5.3: Dividir expresiones racionales

Dividir expresiones racionales es muy similar a la división de fracciones en aritmética. El primer paso es cambiar la división a multiplicación y tomar el recíproco de la segunda fracción. A continuación se muestran dos ejemplos. ¡Compara las similitudes!

\(\begin{array} &&\text{Divide rational numbers} && \text{Divide rational expressions} \\ &\dfrac{3}{4} ÷ \dfrac{9}{20} && \dfrac{x - 6}{x^2 - 16} ÷ \dfrac{4x-24}{x^2 + x - 12} \\ &\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{20}{9} &\textcolor{green}{\text{Multiply by the reciprocal}} & \dfrac{x - 6}{x^2 - 16} \cdot \dfrac{x^2 + x - 12}{4x-24} \\ &=\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{4 \cdot 5}{3 \cdot 3} &\textcolor{green}{\text{Factor and cancel}} & \dfrac{x - 6}{(x-4)(x+4)} \cdot \dfrac{(x+4)(x-3)}{4(x-6)} \\ &\dfrac{5}{3} &\textcolor{green}{\text{What's left?}} & \dfrac{x-3}{4(x-4)} \\ &\text{This answer is in simplest form.} &\textcolor{green}{\text{Simplify answer}}& \dfrac{x-3}{4x-16} \end{array}\)

Fracciones Complejas

Hay dos notaciones de duelo para dividir expresiones racionales. La notación anterior utiliza el símbolo\(÷\) para la división. La notación competidora se llama fracción compleja, que mantiene la notación de fracciones. Una barra de fracción horizontal indica división.

Una fracción compleja es una fracción en la que o bien el numerador es una fracción, o el denominador es una fracción, o ambas. Para simplificar fracciones complejas, traduzca la barra de fracción principal a división.

\(\begin{array} &\dfrac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} &= \dfrac{a}{b} ÷ \dfrac{c}{d} &\text{Step \(1\): Traducir a\(÷\) notación.}\\ &=\ dfrac {a} {b}\ cdot\ dfrac {d} {c} &\ text {Paso\(2\): Multiplicar por el recíproco.}\\ &=\ dfrac {ad} {bc} &\ text {Paso\(3\): Multiplicar y simplificar.} \ end {array}\)

Ejemplo 5.3.1

Simplificar\(\dfrac{\frac{8u^3}{35w^4}}{\frac{24u}{5w^3}}\)

Solución

¿Ves la barra de fracción principal? \(\dfrac{\frac{8u^3}{35w^4}}{\frac{24u}{5w^3}}\)\(\textcolor{blue}{\longleftarrow \text{Change fraction bar to } ÷} \)

\( \dfrac{8u^3}{35w^4} ÷\dfrac{24u}{5w^3} = \dfrac{\cancel{8u^3}^{\textcolor{red}{u^2}}}{\cancel{35w^4}^{\textcolor{red}{7w}}} \cdot \dfrac{\cancel{5w^3}^{\textcolor{red}{1}}}{\cancel{24u}^{\textcolor{red}{3}}} = \dfrac{u^2}{21w} \)

Ejemplo 5.3.2

Simplificar\(\dfrac{\frac{2}{h}}{10h}\)

Solución

Convertiremos\(10h\) a forma de fracción:\(\dfrac{\frac{2}{h}}{\frac{10h}{1}}\)\(\textcolor{blue}{\longleftarrow \text{Change fraction bar to } ÷} \)

\( \dfrac{2}{h} ÷\dfrac{10h}{1} = \dfrac{\cancel{2}^{\textcolor{red}{1}}}{h} \cdot \dfrac{1}{\cancel{10h}^{\textcolor{red}{5h}}} = \dfrac{1}{5h^2} \)

Ejemplo 5.3.3

Simplificar\(\dfrac{\frac{t^2-1}{t+2}}{\frac{5-5t}{t^2+3t+2}}\)

Solución

La expresión dada es una fracción compleja.

\(\begin{array}&\dfrac{\frac{t^2-1}{t+2}}{\frac{5-5t}{t^2+3t+2}} &= \dfrac{t^2-1}{t+2} ÷ \dfrac{5-5t}{t^2+3t+2} &\text{Change the main fraction bar to \(÷\)}\\ &=\ dfrac {t^2-1} {t+2}\ cdot\ dfrac {t^2+3t+2} {5-5t} &\ text {Multiplicar por el recíproco.}\\ &=\ dfrac {(t+1) (t-1)} {(t+2)}\ cdot\ dfrac {(t+2) (t+1)} {5 (1-t)} =\ dfrac {(t+1) (\ cancel {t-1})} {(\ cancel {t+2})}\ cdot\ dfrac {(\ cancel {t+2}) (t+1)} {5 (\ cancel {1-t}) ^ {\ textcolor {rojo} {-1}}} &\ texto { Factorar y cancelar. ¡Los opuestos también!} \\ &= −\ dfrac {(t+1) ^2} {5} &\ end {array}\)

En nuestro ejemplo final (abajo), dividimos tres expresiones racionales. Como estudiante, permítete aplicar tus conocimientos de fracciones. El proceso es el mismo para las expresiones racionales. Antes de hacer el ejemplo 4, podrías intentar simplificar lo siguiente:\(\dfrac{1}{2} ÷ \dfrac{3}{4} ÷ \dfrac{3}{5}\).

El orden de operaciones requiere que nos movemos de izquierda a derecha, tomando dos fracciones a la vez.

\(\left( \dfrac{1}{2} ÷ \dfrac{3}{4} \right) ÷ \dfrac{3}{5} = \left( \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{3} \right) ÷ \dfrac{3}{5} = \left( \dfrac{2}{3} \right) ÷ \dfrac{3}{5} = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{5}{3} = \dfrac{10}{9}\)

Ejemplo 5.3.4

Simplificar\(\dfrac{2y}{24-6y} ÷ \dfrac{y-2}{y^2 -3y-4} ÷ \dfrac{y^2+y}{3}\)

Solución

\( \begin{array} &\left( \dfrac{2y}{24-6y} ÷ \dfrac{y-2}{y^2 -3y-4} \right) ÷ \dfrac{y^2+y}{3} &= \left( \dfrac{2}{6} \cdot \dfrac{y}{\cancel{4-y}^{\textcolor{red}{-1}}} \dfrac{(\cancel{y-4})(y+1)}{y-2} \right) ÷ \dfrac{y^2+y}{3} \\ &= \left( \dfrac{1}{\cancel{3}} \cdot \dfrac{\cancel{y}}{-1} \cdot \dfrac{\cancel{y+1}}{y-2} \right) \cdot \dfrac{\cancel{3}}{\cancel{y} (\cancel{y+1})} \\ &= -\dfrac{1}{y-2} \\ &= \dfrac{1}{2-y} \end{array} \)

¡Pruébalo! (Ejercicios)

Para #1 -3, divide los números racionales sin usar una calculadora. Dar respuesta en forma de fracción reducida.

1. \(\dfrac{7^{10}}{4^5} ÷ \dfrac{7^{12}}{4^6}\)
2. \(\dfrac{13^8 \cdot 5^{10}}{6^7} ÷ \dfrac{13^8 \cdot 5^8}{3 \cdot 6^6 \cdot 5}\)
3. \(2^9 ÷ \dfrac{4 \cdot 2^6}{8^2} ÷ \dfrac{2^3}{6}\)

Para #4 -20, divide y simplifica.

4. \(\dfrac{24u^2}{9w^8} ÷ \dfrac{12u}{45w^{10}}\)
5. \(\dfrac{\frac{36a^2b^2}{25c^3}}{\frac{72ab}{5c^5}}\)
6. \(\dfrac{60x^6y^{10}}{11z^5} ÷ \dfrac{9x^8}{44z^2} ÷ \dfrac{8y^7}{x}\)
7. \(\dfrac{10p(p−q)^4}{3q(q−7)^2} ÷ \dfrac{2p^2(p−q)^5}{15q(q−7)^4}\)
8. \(\dfrac{40v(v−2)^{12}}{33(5v−6)^9} ÷ \dfrac{24v^3(v−12)^{10}}{11(5v−6)^{10}}\)
9. \(\dfrac{\frac{d−5}{20d}}{\frac{(d−5)^3}{25d^2}}\)
10. \(\dfrac{\frac{4r^2−9}{r}}{2r+3}\)
11. \(\dfrac{x^2+3x−18}{x^2−2x−3} ÷ \dfrac{x^2+12x+36}{x^2−6x−7}\)
12. \(\dfrac{4m^3+3m^2}{8m^2} ÷ \dfrac{4m^3+7m^2+3m}{4m}\)
13. \(\dfrac{\frac{12t^3}{t^2−4}}{\frac{8t^2}{4t−16}} \)
14. \(\dfrac{5n+6}{\frac{5n^2−4n−12}{4−n^2}}\)
15. \(\dfrac{6p^2+6p-72}{3−p} ÷ (3p + 12)\)
16. \(\dfrac{y^2+2y}{4y−32} ÷ \dfrac{y+2}{12y−24} ÷ \dfrac{6y−12}{5y}\)
17. \(\dfrac{w^2−25}{w^2−2w−35} ÷ \dfrac{4−4w}{w^4+2w^3} ÷ \dfrac{w^3−5w^2}{w^2−8w+7}\)
18. \(\dfrac{b^4−1}{b^2−5b−6} ÷ \dfrac{b^4+b^2}{b^2−12b+36}\)
19. \(\dfrac{\frac{8a^3−1}{2a^2+7a−4}}{\frac{16a}{4a+16}}\)
20. \(\dfrac{\frac{64c^3+27}{16c^3}}{\frac{16c^2−9}{32c^6}}\)