8.2.2: Una Prueba del Teorema de Pitágoras
- Page ID
- 118625
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)Lección
Probemos el Teorema de Pitágoras.
Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Notice and Wonder: A Square and Four Triangles
¿Qué notas? ¿Qué te preguntas?
Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Adding Up Areas
Ambas figuras que se muestran aquí son cuadrados con una longitud lateral de\(a+b\). Observe que la primera figura se divide en dos cuadrados y dos rectángulos. La segunda figura se divide en un cuadrado y cuatro triángulos rectos con patas de longitudes\(a\) y\(b\). Llamemos a la hipotenusa de estos triángulos\(c\).
- ¿Cuál es el área total de cada figura?
- Encuentra el área de cada una de las 9 regiones más pequeñas que se muestran las figuras y etiquétalas.
- Sume el área de las cuatro regiones de la Figura F y establezca esta expresión igual a la suma de las áreas de las cinco regiones de la Figura G. Si reescribe esta ecuación usando la menor cantidad de términos posible, ¿qué tiene?
¿Estás listo para más?
Toma un triángulo rectángulo 3-4-5, agrega los cuadrados de las longitudes laterales y forma un hexágono conectando vértices de los cuadrados como en la imagen. ¿Cuál es el área de este hexágono?
Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Let's Take it for a Spin
Encuentra las longitudes de lado desconocidas en estos triángulos rectos.
Ejercicio\(\PageIndex{4}\): A Transformational Proof
Usa los applets para explorar la relación entre áreas.
- Considera Cuadrados\(A\) y\(B\).
- Marque la casilla para mostrar las piezas.
- Marque la casilla para darle la vuelta\(C\).
- Organice las cinco piezas para que quepan dentro del Cuadrado\(C\).
- Marque la casilla para ver el triángulo rectángulo.
- Organice las figuras de manera que los cuadrados queden adyacentes a los lados del triángulo.
- Si el triángulo rectángulo tiene piernas\(a\)\(b\) e hipotenusa\(c\), ¿qué acabas de demostrar que es verdad?
- Inténtalo de nuevo con diferentes cuadrados. Estima las áreas de las nuevas Plazas,\(A\),\(B\),\(C\) y explica lo que observas.
- Estiamte las áreas de estas nuevas Plazas,\(A\),\(B\), y\(C\), y luego explica lo que observas a medida que completas la actividad.
- ¿Qué cree que podamos concluir?
Resumen
Las figuras aquí mostradas pueden ser utilizadas para ver por qué es cierto el Teorema de Pitágoras. Ambas plazas grandes tienen la misma área, pero están descompuestas de diferentes maneras. (¿Puedes ver dónde se encuentran los triángulos en la Plaza G en la Plaza F? ¿Qué significa eso de los cuadrados más pequeños en F y H?) Cuando la suma de las cuatro áreas en el Cuadrado F se establece igual a la suma de las 5 áreas en el Cuadrado G, el resultado es\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\), donde\(c\) está la hipotenusa de los triángulos en el Cuadrado G y también la longitud lateral del cuadrado en el medio. ¡Pruébalo!
Esto es cierto para cualquier triángulo rectángulo. Si las piernas son\(a\) y\(b\) y la hipotenusa es\(c\), entonces\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\). Esta propiedad se puede utilizar en cualquier momento que podamos hacer un triángulo rectángulo. Por ejemplo, para encontrar la longitud de este segmento de línea:
La cuadrícula se puede utilizar para crear un triángulo rectángulo, donde el segmento de línea es la hipotenusa y las patas miden 24 unidades y 7 unidades:
Dado que se trata de un triángulo rectángulo,\(24^{2}+7^{2}=c^{2}\). La solución a esta ecuación (y la longitud del segmento de línea) es\(c=25\).
Entradas en el glosario
Definición: Teorema de Pitágoras
El Teorema de Pitágoras describe la relación entre las longitudes laterales de los triángulos rectos.
El diagrama muestra un triángulo rectángulo con cuadrados construidos a cada lado. Si agregamos las áreas de los dos cuadrados pequeños, obtenemos el área del cuadrado más grande.
El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las piernas. Esto está escrito como\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\).
Definición: Hipotenusa
La hipotenusa es el lado de un triángulo rectángulo que está opuesto al ángulo recto. Es el lado más largo de un triángulo rectángulo.
Aquí hay algunos triángulos rectos. Cada hipotenusa está etiquetada.
Definición: LEG
Las patas de un triángulo rectángulo son los lados que forman el ángulo recto.
Aquí hay algunos triángulos rectos. Cada pata está etiquetada.
Practica
Ejercicio\(\PageIndex{5}\)
1. Encuentra las longitudes de los lados sin etiquetar.
2. Un segmento es de\(n\) unidades de largo y el otro es de\(p\) unidades de largo. Encuentra el valor de\(n\) y\(p\). (Cada cuadrado de rejilla pequeña es de 1 unidad cuadrada.)
Ejercicio\(\PageIndex{6}\)
Usa las áreas de los dos cuadrados idénticos para explicar por qué\(5^{2}+12^{2}=13^{2}\) sin hacer ningún cálculo.
Ejercicio\(\PageIndex{7}\)
Cada número se encuentra entre qué dos enteros consecutivos?
- \(\sqrt{10}\)
- \(\sqrt{54}\)
- \(\sqrt{18}\)
- \(\sqrt{99}\)
- \(\sqrt{41}\)
(De la Unidad 8.1.5)
Ejercicio\(\PageIndex{8}\)
- Da un ejemplo de un número racional, y explica cómo sabes que es racional.
- Dar tres ejemplos de números irracionales.
(De la Unidad 8.1.3)
Ejercicio\(\PageIndex{9}\)
Escribe cada expresión como una sola potencia de 10.
- \(10^{5}\cdot 10^{0}\)
- \(\frac{10^{9}}{10^{0}}\)
(De la Unidad 7.2.3)
Ejercicio\(\PageIndex{10}\)
Andre está ordenando cinta para hacer decoraciones para un evento escolar. Necesita un total exactamente de 50.25 metros de cinta azul y verde. Andre necesita 50% más de cinta azul que cinta verde para el diseño básico, además de 6.5 metros adicionales de cinta azul para acentos. ¿Cuánto de cada color de cinta necesita ordenar Andre?
(De la Unidad 4.3.6)