5.2: Multiplicar expresiones racionales

Multiplicar expresiones racionales es muy similar a la multiplicación de fracciones en aritmética. Los numeradores se multiplican a numeradores. Los denominadores se multiplican a denominadores. Los factores comunes en el numerador y denominador se cancelan antes de multiplicarse. ¡Eso es! A continuación se muestran dos ejemplos. ¡Compara las similitudes!

\(\begin{array} &&\text{Multiply rational numbers} && \text{Multiply rational expressions} \\ &\dfrac{3}{20} \cdot \dfrac{4}{9} && \dfrac{2x + 6}{x + 4} \cdot \dfrac{x^2 + 3x − 4}{x^2 − 9} \\ &\dfrac{\cancel{3}}{\cancel{4} \cdot 5} \cdot \dfrac{\cancel{4}}{\cancel{3} \cdot 3} &\textcolor{green}{\text{Factor & Cancel}} & \dfrac{2(\cancel{x + 3})}{\cancel{x + 4}} \cdot \dfrac{(\cancel{x + 4})(x − 1)}{(\cancel{x + 3})(x − 3)} \\ &=\dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{1}{3} &\textcolor{green}{\text{What's left?}} & \dfrac{2}{1} \cdot \dfrac{x-1}{x-3} \\ &\dfrac{1 \cdot 1}{5 \cdot 3} &\textcolor{green}{\text{Multiply}} & \dfrac{2(x-1)}{1(x-3)} \\ &\dfrac{1}{15} &\textcolor{green}{\text{Answer!}}& \dfrac{2x-2}{x-3} \end{array}\)

¡El factoraje es clave para multiplicar expresiones racionales! Expresiones de grupo entre paréntesis. Todo el grupo es visto como un solo número, como un paquete. Si se factorizan numeradores y denominadores, puedes cancelar factores comunes, al igual que con los números reales.

Ejemplo 5.2.1

Multiplicar\(\dfrac{12a^2b}{5c^4} \cdot \dfrac{10c}{9a^2b^2}\)

Solución

Se factorizan las expresiones racionales dadas. Encuentra los factores comunes que cancelan. Mantente organizado para evitar perder la pista de lo que queda después de cancelar.

\(\begin{array} &&= \dfrac{3 \cdot 4 \cdot a^2 \cdot b}{5 \cdot c \cdot c^3} \cdot \dfrac{5 \cdot 2 \cdot c}{3 \cdot 3a^2 \cdot b \cdot b} &\text{Multiplication shows cancelable factors.} \\ &= \dfrac{4}{c^3} \cdot \dfrac{2}{3b} &\text{These are the factors left after canceling.} \\ &= \dfrac{4 \cdot 2}{c^3 \cdot 3b} &\text{Multiply numerators. Multiply denominators.} \\ &= \dfrac{8}{3c^3b} &\text{Final inspection. Did we cancel everything? Yes!} \end{array}\)

Opuestos

Dos números son opuestos si ambos números tienen la misma distancia de cero. Por ejemplo,\(5\) y\(−5\) son opuestos.

Opuestos algebraicos

El álgebra generaliza patrones matemáticos usando variables. Si\(b\) es algún número real excepto cero,\(b\) y\(−b\) son opuestos.

Opuesto de una Cantidad

Las cantidades actúan como un número real. Eso significa que la cantidad también\((a − b)\) debe tener un opuesto, al igual que\(5\) tiene su opuesto,\(−5\). Encuentra lo contrario de\((a − b)\) en\(3\) pasos:

1. Ponga un negativo en toda la cantidad:\(−(a − b)\)
2. Distribuir a través de lo negativo:\(−a + b\)
3. Reorganizar los términos:\(b − a\)

Definición: Lo opuesto a una diferencia

\(a-b\)y\(b-a\) son opuestos.

\[|a-b| = |b-a|\]

Nota

Es arbitrario que asignes un valor positivo:\((a − b) > 0\) se muestra arriba, pero podrías asignar correctamente\((b − a) > 0\) hacer\((a − b) < 0\). En ese caso, cambiarías sus posiciones marcadas en la recta numérica. Sin embargo,\(|a − b| = |b − a|\).

La relación de opuestos

¿Qué pasa cuando tomamos la proporción de opuestos? En aritmética,\(−\dfrac{5}{5} = −\dfrac{1 \cdot 5}{5} = −1\). Ahora usemos\(b =\) cualquier número real excepto cero:

\(\textcolor{green}{\checkmark} \dfrac{-b}{b} = \dfrac{-1 \cdot b}{b} = -1 \cdot \dfrac{b}{b} = -1 \cdot 1 = -1 \)

Ya que cero en el denominador no computa,\(b \neq 0\).

Definición: La relación de opuestos es igual\(-1\)

\[\dfrac{-b}{b} = \dfrac{b}{-b} = -1 \\ \dfrac{a-b}{b-a} = \dfrac{b-a}{a-b} = -1 \]

Detectando opuestos nos da otra oportunidad de cancelación. Los opuestos en el numerador y denominador cancelan a negativo\(1\).

Ejemplo 5.2.2

Multiplicar\(\dfrac{y^2−4}{y^2−4y−12} \cdot \dfrac{y^2−7y+6}{2−y}\)

Solución

Las expresiones racionales dadas no son factorizadas. No podemos cancelar antes de factorizar.

\(\begin{array} &&\dfrac{y^2−4}{y^2−4y−12} \cdot \dfrac{y^2−7y+6}{2−y} = \dfrac{(\cancel{y+2})(y−2)}{(\cancel{y+2})(\cancel{y−6})} \cdot \dfrac{(\cancel{y−6})(y−1)}{2−y} &\text{Factor wherever possible. Cancel.} \\ &= \dfrac{\textcolor{red}{y−2}}{1} \cdot \dfrac{y−1}{\textcolor{red}{2−y}} &\text{Notice the opposites! \(\dfrac{y−2}{2−y} = −1\).}\\ &=\ textcolor {red} {−1}\ cdot (y − 1) &\ text {Trata el numerador como una cantidad. Usa paréntesis.} \\ & = −y + 1 &\ text {Usa la propiedad distributiva.}\\ &= 1 − y &\ text {Se prefiere un término principal positivo.} \ end {array}\)

Ejemplo 5.2.3

Multiplicar\(\dfrac{9−4t^2}{16t^2−20t−6} \cdot (1 + 4t)\)

Solución

Al multiplicar fracciones a un entero, creamos una fracción del entero colocando uno en el denominador. ¡Hagamos lo mismo con las expresiones racionales!

\(\begin{array} &\dfrac{9−4t^2}{16t^2−20t−6} \cdot (1 + 4t) &= \dfrac{9−4t^2}{16t^2−20t−6} \cdot \dfrac{1+4t}{1} &\text{Create a fraction. Put a “1” under it!} \\ &= \dfrac{\overbrace{(3 − 2t)( 3 + 2t )}^{\text{Difference of Squares}}}{\underbrace{2(8t^2 − 10t − 3)}_{\text{GCF} = 2}} \cdot \dfrac{1+4t}{1} &\text{Factor. Notice the denominator can be further factored.} \\ &= \dfrac{(3−2t)(3+2t)}{2(\cancel{4t+1})(2t−3)} \cdot \dfrac{\cancel{1+4t}}{1} &\text{Cancel common factors. \(4t + 1 = 1 + 4t\).}\\ &=\ dfrac {\ textcolor {rojo} {(3−2t)} (3+2t)} {2\ textcolor {rojo} {(2t−3)}} &\ text {¡Observa los opuestos! \(\dfrac{3−2t}{2t−3} = −1\).}\\ &=\ textcolor {rojo} {−1}\ cdot\ dfrac {3+2t} {2} &\ text {La cancelación de opuestos crea un multiplicador de\(−1\).} \\ &=\ dfrac {−1 (3+2t)} {2} =\ underbrackets {\ dfrac {-3-2t} {2}} _ {\ text {Respuesta #} 1}\ texto {O} -1\ cdot\ dfrac {3+2t} {2} =\ underbrackets {-\ dfrac {3+2t} {2}} _ {\ texto {Responder #} 2} &\ text {¿Qué respuesta prefieres?} \ end {array}\)

Tanto la Respuesta #1 como la Respuesta #2 son perfectamente buenas respuestas. ¡Tu respuesta final es tu elección!

¡Pruébalo! (Ejercicios)

Para #1 -5, responde a las preguntas sobre los opuestos:

1. Lo contrario de\(3\) es\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\)
2. Lo contrario de\(−4\) es\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\)
3. Lo contrario de\((6 − 4c)\) es\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\)
4. Lo contrario de\((2t + 5)\) es\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\)
5. Los opuestos en una expresión racional cancelan ¿a qué número? \(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\)

Para #6 -8, multiplique los números racionales sin usar una calculadora. Dar respuesta en forma de fracción reducida.

6. \(\dfrac{2^3 \cdot 5^4}{11^6} \cdot \dfrac{11^7 \cdot 3^2}{2^5 \cdot 5^3}\)
7. \(6^5 \cdot \dfrac{5^2}{3 \cdot 6^6}\)
8. \(\dfrac{4^3 \cdot 2^{10}}{3} \cdot \dfrac{6}{4^2 \cdot 2^{12}} \cdot 2^3\)

Para #9 -30, multiplica y simplifica.

9. \(\dfrac{4x^5}{9y^4} \cdot \dfrac{27y^2z^3}{8x^5}\)
10. \(49u^6 \cdot \dfrac{w^3}{7u^3}\)
11. \(\dfrac{10p^8}{9q^2} \cdot \dfrac{18q^5}{25p^9} \cdot 5p\)
12. \(\dfrac{(2r−3)^3}{5(4r+1)^2} \cdot \dfrac{15(4r+1)^3}{2r−3}\)
13. \(12(3c − 5)^4 \cdot \dfrac{c+1}{6(3c−5)^3}\)
14. \(\dfrac{4x+24}{x^2+x−2} \cdot \dfrac{x^2−4}{6x+36}\)
15. \(\dfrac{z^2+2z+1}{3z−15} \cdot \dfrac{z^2−6z+5}{z^2+z}\)
16. \(\dfrac{y^2−6y−16}{6y−3} \cdot \dfrac{2y^2+y−1}{64−y^2}\)
17. \(\dfrac{10−2b}{b^2+5b−14} \cdot \dfrac{b−2}{b^2−3b−10}\)
18. \(\dfrac{16h^2+24h+9}{h^2−h-12} \cdot \dfrac{6h^2−24h}{8h^2+6h}\)
19. \(\dfrac{6a^2+7a−3}{9a^2−1} \cdot \dfrac{30a+10}{2a+6}\)
20. \((2n + 1) \cdot \dfrac{5n}{10n^2+n−2}\)
21. \((3p + 7) \cdot \dfrac{2p}{3p^2+13p+14}\)
22. \(\dfrac{4d^2−4}{2d^2−20d+18} \cdot (d − 9)\)
23. \(\dfrac{4t}{10t−t^2} \cdot (t^2 − 12t + 20)\)
24. \(\dfrac{7w^2−7}{w^2+6w+5} \cdot\dfrac{w^2+5w}{14w}\)
25. \(\dfrac{1−x}{3x} \cdot \dfrac{x^2−x−42}{3x+18} \cdot \dfrac{27x^2}{x^2−8x+7}\)
26. \(\dfrac{4a^2+44a}{9a^2} \cdot \dfrac{63a^3}{a^2+a−20} \cdot \dfrac{a+5}{a^3+11a^2}\)
27. \(\dfrac{v^3+1}{v^2−1} \cdot \dfrac{v^2−8v−9}{v^2−2v+1}\)
28. \(\dfrac{q^3−8}{q^3−2q^2} \cdot \dfrac{8q^3}{q^2+16q+4}\)
29. \(\dfrac{27−8m^3}{m^2−64} \cdot \dfrac{8+m}{2m−3}\)
30. \(\dfrac{a^3}{a^2+ab} \cdot \dfrac{a^2−b^2}{ab−a^2}\)

Para #31 -36, se deja un numerador en blanco. ¿Qué expresión va en blanco para hacer verdadera la ecuación?

31. \(\dfrac{x+1}{8x−1} \cdot \dfrac{\textcolor{red}{?}}{x+1} = 1\)
32. \(\dfrac{x+1}{8x−1} \cdot \dfrac{\textcolor{red}{?}}{x+1} = −1\)
33. \(\dfrac{y^2−4}{y^2−y−6} \cdot \dfrac{\textcolor{red}{?}}{y−2} = 1\)
34. \(\dfrac{y^2−4}{y^2−y−6} \cdot \dfrac{\textcolor{red}{?}}{y−2} = −1\)
35. \(\dfrac{5u^2}{u−4} \cdot \dfrac{\textcolor{red}{?}}{10u^3} = 1\)
36. \(\dfrac{5u^2}{u−4} \cdot \dfrac{\textcolor{red}{?}}{10u^3} = −1\)