6.3: Racionalizar denominadores

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Supongamos que una fracción$\dfrac{a}{b}$ contiene un radical en el denominador. Racionalizar el denominador es un método de simplificación que elimina los radicales del denominador. El numerador puede contener radicales, pero generalmente no nos preocupamos por eso. Sólo se racionaliza el denominador. A veces el denominador se vuelve racional en los pasos de simplificación. Veamos el tipo de problemas más fáciles en el primer ejemplo.

Ejemplo 6.3.1

Simplifica la expresión.

$\dfrac{5}{\sqrt[3]{27}}$
$\sqrt{\dfrac{10}{49}}$
$\sqrt{\dfrac{15}{12}}$
$\dfrac{\sqrt[3]{21}}{\sqrt[3]{24}}$

Solución

$\begin{array} &\dfrac{5}{\sqrt[3]{27}} &= \dfrac{5}{3} &\text{The denominator of the simplified fraction is rational.} \end{array}$

$\begin{array}&\sqrt{\dfrac{10}{49}} &= \dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{49}} &\text{The quotient property isolates the perfect square: \(49$.} \\ &=\ dfrac {\ sqrt {10}} {7} &\ text {El denominador de la fracción simplificada es racional.} \ end {array}\)

$\begin{array}&\sqrt{\dfrac{15}{12}} &= \sqrt{\dfrac{3 \cdot 5}{3 \cdot 4}} &\text{The order of operations allow us to reduce \(\dfrac{15}{12}$en el primer paso.}\\ &=\ sqrt {\ dfrac {5} {4}} &\ text {Ahora que la fracción se reduce, detectamos el cuadrado perfecto,$4$.}\\ &=\ dfrac {\ sqrt {5}} {\ sqrt {4}} &\ text {La propiedad del cociente aísla el cuadrado perfecto:$4$.} \\ & =\ dfrac {\ sqrt {5}} {2} &\ text {El denominador de la fracción simplificada es racional.} \ end {array}\)

$\begin{array}&\dfrac{\sqrt[3]{21}}{\sqrt[3]{24}} &= \sqrt[3]{\dfrac{21}{24}} &\text{The quotient property changes the order of operations.} \\ &= \sqrt[3]{\dfrac{3 \cdot 7}{3 \cdot 8}} &\text{The fraction is reducible. Cancel the common factor: \(3$.}\\ &=\ sqrt [3] {\ dfrac {7} {8}} &\ text {Convenientemente, el cubo está en el denominador.}\\ &=\ dfrac {\ sqrt [3] {7}} {\ sqrt [3] {8}} &\ text {La propiedad del cociente aísla el cubo: 8.} \\ &=\ dfrac {\ sqrt [3] {7}} {2} &\ text {El denominador de la fracción simplificada es racional.} \ end {array}\)

Más comúnmente, la simplificación no eliminará al radical del denominador. Es decir, deseamos usar la propiedad$\sqrt[n]{a^n} = a$$(a ≥ 0)$, pero el radicando es corto un factor necesario o dos para que eso ocurra. Para problemas de este tipo, construiremos la fracción para racionalizar el denominador.

Juega el juego de “n-de-uno-kind”.

El objetivo es utilizar la propiedad$\sqrt[n]{a^n} = a$$(a ≥ 0)$ para racionalizar el denominador. Cualesquiera que sean los factores que faltan, multiplique a arriba e abajo. Simplemente construye el denominador (y consecuentemente el numerador) para hacerlo realidad.

Ejemplo 6.3.2

Simplificar$\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}$ racionalizando el denominador.

Solución

El denominador es irracional, y ninguna simplificación del radical es inmediatamente evidente.

$clipboard_e044ae83477e42f378b61372ad50e60b9.png$

El índice de lo radical$n = 3$,, nos dice cuántos de un tipo necesitamos. El radicando$= 2$. Tenemos uno$2$ de los tres$2$ necesarios para simplificar. Necesitamos dos más$2$ para hacer$3$ de una especie.

$\boxed{2}\underbrace{\textcolor{red}{\boxed{2}\boxed{2}}}_{\text{two more \(2$'s}}\)

$\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}} \cdot \dfrac{\textcolor{red}{\sqrt[3]{2 \cdot 2}}}{\textcolor{red}{\sqrt[3]{2 \cdot 2}}} = \dfrac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{8}} = \dfrac{\sqrt[3]{4}}{2} $

Por lo tanto, la fracción dada después de racionalizar el denominador es igual a$ \dfrac{\sqrt[3]{4}}{2} $.

Ejemplo 6.3.3

Simplificar$\dfrac{3}{2 \sqrt{6x}}$$(x > 0)$, racionalizando el denominador.

Solución

El denominador contiene$2\sqrt{6x}$, pero sólo$\sqrt{6x}$ es irracional. Por lo tanto, sólo racionalizaremos la raíz cuadrada.

$clipboard_ee3a044d06e83e8a9e99da2e0ae1652a5.png$

El índice de lo radical$n = 2$,, nos dice cuántos de un tipo necesitamos. El radicando$= 6x$. Tenemos uno$6x$ de los dos$6x$ necesarios para simplificar.

$\boxed{6x}\underbrace{\textcolor{red}{\boxed{6x}}}_{\text{one more \(6x$}}\)

$\dfrac{3 \textcolor{red}{\cdot \sqrt{6x}}}{2 \sqrt{6x} \textcolor{red}{\cdot \sqrt{6x}}} = \dfrac{3 \sqrt{6x}}{2 \cdot 6x} = \dfrac{\cancel{3} \sqrt{6x}}{2 \cdot 2 \cdot \cancel{3} \cdot x} = \dfrac{\sqrt{6x}}{4x}$

Por lo tanto,$\dfrac{3}{2 \sqrt{6x}} = \dfrac{\sqrt{6x}}{4x}$. El denominador está racionalizado.

Ejemplo 6.3.4

Simplificar$\dfrac{2 \sqrt[4]{5}}{3 \sqrt[4]{18y^2}}$$(y > 0)$ racionalizando el denominador.

Solución

El denominador contiene$3 \sqrt[4]{18y^2}$, pero sólo$\sqrt[4]{18y^2}$ es irracional. Por lo tanto, sólo racionalizaremos la$4^{\text{th}}$ raíz.

$clipboard_e65e68e3dd5664411a28c3e9066b11542.png$

Hacer un inventario de los factores del radicando$18y^2$. Necesitamos poderes de$4$ simplificar.

$\boxed{2}\underbrace{\textcolor{red}{\boxed{2}\boxed{2}\boxed{2}}}_{\text{\(3$más$2$}}\ boxed {3}\ boxed {3}\ underbrackets {\ textcolor {rojo} {\ boxed {3}\ boxed {3}}} _ {\ text {$2$$3$más's}}\ boxed {y}\ boxed {y}\ underbrackets {\ textcolor {rojo} {\ boxed {y}\ boxed {y}} _ {\ text {$2$más$y$}}\)

$\begin{array} &\dfrac{2 \sqrt[4]{5}}{3 \sqrt[4]{18y^2}} &= \dfrac{2 \sqrt[4]{5} \textcolor{red}{\cdot \sqrt[4]{2^4 \cdot 3^2 \cdot y^2}} }{3 \sqrt[4]{18y^2} \textcolor{red}{\cdot \sqrt[4]{2^4 \cdot 3^2 \cdot y^2}}} &\text{Multiply necessary factors to numerator and denominator.} \\ &= \dfrac{2 \sqrt[4]{5 \textcolor{red}{\cdot 8 \cdot 9 \cdot y^2} }}{3 \sqrt[4]{18 \textcolor{red}{\cdot 8 \cdot 9 \cdot y^2} \cdot y^2}} &\text{Use the product property of radicals.} \\ &= \dfrac{2 \sqrt[4]{360y^2}}{3 \sqrt[4]{2^4 \cdot 3^4 y^4}} &\text{The denominator’s radicand indicates powers of \(4$.}\\ &=\ dfrac {\ cancel {2}\ sqrt [4] {360y^2}} {3\ cdot\ cancel {2}\ cdot 3\ cdot y} &\ text {Simplifica el radical del denominador. Reduce la fracción.}\\ &=\ dfrac {\ sqrt [4] {360y^2}} {9y} &\ text {Simplifica completamente. El denominador está racionalizado.} \ end {array}\)

Racionalizar el uso de conjugados

Tomaremos prestado de la Fórmula de Productos Especiales (abajo) para racionalizar denominadores que involucren dos términos, donde uno o ambos términos contienen raíces cuadradas. Recordar de la Sección 2.3 la multiplicación de conjugados da como resultado una diferencia de cuadrados:

Producto Especial = Diferencia de Cuadrados:$(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$

Ejemplo 6.3.5

Racionalizar el denominador:$\dfrac{4}{3+\sqrt{x}}$ dónde$x ≥ 0$.

Solución

$\begin{array} &\dfrac{4}{3+\sqrt{x}} &= \dfrac{4 \textcolor{red}{(3 - \sqrt{x})} }{(3+\sqrt{x})\textcolor{red}{(3 - \sqrt{x})}} &\text{Multiply numerator and denominator by the conjugate.} \\ &= \dfrac{12−4\sqrt{x}}{3^2−(\sqrt{x})^2} &\text{Use the Special Products Formula.} \\ &= \dfrac{12−4\sqrt{x}}{9−x} &\text{The denominator is rationalized.} \end{array}$

¡Pruébalo! (Ejercicios)

Para el 1-30, racionalizar el denominador. Supongamos que todas las variables son valores no negativos. Simplifique completamente.

$\dfrac{1}{\sqrt{36}}$
$\dfrac{6}{\sqrt[3]{64}}$
$\dfrac{10}{\sqrt[4]{16}}$
$\dfrac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{32}}$
$\dfrac{\sqrt{45x}}{\sqrt{5x}}$
$\sqrt{\dfrac{6}{200}}$
$\sqrt[5]{\dfrac{972}{128}}$
$\dfrac{\sqrt[3]{2y^2}}{\sqrt[3]{5}}$
$\dfrac{8t}{\sqrt[3]{4t}}$
$\dfrac{2h}{\sqrt[4]{6h^3}}$
$\dfrac{10}{3\sqrt{5p}}$
$\dfrac{15\sqrt{2w}}{7w \sqrt{5w}}$
$\dfrac{24c \cdot \sqrt[3]{4c}}{3c^2 \cdot \sqrt[3]{6c}}$
$\sqrt[3]{\dfrac{55}{21q^2}}$
$\sqrt[4]{\dfrac{25}{12u^3}}$
$\sqrt[5]{\dfrac{60a^3}{45a^7}}$
$\dfrac{26n \sqrt[4]{5n}}{5 \sqrt[4]{8n^5}}$
$\dfrac{2r}{3 \sqrt{2 \pi r}}$
$\sqrt[3]{\dfrac{2b}{a^2}}$
$\dfrac{54y \sqrt[4]{2x^3}}{\sqrt[4]{27y^2}}$
$-\sqrt{\dfrac{20n^5m^3}{65n^9m^4}}$
$\sqrt[3]{\dfrac{-21}{16x^2y}}$
$\dfrac{−75pq}{\sqrt[5]{-3p^3}}$
$\dfrac{−12uv^2}{5\sqrt{36uv}}$
$\dfrac{9}{x-\sqrt{2}}$
$\dfrac{\sqrt{y}}{1\sqrt{2y}}$
$\dfrac{z+\sqrt{3}}{z−\sqrt{3}}$
$\dfrac{\sqrt{10}−\sqrt{5a}}{\sqrt{2a}} $
$\dfrac{\sqrt{2a}}{\sqrt{10}−\sqrt{5a}}$
$\dfrac{\sqrt{u} - \sqrt{v}}{v - \sqrt{u}}$

Para #31 -36, utilice el orden de las operaciones. Racionalizar los denominadores en su caso.

$\dfrac{1}{\sqrt{3}} + \dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$16 \cdot \dfrac{1}{\sqrt[3]{2}} + 6\sqrt[3]{4}$
$\dfrac{2−\sqrt{3}}{\sqrt{3}(\sqrt{3} + 4)}$
$\dfrac{3}{4} \left( \dfrac{\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}} \right)$
$ \left( \dfrac{2 \sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{16}} \right)^3 - \left( \dfrac{5}{\sqrt{2}} \right)^2$
$\left( \dfrac{2}{\sqrt{10}} \right)^4 - \left( \dfrac{1}{\sqrt[3]{10}} \right)^6$