8.1.3: Números racionales e irracionales
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Lección
Aprendamos sobre los números irracionales.
Ejercicio\(\PageIndex{1}\): algebra Talk: Positive Solutions
Encuentre una solución positiva para cada ecuación:
\(x^{2}=36\)
\(x^{2}=\frac{9}{4}\)
\(x^{2}=\frac{1}{4}\)
\(x^{2}=\frac{49}{25}\)
Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Three Squares
- Dibuja 3 cuadrados de diferentes tamaños con vértices alineados a los vértices de la cuadrícula.
- Por cada cuadrado:
- Etiquete el área.
- Etiquete la longitud lateral.
- Escribe una ecuación que muestre la relación entre la longitud del lado y el área.
Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Looking for a Solution
¿Alguno de estos números es una solución a la ecuación\(x^{2}=2\)? Explica tu razonamiento.
- \(1\)
- \(\frac{1}{2}\)
- \(\frac{3}{2}\)
- \(\frac{7}{5}\)
Ejercicio\(\PageIndex{4}\): Looking for \(\sqrt{2}\)
Un número racional es una fracción o su opuesto (o cualquier número equivalente a una fracción o su opuesto).
- Encuentra algunos números más racionales que estén cerca\(\sqrt{2}\).
- ¿Puedes encontrar un número racional que sea exactamente\(\sqrt{2}\)?
¿Estás listo para más?
Si tienes una calculadora más antigua evalúa la expresión\(\left(\frac{577}{408}\right)^{2}\) y te dirá que la respuesta es 2, lo que podría llevarte a pensar eso\(\sqrt{2}=\frac{577}{408}\).
- Explica por qué podrías sospechar del resultado de la calculadora.
- Encuentra una explicación de por qué no\(408^{2}\cdot 2\) podría igualar\(577^{2}\). ¿Cómo demuestra esto que no\(\left(\frac{577}{408}\right)^{2}\) podría igualar 2?
- Repita estas preguntas para\(\left(\frac{1414213562375}{10000000000000}\right)^{2}\neq 2\), una ecuación que incluso muchas calculadoras y computadoras modernas se equivocarán.
Resumen
En una actividad anterior, aprendimos que la notación de raíz cuadrada se utiliza para escribir la longitud de un lado de un cuadrado dada su área. Por ejemplo, un cuadrado cuya superficie es de 2 unidades cuadradas tiene una longitud lateral de\(\sqrt{2}\) unidades, lo que significa que\(\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2\).
Un cuadrado cuya superficie es de 25 unidades cuadradas tiene una longitud lateral de\(\sqrt{25}\) unidades, lo que significa que\(\sqrt{25}\cdot\sqrt{25}=25\). Ya que\(5\cdot 5=25\), sabemos que\(\sqrt{25}=5\)
\(\sqrt{25}\)es un ejemplo de un número racional. Un número racional es una fracción o su opuesto. Recuerde que una fracción\(\frac{a}{b}\) es un punto en la recta numérica que se encuentra dividiendo el segmento de 0 a 1 en intervalos\(b\) iguales y yendo\(a\) de esos intervalos a la derecha de 0. Siempre podemos escribir una fracción en la forma\(\frac{a}{b}\) donde\(a\) y\(b\) son números enteros (y no\(b\) es 0), pero hay otras formas de escribirlos. Por ejemplo, podemos escribir\(\sqrt{25}=\frac{5}{1}\). Primero aprendiste sobre fracciones en grados anteriores, y en ese momento, probablemente no sabías de números negativos. Los números racionales son fracciones, pero pueden ser positivos o negativos. Entonces, -5 también es un número racional. Debido a que las fracciones y proporciones son ideas estrechamente relacionadas, las fracciones y sus opuestos se denominan números racionales.
Aquí algunos ejemplos de números racionales: ¿\(\frac{7}{4},0,\frac{6}{3},0.2,-\frac{1}{3},-5,\sqrt{9},-\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{100}}\)Puedes ver por qué cada uno son ejemplos de “una fracción o su opuesto?”
Un número irracional es un número que no es racional. Es decir, es un número que no es una fracción ni su opuesto. \(\sqrt{2}\)es un ejemplo de un número irracional. Tiene una ubicación en la recta numérica, y su ubicación se puede aproximar por números racionales (está un poquito a la derecha de\(\frac{7}{5}\)), pero no se\(\sqrt{2}\) puede encontrar en una recta numérica dividiendo el segmento de 0 a 1 en partes\(b\) iguales y yendo\(a\) de esas partes lejos de 0 (si \(a\)y\(b\) son números enteros).
\(\frac{17}{12}\)también está cerca de\(\sqrt{2}\), porque\(\left(\frac{17}{12}\right)^{2}=\frac{289}{144}\). \(\frac{289}{144}\)está muy cerca de 2, ya que\(\frac{288}{144}=2\). Pero podríamos seguir buscando para siempre soluciones a\(x^{2}=2\) que sean números racionales, y no encontraríamos ninguna. \(\sqrt{2}\)¡no es un número racional! Es irracional.
En tus estudios futuros, es posible que tengas oportunidades de entender o escribir una prueba que\(\sqrt{2}\) sea irracional, pero por ahora, solo la tomamos como un hecho que\(\sqrt{2}\) es irracional. De igual manera, la raíz cuadrada de cualquier número entero es o bien un número entero (\(\sqrt{36}=6\)\(\sqrt{64}=8\),, etc.) o irracional (\(\sqrt{17}\)\(\sqrt{65}\),, etc.). Aquí hay algunos otros ejemplos de números irracionales:\(\sqrt{10},-\sqrt{3},-\frac{\sqrt{5}}{2},\pi\)
Entradas en el glosario
Definición: Número irracional
Un número irracional es un número que no es una fracción o lo contrario de una fracción.
Pi (\(\pi\)) y\(\sqrt{2}\) son ejemplos de números irracionales.
Definición: Número Racional
Un número racional es una fracción o lo contrario de una fracción.
Algunos ejemplos de números racionales son:\(\frac{7}{4},0,\frac{6}{3},0.2,-\frac{1}{3},-5,\sqrt{9}\)
Definición: Raíz cuadrada
La raíz cuadrada de un número positivo\(n\) es el número positivo cuyo cuadrado es\(n\). También es la longitud lateral de un cuadrado cuya área es\(n\). Escribimos la raíz cuadrada de\(n\) as\(\sqrt{n}\).
Por ejemplo, la raíz cuadrada de 16, escrita como\(\sqrt{16}\), es 4 porque\(4^{2}\) es 16.
\(\sqrt{16}\)es también la longitud lateral de un cuadrado que tiene un área de 16.
Practica
Ejercicio\(\PageIndex{5}\)
Decidir si cada número de esta lista es racional o irracional.
\(\frac{-13}{3},0.1234,\sqrt{37},-77,-\sqrt{100},-\sqrt{12}\)
Ejercicio\(\PageIndex{6}\)
¿Qué valor es una solución exacta de la ecuación\(m^{2}=14\)?
- \(7\)
- \(\sqrt{14}\)
- \(3.74\)
- \(\sqrt{3.74}\)
Ejercicio\(\PageIndex{7}\)
Un cuadrado tiene vértices\((0,0), (5.2), (3,7)\), y\((-2,5)\). ¿Cuál de estas afirmaciones es verdad?
- La longitud lateral del cuadrado es 5.
- La longitud lateral del cuadrado está entre 5 y 6.
- La longitud lateral del cuadrado está entre 6 y 7.
- La longitud lateral del cuadrado es 7.
(De la Unidad 8.1.2)
Ejercicio\(\PageIndex{8}\)
Reescribe cada expresión en una forma equivalente que utilice un solo exponente.
- \((10^{2})^{-3}\)
- \((3^{-3})^{2}\)
- \(3^{-5}\cdot 4^{-5}\)
- \(2^{5}\cdot 3^{-5}\)
(De la Unidad 7.2.7)
Ejercicio\(\PageIndex{9}\)
La gráfica representa el área de hielo marino ártico en kilómetros cuadrados en función del día del año en 2016.
- Dar un intervalo aproximado de días cuando el área de hielo marino ártico estaba disminuyendo.
- ¿En qué días estaba el área de hielo marino ártico 12 millones de kilómetros cuadrados?
(De la Unidad 5.2.3)
Ejercicio\(\PageIndex{10}\)
La preparatoria está organizando un evento para adultos mayores pero también permitirá que asistan algunos juniors. El director aprobó el evento para 200 estudiantes y decidió que el número de juniors debería ser 25% del número de adultos mayores. ¿A cuántos juniors se les permitirá asistir? Si te quedas atascado, intenta escribir dos ecuaciones que representen cada una el número de juniors y seniors en el evento.
(De la Unidad 4.3.5)