8.1.4: Raíces cuadradas en la línea numérica
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Lección
Exploremos las raíces cuadradas.
Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Notice and Wonder: Diagonals
¿Qué notas? ¿Qué te preguntas?
Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Squaring Lines
- Estimar la longitud del segmento de línea a la décima de unidad más cercana (cada cuadrado de cuadrícula es 1 unidad cuadrada).
- Encuentra la longitud exacta del segmento.
Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Square Root of 3
Diego dijo que él piensa eso\(\sqrt{3}\approx 2.5\).
- Usa el cuadrado para explicar por qué 2.5 no es una muy buena aproximación para\(\sqrt{3}\). Encuentra un punto en la recta numérica que esté más cerca\(\sqrt{3}\). Dibuja un nuevo cuadrado sobre los ejes y úsalo para explicarte cómo sabes que el punto que trazaste es una buena aproximación para\(\sqrt{3}\).
- Utilizar el hecho de que\(\sqrt{3}\) es una solución a la ecuación\(x^{2}=3\) para encontrar una aproximación decimal de\(\sqrt{3}\) cuyo cuadrado está entre 2.9 y 3.1.
¿Estás listo para más?
Un agricultor tiene un terreno cubierto de hierba encerrado por una barda en forma de cuadrado con una longitud lateral de 4 metros. Para que sea un hogar adecuado para algunos animales, al agricultor le gustaría tallar un cuadrado más pequeño para llenarlo de agua, como en la figura.
¿Cuál debe ser la longitud lateral del cuadrado más pequeño para que la mitad del área sea pasto y la mitad sea agua?
Resumen
Aquí hay un segmento de línea en una rejilla. ¿Cuál es la longitud de este segmento de línea?
Al dibujar algunos círculos, podemos decir que es más largo que 2 unidades, pero menor que 3 unidades.
Para encontrar un valor exacto para la longitud del segmento, podemos construir un cuadrado sobre él, usando el segmento como uno de los lados del cuadrado.
El área de esta plaza es de 5 unidades cuadradas. (¿Ves por qué?) Eso significa que el valor exacto de la longitud de su lado son\(\sqrt{5}\) unidades.
Observe que 5 es mayor que 4, pero menor que 9. Eso quiere decir que\(\sqrt{5}\) es mayor que 2, pero menor que 3. Esto tiene sentido porque ya vimos que la longitud del segmento está entre 2 y 3.
Con algo de aritmética, podemos tener una idea aún más precisa de dónde\(\sqrt{5}\) está en la recta numérica. La imagen con los círculos muestra que\(\sqrt{5}\) está más cerca de 2 que 3, así que encontremos el valor de 2.1 2 y 2.2 2 y veamos qué tan cerca están de 5. Resulta que\(2.1^{2}=4.41\) y\(2.2^{2}=4.84\), entonces tenemos que probar un número mayor. Si aumentamos nuestra búsqueda en una décima, nos encontramos con eso\(2.3^{2}=5.29\). Esto significa que\(\sqrt{5}\) es mayor que 2.2, pero menor que 2.3. Si quisiéramos seguir adelante, podríamos intentar\(2.25^{2}\) y eventualmente reducir el valor del lugar\(\sqrt{5}\) a las centésimas. Las calculadoras hacen este mismo proceso a muchos decimales, dando una aproximación como\(\sqrt{5}\approx 2.2360679775\). A pesar de que esto es una gran cantidad de decimales, todavía no es exacto porque\(\sqrt{5}\) es irracional.
Entradas en el glosario
Definición: Número irracional
Un número irracional es un número que no es una fracción o lo contrario de una fracción.
Pi (\(\pi\)) y\(\sqrt{2}\) son ejemplos de números irracionales.
Definición: Número Racional
Un número racional es una fracción o lo contrario de una fracción.
Algunos ejemplos de números racionales son:\(\frac{7}{4},0,\frac{6}{3},0.2,-\frac{1}{3},-5,\sqrt{9}\)
Definición: Raíz cuadrada
La raíz cuadrada de un número positivo\(n\) es el número positivo cuyo cuadrado es\(n\). También es la longitud lateral de un cuadrado cuya área es\(n\). Escribimos la raíz cuadrada de\(n\) as\(\sqrt{n}\).
Por ejemplo, la raíz cuadrada de 16, escrita como\(\sqrt{16}\), es 4 porque\(4^{2}\) es 16.
\(\sqrt{16}\)es también la longitud lateral de un cuadrado que tiene un área de 16.
Practica
Ejercicio\(\PageIndex{4}\)
1. Encuentra la longitud exacta de cada segmento de línea.
2. Estimar la longitud de cada segmento de línea a la décima de unidad más cercana. Explica tu razonamiento.
Ejercicio\(\PageIndex{5}\)
Trazar cada número en el\(x\) eje -eje:\(\sqrt{16},\sqrt{35},\sqrt{66}\). Considera usar la cuadrícula para ayudar.
Ejercicio\(\PageIndex{6}\)
Utilizar el hecho de que\(\sqrt{7}\) es una solución a la ecuación\(x^{2}=7\) para encontrar una aproximación decimal de\(\sqrt{7}\) cuyo cuadrado está entre 6.9 y 7.1.
Ejercicio\(\PageIndex{7}\)
El grafito se compone de capas de grafeno. Cada capa de grafeno tiene aproximadamente 200 picometros, o\(200\times 10^{-12}\) metros, de espesor. ¿Cuántas capas de grafeno hay en una pieza de grafito de 1.6 mm de grosor? Expresa tu respuesta en notación científica.
(De la Unidad 7.3.6)
Ejercicio\(\PageIndex{8}\)
Aquí hay un diagrama de dispersión que muestra el número de asistencias y puntos para un grupo de jugadores de hockey. El modelo, representado por\(y=1.5x+1.2\), se grafica con el diagrama de dispersión.
- ¿Qué significa la pendiente en esta situación?
- Basado en el modelo, ¿cuántos puntos tendrá un jugador si tiene 30 asistencias?
(De la Unidad 6.2.4)
Ejercicio\(\PageIndex{9}\)
Los puntos\((12,23)\) y\((14,45)\) se encuentran en una línea. ¿Cuál es la pendiente de la línea?
(De la Unidad 3.2.1)