8.2: Resolución de problemas con secuencias aritméticas

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Las secuencias aritméticas, introducidas en la Sección 8.1, tienen muchas aplicaciones en las matemáticas y en la vida cotidiana. En esta sección se exploran esas aplicaciones.

Ejemplo 8.2.1

Un tanque de agua desarrolla una fuga. Cada semana, el tanque pierde$5$ galones de agua debido a la fuga. Inicialmente, el tanque está lleno y contiene$1500$ galones.

¿Cuántos galones hay en el tanque$20$ semanas después?
¿Cuántas semanas faltan para que el tanque esté medio lleno?
¿Cuántas semanas faltan para que el tanque esté vacío?

Solución

Este problema puede ser visto como una función lineal o como una secuencia aritmética. La tabla de valores nos da algunas pistas hacia una fórmula.

$clipboard_e5c7552a37ec3c13691ea706a3d499232.png$

El problema nos permite comenzar la secuencia en cualquier$n$ valor −value que queramos. Es más conveniente comenzar$n = 0$ y establecer$a_0 = 1500$.

Por lo tanto,$a_n = −5n + 1500$

¿Cuántos galones hay en el tanque$20$ semanas después?

Ya que la fuga se nota por primera vez en la semana uno,$20$ semanas después de la semana inicial corresponde con$n = 20$. Usa la fórmula donde$\textcolor{red}{n = 20}$:

$a_{20} = −5(\textcolor{red}{20}) + 1500 = −100 + 1500 = 1400$

Por lo tanto,$20$ semanas después, el tanque contiene$1400$ galones de agua.

¿Cuántas semanas faltan para que el tanque esté medio lleno? Un tanque medio lleno serían$750$ galones. Tenemos que encontrar$n$ cuándo$\textcolor{red}{a_n = 750}$.

$\begin{array} &750 &= −5n + 1500 &\text{Substitute \(a_n = 750$en el término general.}\\ 750 − 1500 &= −5n + 1505 − 1500 &\ text {Restar$1500$ de cada lado de la ecuación.}\\ −750 &= −5n &\ text {Simplifica cada lado de la ecuación.}\\\ dfrac {−750} {−5} &=\ dfrac {−5n} {−5} &\ text {Divide ambos lados por$−5$.}\\ 150 &= n & amp;\ end {array}\)

Ya que$n$ es el número de la semana, esta respuesta nos dice que en la semana$150$, el tanque está medio lleno. No obstante, la mayoría de la gente entendería mejor la respuesta si se dijera de la siguiente manera: “El tanque está medio lleno después de 150 semanas”. Esta respuesta suena más natural y es la preferida.

¿Cuántas semanas faltan para que el tanque esté vacío? El tanque está vacío cuando$a_n = 0$ los galones. Encuentra$n$ tal que$\textcolor{red}{a_n = 0}$.

$\begin{array}& 0 &= −5n + 1500 &\text{Substitute \(a_n=0$en el término general.}\\ 0 − 1500 &= −5n + 1500 − 1500 &\ text {Restar$1500$ de cada lado de la ecuación.}\\ −1500 &= −5n &\ text {Simplificar.}\\\ dfrac {−1500} {−5} &=\ dfrac {−5n} {−5} &\ text {Divide ambos lados por$−5$.}\\ 300 &= n &\ end {matriz}\)

Ya que$n$ es el número de la semana, esta respuesta nos dice que en la semana$300$, el tanque está vacío. No obstante, la mayoría de la gente entendería mejor la respuesta si se dijera de la siguiente manera: “El tanque está vacío después de 300 semanas. ” Esta respuesta suena más natural y es la preferida.

Ejemplo 8.2.2

A continuación se muestran tres etapas de un patrón, utilizando cerillas. Cada etapa requiere un cierto número de cerillas. Si mantenemos el patrón...

¿Cuántos fósforos se requieren para hacer la figura en el escenario$34$?
¿Qué etapa requeriría$220$ cerillas?

Solución

$clipboard_e3cb0e75de710fefbbeea0c2d342f2609.png$	$clipboard_e64de99c72d853a3f4d859b06f4a881c2.png$	$clipboard_eb59659303898eeeca21851f42ece8e29.png$
Etapa 1	Etapa 2	Etapa 3

Vamos a crear una tabla de valores. Deje el número de$n =$ etapa, y deje que$a_n =$ el número de fósforos utilizados en esa etapa. Entonces anote la diferencia común.

$clipboard_e25ba1d367972bd713a4ef5118c739484.png$

Encuentra el valor$a_0$:

$\begin{array} &a_0 + 3 &= 4 \\ a_0 + 3 − 3 &= 4 − 3 \\ a_0 &= 1 \end{array}$

El término general de la secuencia es:

$a_n = 3n + 1$

Calcular$a_{34}$ para encontrar el número de cerillas en la etapa$34$:

$a_{34} = 3(\textcolor{red}{34}) + 1 = 103$.

Hay$103$ cerillas en el escenario$34$.

¿Qué etapa requeriría$220$ cerillas? Estamos buscando el número de etapa, dado el número de cerillas. Encuentra$n$ si$a_n = 220$.

$\begin{array} &220 &= 3n + 1 \\ 219 &= 3n \\ 73 &= n \end{array}$

La etapa de respuesta$73$ requeriría$220$ cerillas.

Ejemplo 8.2.3

Cory compra$5$ artículos en la tienda de abarrotes con precios$a_1$,$a_2$,$a_3$,$a_4$,$a_5$ que es una secuencia aritmética. El artículo menos costoso es$$1.89$, mientras que el costo total de los$5$ artículos es$$12.95$. ¿Cuál es el costo de cada artículo?

Solución

Poner los$5$ artículos en orden de gasto: menor a mayor y de izquierda a derecha. Debido a que es una secuencia aritmética, cada ítem es$d$ más dólares que el ítem anterior. El precio de cada artículo se puede escribir en términos del precio del artículo menos costoso,$a_1$, y$a_1 = $1.89$.

$clipboard_e4455aea24708d7e0d8b83d55c771a802.png$

El diagrama anterior da$5$ expresiones para los costos de los$5$ artículos en términos de$a_1$ y la diferencia común es$d$.

$\begin{array} &a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 &= 12.95 &\text{Total cost of \(5$items es$$12.95$.}\\ a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + (a_1 + 3d) + (a_1 + 4d) &= 12.95 &\ text {Ver diagrama para sustituciones.}\\ 5s_1 + 10d &= 12.95 &\ text {Reúna términos similares.}\\ 5 (1.89) + 10d &= 12.95 &a_1 = 1.89. 9.45 + 10d &= 12.95 &\ text {Simplificar.}\\ 9.45 + 10d − 9.45 &= 12.95 − 9.45 &\ text {Restar$9.45$ de cada lado de la ecuación.}\\ 10d &= 3.50 &\ text {Simplificar. Luego divide ambos lados por$10$.}\\ d &= 0.35 &\ text {La diferencia común es$$0.35$.} \ end {array}\)

Ahora que conocemos la diferencia común,$d = $0.35$, podemos responder a la pregunta.

$clipboard_e0e8f0221b97bd16399f771ecb8447115.png$

El precio de cada artículo es el siguiente:$$1.89, $2.24, $2.59, $2.94, $3.29$.

¡Pruébalo! (Ejercicios)

1. La compañía de cable ZKonnect requiere que los clientes firmen un contrato de un$2$ año para usar sus servicios. A continuación se describe la penalización por romper contrato: Sus servicios están sujetos a un acuerdo de plazo mínimo de$24$ meses. Si el contrato se rescinde antes de la finalización del contrato de$24$ mes, se cobrará una tarifa por rescisión anticipada de la siguiente manera: se cobrará la tarifa por$$230$ rescisión si el contrato se rescinde en los primeros$30$ días de servicio. A partir de entonces, la tarifa de rescisión disminuye$$10$ por mes de contrato.

^{Si Jack entra en contrato con ZKonnect el 1 de ^abril de$2021$, pero termina el servicio el 10 de enero de$2022$, ¿cuáles son las tarifas de terminación anticipada de Jack?}
El término general$a_n$ describe los honorarios por rescisión del contrato declarado. Describir el significado de la variable$n$ en el contexto de este problema. Encuentra el término general$a_n$.
¿La tarifa por terminación anticipada es una secuencia finita o una secuencia infinita? Explique.
Encontrar el valor de$a_{13}$ e interpretar su significado en palabras.

2. Una compañía farmacéutica ha fabricado$4$ millones de dosis de una vacuna hasta la fecha. Prometen producción adicional a razón de$1.2$ millones de dosis/mes durante el próximo año.

¿Cuántas dosis de la vacuna, en total, se habrán producido después de un año?
El término general$a_n$ describe el número total de dosis de la vacuna producida. Describir el significado de la variable$n$ en el contexto de este problema. Encuentra el término general$a_n$.
Encontrar el valor de$a_8$ e interpretar su significado en palabras.

3. El teatro que se muestra a la derecha tiene$22$ asientos en la primera fila de la sección “A Center”. Cada fila detrás de la primera fila gana dos asientos adicionales.

Vamos$a_n = 22 + 2n$, comenzando con$n = 0$. Dar los primeros$10$ valores de esta secuencia.
Utilizando$a_n = 22 + 2n$, Encontrar el valor de$a_{10}$ e interpretar su significado en palabras en el contexto de este problema. ¡Cuidado! ¿El número de$n=$ fila?
¿Cuántos asientos, en total, hay en la sección “A Centro” si hay$12$ filas en la sección?

$clipboard_e155e2fcdec756f87a528b58fbd4f1e5d.png$

4) Los troncos se apilan en una pila con$48$ troncos en la fila inferior y$24$ en la fila superior. Cada fila disminuye en tres troncos.

La pila, como se describe, ¿cuántas filas de troncos?
Escriba el término general$a_n$ para describir el número de registros seguidos de dos maneras diferentes. Cada término general debe producir la misma secuencia, independientemente de su$n$ valor inicial.

i. Empezar con$n = 0$.

ii. Empezar con$n = 1$.

5) Los radios del círculo objetivo son una secuencia aritmética. Si el área del círculo más interno es$\pi \text{un}^2$ y el área de todo el objetivo es$49 \pi \text{un}^2$, ¿cuál es el área del anillo azul? [La fórmula para el área de un círculo es$A = \pi r^2$].

$clipboard_e3624435db52cd10cbabe0c840da4a4b8.png$

6) A continuación se muestran tres etapas de un patrón, utilizando cerillas. Cada etapa agrega otro triángulo y requiere un cierto número de cerillas. Si mantenemos el patrón...

¿Cuántos fósforos se requieren para hacer la figura en el escenario$34$?
¿Qué etapa requeriría$325$ cerillas?

$clipboard_e18c4290c686fe3b44e586ded85827bdf.png$	$clipboard_ec19b0ede179c5bd9a73db8dc18cc622b.png$	$clipboard_edf890e3bbdeef56b031c401c05c96ab3.png$
Etapa 1	Etapa 2	Etapa 3

7) A continuación se muestran tres etapas de un patrón, utilizando cerillas. Cada etapa requiere un cierto número de cerillas. Si mantenemos el patrón...

¿Cuántos fósforos se requieren para hacer la figura en el escenario$22$?
¿Qué etapa requeriría$424$ cerillas?

$clipboard_e719f55232c125656cf9ed82e0ef1d0f2.png$	$clipboard_ef02b6ddba521a501b3d88c743adcff6c.png$	$clipboard_e818e430ba656d4b69074b6e78f7be84b.png$
Etapa 1	Etapa 2	Etapa 3