8.1.2: Longitudes y Áreas Laterales

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Lección

Investiguemos algunos cuadrados más.

Ejercicio$\PageIndex{1}$: Notice and Wonder: Intersecting Circles

¿Qué notas? ¿Qué te preguntas?

Ejercicio$\PageIndex{2}$: One Square

1. Usa el círculo para estimar el área del cuadrado que se muestra aquí:

2. Usa la cuadrícula para verificar tu respuesta al primer problema.

¿Estás listo para más?

Un vértice del triángulo equilátero está en el centro del cuadrado, y un vértice del cuadrado está en el centro del triángulo equilátero. ¿Qué es$x$?

Ejercicio$\PageIndex{3}$: The Sides and Areas of Tilted Squares

1. Encuentre el área de cada cuadrado y estime las longitudes de los lados usando su kit de herramientas de geometría. Después escribe las longitudes exactas para los lados de cada cuadrado.

2. Completa las mesas con las longitudes y áreas laterales faltantes.

Mesa$\PageIndex{1}$
	longitud lateral,$s$	0.5		1.5		2.5		3.5
fila 1	zona,$a$		1		4		9		16

Mesa$\PageIndex{2}$
	longitud lateral,$s$	4.5		5.5		6.5		7.5
fila 1	zona,$a$		25		36		49		64

3. Trazar los puntos,$(s,a)$, en el plano de coordenadas que se muestra aquí.

4. Utilice esta gráfica para estimar las longitudes laterales de los cuadrados en la primera pregunta. ¿Cómo se comparan tus estimaciones de la gráfica con las estimaciones que hiciste inicialmente usando tu kit de herramientas de geometría?

5. Usa la gráfica para aproximar$\sqrt{45}$.

Resumen

Vimos antes que el área de ABCD cuadrada es de 73 unidades ².

$clipboard_e094e2865995eea3dc3496104b32dcc73.png$
Figura$\PageIndex{6}$

¿Cuál es la longitud lateral? El área está entre$8^{2}=64$ y$9^{2}=81$, por lo que la longitud lateral debe estar entre 8 unidades y 9 unidades. También podemos usar papel de calco para trazar una longitud lateral y compararla con la cuadrícula, que también muestra que la longitud lateral está entre 8 unidades y 9 unidades. Pero queremos poder hablar de su longitud exacta. Para escribir “la longitud lateral de un cuadrado cuya superficie es de 73 unidades cuadradas”, utilizamos el símbolo de raíz cuadrada. “La raíz cuadrada de 73” está escrita$\sqrt{73}$, y significa “la longitud de un lado de un cuadrado cuya superficie es de 73 unidades cuadradas”.

Decimos que la longitud lateral de un cuadrado con área 73 unidades ² es$\sqrt{73}$ unidades. Esto significa que$\left(\sqrt{73}\right) ^{2}=73$

Todas estas afirmaciones son también ciertas:

$\sqrt{9}=3$porque$3^{2}=9$

$\sqrt{16}=4$porque$4^{2}=16$

$\sqrt{10}$unidades es la longitud lateral de un cuadrado cuya área es de 10 unidades ², y$\left(\sqrt{10}\right) ^{2}=10$

Figura$\PageIndex{7}$: Hay 3 cuadrados en una cuadrícula cuadrada, dispuestos en orden de área, desde el más pequeño, a la izquierda, hasta el más grande, a la derecha. El cuadrado más a la izquierda está alineado con la rejilla y tiene longitudes laterales de 3 con un área de 9. El cuadrado medio se inclina sobre la rejilla para que sus lados sean diagonales a la rejilla. El cuadrado está etiquetado con una longitud lateral de raíz cuadrada de 10 y un área de 10. El cuadrado más derecho está alineado con la rejilla y tiene longitudes laterales de 4 con un área de 16.

Entradas en el glosario

Definición: Raíz cuadrada

La raíz cuadrada de un número positivo$n$ es el número positivo cuyo cuadrado es$n$. También es la longitud lateral de un cuadrado cuya área es$n$. Escribimos la raíz cuadrada de$n$ as$\sqrt{n}$.

Por ejemplo, la raíz cuadrada de 16, escrita como$\sqrt{16}$, es 4 porque$4^{2}$ es 16.

$\sqrt{16}$es también la longitud lateral de un cuadrado que tiene un área de 16.

Practica

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Una plaza tiene una superficie de 81 pies cuadrados. Selecciona todas las expresiones que sean iguales a la longitud lateral de este cuadrado, en pies.

$\frac{81}{2}$
$\sqrt{81}$
$9$
$\sqrt{9}$
$3$

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Escriba el valor exacto de la longitud lateral, en unidades, de un cuadrado cuya superficie en unidades cuadradas es:

$36$
$37$
$\frac{100}{9}$
$\frac{2}{5}$
$0.0001$
$0.11$

Ejercicio$\PageIndex{6}$

El cuadrado A es más pequeño que el cuadrado B. El cuadrado B es más pequeño que el cuadrado C.

Las longitudes laterales de los tres cuadrados son$\sqrt{26}$, 4.2, y$\sqrt{11}$.

¿Cuál es la longitud lateral del Cuadrado A? Cuadrado B? Cuadrado C? Explica cómo sabes.

Ejercicio$\PageIndex{7}$

Encuentra el área de un cuadrado si su longitud lateral es:

$\frac{1}{5}$cm
$\frac{3}{7}$unidades
$\frac{11}{8}$pulgadas
$0.1$metros
$3.5$cm

(De la Unidad 8.1.1)

Ejercicio$\PageIndex{8}$

Aquí hay una tabla que muestra las áreas de los siete países más grandes.

Mesa$\PageIndex{3}$
país	área (en km ²)
Rusia	$1.71\times 10^{7}$
Canadá	$9.98\times 10^{6}$
China	$9.60\times 10^{6}$
Estados Unidos	$9.53\times 10^{6}$
Brasil	$8.52\times 10^{6}$
Australia	$6.79\times 10^{6}$
India	$3.29\times 10^{6}$

¿Cuánto más grande es Rusia que Canadá?
Los países asiáticos en esta lista son Rusia, China e India. Los países americanos son Canadá, Estados Unidos y Brasil. ¿Cuál tiene la mayor superficie total: los tres países asiáticos, o los tres países americanos?

(De la Unidad 7.3.7)

Ejercicio$\PageIndex{9}$

Seleccione todas las expresiones que sean equivalentes a$10^{-6}$.

$\frac{1}{1000000}$
$\frac{-1}{1000000}$
$\frac{1}{10^{6}}$
$10^{8}\cdot 10^{-2}$
$\left(\frac{1}{10}\right) ^{6}$
$\frac{1}{10\cdot 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10}$

(De la Unidad 7.2.4)

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	longitud lateral,\(s\)	0.5		1.5		2.5		3.5
fila 1	zona,\(a\)		1		4		9		16

país	área (en km ²)
Rusia	\(1.71\times 10^{7}\)
Canadá	\(9.98\times 10^{6}\)
China	\(9.60\times 10^{6}\)
Estados Unidos	\(9.53\times 10^{6}\)
Brasil	\(8.52\times 10^{6}\)
Australia	\(6.79\times 10^{6}\)
India	\(3.29\times 10^{6}\)