7.2.6: Practicar con Bases Racionales

Lección

Practicemos con exponentes.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Which One Doesn't Belong: Exponents

¿Qué expresión no pertenece?

\[\begin{array}{ccc}{\frac{2^{8}}{2^{5}}}&{\qquad}&{\left(\frac{3}{4}\right)^{-5}\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{8}}\\{(4^{-5})^{8}}&{\qquad}&{\frac{10^{8}}{10^{5}}}\end{array}\nonumber\]

Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Exponent Rule Practie

1. Elija 6 de las ecuaciones para escribir usando un solo exponente:
   • \(7^{5}\cdot 7^{6}\)
   • \(3^{-3}\cdot 3^{8}\)
   • \(2^{-4}\cdot 2^{-3}\)
   • \(\left(\frac{5}{6}\right)^{4}\left(\frac{5}{6}\right)^{5}\)
   • \(\frac{3^{5}}{3^{28}}\)
   • \(\frac{2^{-5}}{2^{4}}\)
   • \(\frac{6^{5}}{6^{-8}}\)
   • \(\frac{10^{-12}}{10^{-20}}\)
   • \((7^{2})^{3}\)
   • \((4^{3})^{-3}\)
   • \((2^{-8})^{-4}\)
   • \((6^{-3})^{5}\)
2. ¿Qué problemas querías saltarte en la pregunta anterior? Explica tu forma de pensar.
3. Elija 3 de las siguientes opciones para escribir usando un solo exponente positivo:
   • \(2^{-7}\)
   • \(3^{-23}\)
   • \((11^{-8}\)
   • \(4^{-9}\)
   • \(2^{-32}\)
   • \(8^{-3}\)
4. Elija 3 de los siguientes para evaluar:
   • \(\frac{10^{5}}{10^{5}}\)
   • \(\left(\frac{2}{3}\right)^{3}\)
   • \(2^{8}\cdot 2^{-8}\)
   • \(\left(\frac{5}{4}\right)^{2}\)
   • \((3^{4})^{0}\)
   • \(\left(\frac{7}{2}\right)^{2}\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Inconsistent Bases

Marcar cada ecuación como verdadera o falsa. ¿Qué podrías cambiar de las ecuaciones falsas para hacerlas verdaderas?

1. \(\left(\frac{1}{3}\right)^{2}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{4}=\left(\frac{1}{3}\right)^{6}\)
2. \(3^{2}\cdot 5^{3}=15^{5}\)
3. \(5^{4}+5^{5}=5^{9}\)
4. \(\left(\frac{1}{2}\right)^{4}\cdot 10^{3}=5^{7}\)
5. \(3^{2}\cdot 5^{2}=15^{2}\)

¿Estás listo para más?

Resuelve esta ecuación:\(3^{x-5}=9^{x+4}\). Explica o muestra tu razonamiento.

Resumen

En las últimas lecciones, encontramos reglas para realizar un seguimiento más fácil de los factores repetidos al usar exponentes. También ampliamos estas reglas para dar sentido a los exponentes negativos como factores repetidos del recíproco de la base, así como definir un número a la potencia de 0 para tener un valor de 1. Estas reglas se pueden escribir simbólicamente como:

\[x^{n}\cdot x^{m}=x^{n+m},\qquad (x^{n})^{m}=x^{n\cdot m},\qquad\frac{x^{n}}{x^{m}}=x^{n-m},\qquad x^{-n}=\frac{1}{x^{n}},\quad\text{and}\quad x^{0}=1\nonumber\]

donde la base\(x\) puede ser cualquier número positivo. En esta lección, practicamos el uso de estas reglas de exponentes para diferentes bases y exponentes.

Entradas en el glosario

Definición: Base (de un exponente)

En expresiones como\(5^{3}\) y\(8^{2}\), los 5 y 8 se llaman bases. Te dicen qué factor multiplicar repetidamente. Por ejemplo,\(5^{3}=5\cdot 5\cdot 5\), y\(8^{2}=8\cdot 8\).

Definición: Recíproco

Dividir 1 por un número da el recíproco de ese número. Por ejemplo, el recíproco de 12 es\(\frac{1}{12}\), y el recíproco de\(\frac{2}{5}\) es\(\frac{5}{2}\).

Practica

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Escribe con un solo exponente:

1. \(\frac{7^{6}}{7^{2}}\)
2. \((11^{4})^{5}\)
3. \(4^{2}\cdot 4^{6}\)
4. \(6\cdot 6^{8}\)
5. \((12^{2})^{7}\)
6. \(\frac{3^{10}}{3}\)
7. \((0.173)^{9}\cdot (0.173)^{2}\)
8. \(\frac{0.87^{5}}{0.87^{3}}\)
9. \(\frac{\left(\frac{5}{2}\right)^{8}}{\left(\frac{5}{2}\right)^{6}}\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Noé dice eso\(2^{4}\cdot 3^{2}=6^{6}\). Tyler dice eso\(2^{4}\cdot 4^{2}=16^{2}\).

1. ¿Estás de acuerdo con Noé? Explica o muestra tu razonamiento.
2. ¿Estás de acuerdo con Tyler? Explica o muestra tu razonamiento.