8.2.4: El Converse

Lección

Averiguemos si un triángulo es un triángulo rectángulo.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): The Hands of a Clock

Considera las puntas de las manecillas de un reloj analógico que tiene una manecilla horaria de 3 centímetros de largo y una manecilla de minutos que mide 4 centímetros de largo.

Figura\(\PageIndex{1}\): La imagen de un círculo que representa un reloj analógico. En el círculo hay 12 marcas de garrapatas espaciadas uniformemente. Hay dos manecillas en el reloj. Una mano está etiquetada con 3, comienza en el centro del círculo y se extiende hacia arriba y hacia la derecha, y apunta a la tercera marca de tick desde la parte superior. La otra mano está etiquetada con 4, comienza en el centro del círculo y se extiende hacia arriba y hacia la izquierda. Señala a la undécima marca de garrapata desde la parte superior.

En el transcurso de un día:

1. ¿Cuál es la distancia más alejada que obtienen los dos consejos?
2. ¿Qué es lo más cerca que se acercan los dos consejos?
3. ¿Las dos puntas están separadas exactamente a cinco centímetros?

Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Proving the Converse

Aquí hay tres triángulos con dos longitudes laterales que miden 3 y 4 unidades, y el tercer lado de longitud desconocida.

Figura\(\PageIndex{2}\): Una figura de tres triángulos cada uno con 2 longitudes de lado dadas y una longitud lateral desconocida. El primer triángulo tiene un lado horizontal de 4, una longitud lateral inclinada hacia arriba y a la izquierda de 3, y el tercer lado largo etiquetado x. El triángulo medio tiene una longitud lateral horizontal de 4, una segunda longitud lateral inclinada hacia arriba y a la derecha de 3, y la tercera longitud lateral etiquetada y. El tercer triángulo es un triángulo recto con una longitud lateral horizontal de 4, una longitud lateral vertical de 3 y el tercer lado está etiquetado con z.

Ordenar los siguientes seis números de menor a mayor. Pon un signo igual entre cualquiera que sepas que sea igual. Prepárate para explicar tu razonamiento.

\(1\quad 5\quad 7\quad x\quad y\quad z\)

¿Estás listo para más?

Un argumento relacionado también nos permite distinguir triángulos agudos de obtusos usando solo sus longitudes laterales.

Decide si los triángulos con las siguientes longitudes laterales son agudos, derechos u obtusos. En triángulos rectos u obtusos, identifique qué longitud lateral es opuesta al ángulo derecho u obtuso.

• \(x=15,\quad y=20,\quad z=8\)
• \(x=8,\quad y=15,\quad z=13\)
• \(x=17,\quad y=8,\quad z=15\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Calculating Legs of Right Triangles

1. Dada la información proporcionada para los triángulos rectos que se muestran aquí, encuentre las longitudes de pierna desconocidas al décimo más cercano.

Figura\(\PageIndex{3}\): Se indican dos triángulos rectos. El triángulo de la izquierda tiene dos patas con longitudes de 2 y a. la hipotenusa tiene una longitud de 7. El triángulo de la derecha tiene dos patas con largo x y una hipotenusa de longitud 4.

2. El triángulo que se muestra aquí no es un triángulo rectángulo. ¿Cuáles son dos formas diferentes de cambiar uno de los valores para que sea un triángulo rectángulo? Dibuje estos nuevos triángulos rectos y etiquete claramente el ángulo recto.

Figura\(\PageIndex{4}\)

Resumen

¿Y si no está claro si un triángulo es un triángulo rectángulo o no? Aquí hay un triángulo:

Figura\(\PageIndex{5}\)

¿Es un triángulo rectángulo? Es difícil de decir con solo mirar, y puede ser que los lados no estén dibujados a escala.

Si tenemos un triángulo con longitudes laterales\(a\),\(b\), y\(c\), con\(c\) ser el más largo de los tres, entonces lo contrario del Teorema de Pitágoras nos dice que en cualquier momento que tengamos\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\), debemos tener un triángulo rectángulo. Ya que\(8^{2}+15^{2}=64+225=289=17^{2}\), cualquier triángulo con longitudes laterales 8, 15 y 17 debe ser un triángulo rectángulo.

Juntos, el Teorema de Pitágoras y su inverso proporcionan una prueba de un solo paso para verificar si un triángulo es un triángulo rectángulo solo usando sus longitudes laterales. Si\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\), es un triángulo rectángulo. Si\(a^{2}+b^{2}\neq c^{2}\), no es un triángulo rectángulo.

Entradas en el glosario

Definición: Teorema de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras describe la relación entre las longitudes laterales de los triángulos rectos.

El diagrama muestra un triángulo rectángulo con cuadrados construidos a cada lado. Si agregamos las áreas de los dos cuadrados pequeños, obtenemos el área del cuadrado más grande.

El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las piernas. Esto está escrito como\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\).

Figura\(\PageIndex{6}\)

Definición: Hipotenusa

La hipotenusa es el lado de un triángulo rectángulo que está opuesto al ángulo recto. Es el lado más largo de un triángulo rectángulo.

Aquí hay algunos triángulos rectos. Cada hipotenusa está etiquetada.

Figura\(\PageIndex{7}\)

Definición: LEGS

Las patas de un triángulo rectángulo son los lados que forman el ángulo recto.

Aquí hay algunos triángulos rectos. Cada pata está etiquetada.

Figura\(\PageIndex{8}\)

Práctica

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

¿Cuáles de estos triángulos son definitivamente triángulos rectos? Explica cómo sabes. (Tenga en cuenta que no todos los triángulos se dibujan a escala).

Figura\(\PageIndex{9}\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Un triángulo rectángulo tiene una hipotenusa de 15 cm. ¿Cuáles son las longitudes posibles para las dos patas del triángulo? Explica tu razonamiento.

Figura\(\PageIndex{10}\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

En cada parte,\(a\) y\(b\) representan la longitud de una pata de un triángulo rectángulo, y\(c\) representa la longitud de su hipotenusa. Encuentra la longitud que falta, dadas las otras dos longitudes.

1. \(a=12,\quad b=5,\quad c=?\)
2. \(a=?,\quad b=21,\quad c=29\)

(De la Unidad 8.2.3)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

¿Para qué triángulo expresa el Teorema de Pitágoras la relación entre las longitudes de sus tres lados?

Figura\(\PageIndex{11}\)

(De la Unidad 8.2.1)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Andre hace un viaje a México. Cambia algunos dólares por pesos a razón de 20 pesos por dólar. Mientras que en México, gasta 9000 pesos. Cuando regresa, cambia sus pesos por dólares (todavía en 20 pesos por dólar). Le devuelve\(\frac{1}{10}\) la cantidad con la que empezó. Encuentra cuántos dólares intercambió Andre por pesos y explica tu razonamiento. Si te quedas atascado, intenta escribir una ecuación que represente el viaje de Andre usando una variable por el número de dólares que intercambió.

(De la Unidad 4.2.4)