumen. En este ejemplo, dicho cono tiene un volumen de\(\frac{1}{3}\cdot \pi r^{2}\cdot 2r\) o solo unidades\(\frac{2}{3}\pi r^{3}\) cúbicas.

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    Figura\(\PageIndex{4}\)

    Si llenamos el cono y la esfera con agua, y luego vertimos esa agua en el cilindro, el cilindro estaría completamente lleno. Eso significa que el volumen de la esfera y el volumen del cono se suman al volumen del cilindro. En otras palabras, si\(V\) es el volumen de la esfera, entonces

    \(V+\frac{2}{3}\pi r^{3}=2\pi r^{3}\)

    Esto lleva a la fórmula para el volumen de la esfera,

    \(V=\frac{4}{3}\pi r^{3}\)

    Practica

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    1. El volumen de un cubo es de 512 unidades cúbicas. ¿Cuál es la longitud de su borde?
    2. Si una esfera encaja perfectamente dentro de este cubo, ¿cuál es su volumen?
    3. ¿Qué fración del cubo es retomada por la esfera? ¿Qué porcentaje es este? Explica o muestra tu razonamiento.

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    La esfera A tiene un radio de 2 cm. La esfera B tiene un radio de 4 cm.

    1. Calcular el volumen de cada esfera.
    2. El radio de la Esfera B es el doble que el de la Esfera A. ¿Cuántas veces mayor es el volumen de B?

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Tres conos tienen un volumen de\(192\pi\) cm 3. El cono A tiene un radio de 2 cm. El cono B tiene un radio de 3 cm. El cono C tiene un radio de 4 cm. Encuentra la altura de cada cono.

    (De la Unidad 5.4.6)

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    La gráfica representa el precio promedio de la gasolina regular en Estados Unidos en dólares en función del número de meses posteriores a enero de 2014.

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    Figura\(\PageIndex{5}\)
    1. ¿Cuántos meses después de enero de 2014 fue el precio de la gasolina el mayor?
    2. ¿El precio promedio de la gasolina alguna vez llegó por debajo de los $2?
    3. Describa lo que sucedió con el precio promedio de la gasolina en 2014.

    (De la Unidad 5.2.3)

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    Coincide con la descripción de cada esfera con su volumen correcto.

    1. Esfera A: radio de 4 cm
    2. Esfera B: diámetro de 6 cm
    3. Esfera C: radio de 8 cm
    4. Esfera D: radio de 6 cm
    1. \(288\pi\text{ cm}^{3}\)
    2. \(\frac{256}{3}\pi\text{ cm}^{3}\)
    3. \(36\pi\text{ cm}^{3}\)
    4. \(\frac{2048}{3}\pi\text{ cm}^{3}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    Al realizar un inventario en su tienda de bicicletas, el propietario notó que el número de bicicletas es 2 menos de 10 veces el número de triciclos. También saben que hay 410 ruedas en todas las bicicletas y triciclos de la tienda. Escribe y resuelve un sistema de ecuaciones para encontrar el número de bicicletas en la tienda.

    (De la Unidad 4.3.6)

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