8.3: Secuencias geométricas

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Las secuencias geométricas tienen una proporción común. Cada término después del primer término se obtiene multiplicando el término anterior por$r$, el cociente común. A modo de ejemplo, la siguiente secuencia no tiene una diferencia común, por lo que no es una secuencia aritmética. En cambio, esta secuencia tiene una relación común,$r$:

\[\dfrac{a_n}{a_{n−1}} = r = 2 \nonumber\]

y es una secuencia geométrica:

$2,4,8,16,32,64,128$

Observe que cada término es el doble del anterior. Al multiplicar cualquier término por$2$, obtenemos el término posterior. Una relación común es la firma distintiva de una secuencia geométrica.

Definición: Secuencia geométrica

Si la secuencia:$a_1 , a_2, a_3, a_4 , … , a_{n−1}, a_n, …$ exhibe un patrón ($a ≠ 0$y$r ≠ 0$) tal que

\[a_1, a_1r, a_1r^2 , a_1r^3 , … , a_1r^{n−1} , a_1r^n , …\]

Entonces la secuencia es geométrica y$r$ se llama la relación común, donde$\dfrac{a_n}{a_{n-1}} = r$

Una secuencia geométrica es análoga a una función exponencial$f(x) = ab^x$,, donde$a$ y$b$ son constantes,$a=$ cualquier número real y$b > 0$. El término general$a_n$ para una secuencia geométrica imitará la fórmula de función exponencial, pero modificada de la siguiente manera:

En lugar de$x =$ cualquier número real, el dominio de la función de secuencia geométrica es el conjunto de números naturales$n$.
La constante se$a$ convertirá en el primer término, o$a_1$, de la secuencia geométrica.
La constante$b$ es reemplazada por la proporción común$r$, pero$r$ puede ser positiva o negativa.

El término general de una secuencia geométrica

La secuencia geométrica con relación común$r$:

\[a_1, a_1r, a_1r^2 , a_1r^3 , … , a_1r^{n−1} , …\]

tiene término general

\[f(n) = a_n = a_1r^{n−1}\]

El primer término de la secuencia geométrica es$a_1$, o$a_1r^0$. Recordemos$r^0 = 1$ que.Vale la pena mencionar que, en algunos casos, el primer término se anota mejor$a_0$ como que$a_1$. Si usamos$a_0 =$ primer término (iniciando la secuencia en$n = 0$), entonces la secuencia geométrica quedaría anotada:$a_0, a_0r, a_0r^2 , a_0r^3$,... y el término general es$a_n = a_0r^n$. Aunque el número-término ya no coincide con el subíndice (es decir,$a_1=$ segundo término,$a_2 =$ tercer término, etc.), el exponente en nos$r$ dice cuántas veces$r$ se aplicó. En problemas de la vida real que tienen un valor inicial al que$r$ se multiplica repetitivamente, permítase la flexibilidad para llamar a la cantidad inicial$a_0$.

Ejemplo 8.3.1

Determinar la relación común de la secuencia geométrica:$15, 45, 135, 405, …$ y dar el término general,$a_n$. Entonces encuentra el$10^{\text{th}}$ término de la secuencia, o$a_{10}$.

Solución

Encontrar la relación común es cuestión de dividir cualquier término por su término anterior:

$\dfrac{45}{15} = 3 = r$.

Por lo tanto, el término general de la secuencia es:

$a_n = 15 \cdot 3^{n-1}$

El término general nos da una fórmula para encontrar$a_{10}$. Enchufar$n = 10$ en el término general$a_n$.

$a_{10} = 15 \cdot 3^{10−1} = 15 \cdot 3^9 = 295245$

Ejemplo 8.3.2

Determinar la relación común de la secuencia geométrica:$8, −12, 18, −27, …$ y dar el término general$a_n$. Después encuentra el$7^{\text{th}}$ término de la secuencia.

Solución

Observe la secuencia alterna en valor de signo: positivo, negativo, positivo, negativo,... Una secuencia alterna ocurre cuando$r < 0$. Esperamos que el$r$ valor -sea negativo.

La relación común se encuentra dividiendo dos términos consecutivos. Vamos a dividir$\dfrac{a_2}{a_1}$.

$\dfrac{−12}{8} = -\dfrac{3}{2} = -1.5 = r$

Por lo tanto, el término general de la secuencia es:

$a_n = -1.5 \cdot 8^{n-1}$

El término general nos da una fórmula para encontrar$a_7$. Enchufe$a_n$ para encontrar el$7^{\text{th}}$ término:$n = 7$

$a_7 = 8(−1.5)^{7−1} = 8(−1.5)^6 = 91.125$

Ejemplo 8.3.3

Un proceso de filtrado puede reducir el Químico B por$10\%$. El proceso puede repetirse y tener la misma tasa de reducción de$10\%$ cada vez. Inicialmente, hay$7$ mg de Químico B antes de filtrar. ¿Cuánto del Químico B queda después de los procesos$4$ de filtrado? Redondear la respuesta a los$2$ decimales.

Solución

Si el químico B se reduce por$10\%$, entonces$90\%$ permanece después de filtrar. La secuencia terminaría después de$4$ los filtros. La relación común$r = 0.9$ y aplicamos esta relación común$4$ veces al valor inicial,$7$ mg:

$clipboard_e753a28668f9cb00c8821eddb1d853e6f.png$

En lugar de realizar cada multiplicación por separado, es más fácil calcular la cantidad restante de Química B usando la fórmula para el término general:

$7 \cdot (0.9)^4 = 4.5927$

Respuesta Después de los procesos de$4$ filtrado, quedan$4.59$ mg de Químico B.

Ejemplo 8.3.4

La inflación promedio anual estuvo$1.75\%$ entre 2011 y 2020. El costo de un Big Mac subió con la inflación. Si la inflación fuera el único factor para un aumento en el precio de un Big Mac, ¿cuánto costaría un Big Mac en 2020 si nueve años antes, en 2011, costaría$$4.20$?

Solución

La relación común es un valor mayor a uno. Cada año, la inflación hacía subir el precio de un Big Mac$100 \% + 1.75\% = 101.75\%$ para que los consumidores pagaran la hamburguesa por encima del costo del año anterior. La relación común es el porcentaje como decimal. $r = 1.0175$.

$\begin{array} &&4.20(1.0175)^9 ≈ 4.91 & a_0 = 4.20. \text{Apply the common ratio to each year 2011-2020.} \end{array}$

Respuesta El costo de un Big Mac habría costado$$4.91$ en 2020.

Porcentaje de Aumento o Disminución

Como se demuestra en Ejemplo$8.3.3$ (disminución porcentual) y Ejemplo$8.3.4$ (incremento porcentual), si el cambio a la cantidad inicial se da como un porcentaje constante (el porcentaje en sí no cambia), la secuencia será geométrica. La secuencia también se denomina a veces progresión geométrica.

La progresión geométrica en Ejemplo$8.3.3$ es una secuencia decreciente. El$r$ valor −se calcula considerando el desplazamiento de$100\%$. Si el porcentaje,$p\%$, es una disminución, resta el porcentaje de$100\%$:$(100\% − p\%)$ luego cambia el valor a un decimal moviendo el decimal dos lugares a la izquierda (o dividirlo por$100$). Si la secuencia disminuye,$0 < r < 1$ .La progresión geométrica en Ejemplo$8.3.4$ es una secuencia creciente. El$r$ valor −se calcula considerando el desplazamiento de$100\%$. Si el porcentaje,$p\%$, es un aumento, suma el porcentaje a$100\%$:$(100\% + p\%)$ luego cambie el valor a un decimal moviendo el decimal dos lugares a la izquierda (o dividirlo por$100$). Si la secuencia aumenta,$r > 1$.

Ejemplo 8.3.5

Alice pone$1$ grano de arroz en el primer cuadrado de un tablero de$8 \times 8$ ajedrez. El Conejo Blanco le dice que ponga el doble de la cantidad de arroz en cada cuadrado sucesivo a partir de entonces. El Gato de Cheshire se ríe y le dice a Alice, “deberías unirte a los Sombreros Locos si crees que puedes lograr esta tarea”. ¿Cuántos granos de arroz habría en la$64^{\text{th}}$ plaza?

$clipboard_eb4b43e9e1242e5bdb102f8ade9afb162.png$

Solución

Si un grano de arroz ocupa el primer cuadrado,$2$ el segundo cuadrado,$4$ el tercer cuadrado, entonces la proporción común es$r = 2$, duplicando los$63$ tiempos de granos de arroz. Recuerda, no empezamos a duplicar hasta la$2^{\text{nd}}$ plaza, así que aunque hay$64$ plazas, duplicamos la cantidad de$63$ veces de arroz.

$1 \cdot 2^{63} ≈ 9 x 10^{18}$granos de arroz en la$64^{\text{th}}$ plaza!

¡Es difícil comprender una cantidad tan grande!

¡Pruébalo! (Ejercicios)

Para #1 -6, la secuencia es aritmética, geométrica o ninguna. Si es aritmética, dar la diferencia común. Si es geométrico, dar la proporción común. Si no es ninguno, mostrar cómo no logra tener una diferencia común o una proporción común.

$100, 200, 300, 400, …$
$10, 100, 103 , 104 , …$
$1 2 , 1 4 , 1 8 , 1 16 , …$
$1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 , . ..$
$8, −6, 4.5, −3.375, …$
$1, −3, −7, −11, …$

Para #7 -12, se da el término general de la secuencia.

¿La secuencia es geométrica o aritmética?
Indicar los primeros cinco términos, empezando por$n = 1$.
Encuentra el valor$a_9$.

$a_n = 6 \cdot 2^{n−1}$
$a_n = 52 − 13n$
$a_n = 5n$
$a_n = 5 \left( \dfrac{2}{3} \right)^n$
$a_n = 2 + \dfrac{n}{4}$
$a_n = 3(−1)^n$

Para #13 -15, se da un término de una secuencia geométrica junto con la proporción común$r$. Encuentra los primeros$5$ términos de la secuencia geométrica, comenzando con$n = 1$, y declarar el término general,$a_n$.

$a_1 = 2.5, r = 4$
$a_3 = 162, r = 3$
$a_5 = \dfrac{1}{8} , r = \dfrac{1}{2}$

Para #16 -18, se dan dos términos de una secuencia geométrica. Encuentra los primeros$5$ términos de la secuencia geométrica, comenzando con$n = 1$, y declarar el término general,$a_n$.

$a_2 = 3, a_3 = \dfrac{9}{10}$
$a_1 = \dfrac{2}{5} , a_4 = −\dfrac{16}{5}$
$a_2 = 40, a_4 = \dfrac{32}{5}$
Una compañía solar garantiza que los paneles solares instalados en una casa pueden producir$3500$ kWh durante el primer año. Cada año a partir de entonces, la producción anual garantizada (en kWh) disminuye en$2\%$. ¿Cuántos kWh anuales de energía se garantizarían$8$ años después de la instalación? Respuesta redonda al kWh entero más cercano.
Las emisiones mundiales de carbono han aumentado aproximadamente$2.6\%$ anualmente de 1960 a 2010. Si en 1960 se emitieron$2500$ millones de toneladas métricas de carbono, ¿cuántas toneladas métricas de carbono se emitieron en 2010? Redondear la respuesta al millón entero más cercano de toneladas métricas.
Cuando el IRS comete un error a su favor, el IRS debe devolverle, más intereses, sobre el sobrepago. ¿Cuánto, en total, le adeudaría el IRS si pagara de más$$1,500$ al IRS y esa cantidad ganara intereses a lo largo de$3$ años a una tasa constante de interés$3\%$ anual? Redondea tu respuesta al centavo más cercano.
Si hay$30$ años en una generación, ¿cuántos ancestros directos tenía cada uno de nosotros hace$150$ años? Por antepasado directo nos referimos a padres biológicos, abuelos, bisabuelos, etc.
Los organismos en la naturaleza extraen el Carbono-14 del ambiente, pero una vez que el organismo muere, comienza a perder carbono-14 a un ritmo exponencial. Cada 5730 años, la cantidad de Carbono-14 se corta a la mitad. La datación por carbono se puede utilizar en muestras de hueso, tela, madera y fibras vegetales.
1. ¿Cuántos años de decadencia$\dfrac{1}{4}$ quedan antes?
2. ¿Cuántos años de decadencia$\dfrac{1}{8}$ quedan antes?
3. ¿Cuántos años de decadencia$\dfrac{1}{2^6}$ quedan antes?
Si los puntos medios de los lados de un triángulo equilátero están unidos por líneas rectas, la nueva figura será un triángulo equilátero con un perímetro igual a la mitad del original. Si comenzamos con un triángulo equilátero con$3$ cm perimetral, ¿cuál es el perímetro del triángulo$5^{\text{th}}$ “anidado”, como se describe?
Los embalses pueden ser la fuente de suministro de agua para millones de personas. Pueden ocurrir cambios en cualquier suministro de agua debido a la entrada y salida, pero la evaporación es uno de los factores del agotamiento del agua. Supongamos que un reservorio contiene un promedio de$1.4$ mil millones de galones de agua y pierde agua por evaporación a razón de$2\%$ por mes. Sin considerar ningún otro cambio en el volumen del embalse, ¿cuánta agua se habrá evaporado en un periodo de un año?
La paradoja de Zenón es una observación que parece absurda, ¡pero comienza a sonar lógicamente aceptable en relación a secuencias geométricas! La paradoja de Zenón dice:

Supongamos que Atalanta desea caminar hasta el final de un camino. Antes de que pueda llegar ahí, debe llegar a mitad de camino. Antes de que pueda llegar a mitad de camino, debe llegar hasta allí una cuarta parte del camino. Antes de viajar un cuarto, deberá viajar un octavo; antes de un octavo, un decimosexto; y así sucesivamente.

¡La paradoja de Zenón cuestiona la conclusión de una secuencia geométrica, que paradójicamente cuestiona la capacidad de Atalanta para completar su caminata hasta el final del camino! Nuestro cerebro lucha contra el hecho de que la secuencia es infinita contra nuestra experiencia observable — ¡claro que Atalanta puede caminar hasta el final del camino! Una paradoja relacionada para reflexionar: ¿cuándo dirías que el perímetro de un triángulo anidado en el Problema #24 es igual a cero? Esta pregunta puede parecer absurda, ¡al igual que la paradoja de Zenón! Usa tus propios pensamientos para contemplar la pregunta y debatir tu conclusión con un argumento lógico.