6.2: Propiedades de logaritmos

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En la Sección 6.1, introdujimos las funciones logarítmicas como inversas de funciones exponenciales y discutimos algunas de sus propiedades funcionales desde esa perspectiva. En esta sección, exploramos las propiedades algebraicas de logaritmos. Históricamente, estos han jugado un papel muy importante en el desarrollo científico de nuestra sociedad ya que, entre otras cosas, se utilizaron para desarrollar dispositivos informáticos analógicos llamados reglas de cálculo que permitieron a científicos e ingenieros realizar cálculos precisos que condujeron a cosas como viajes espaciales y el alunizaje. Como veremos en breve, los registros heredan análogos de todas las propiedades de los exponentes que aprendiste en Álgebra Primaria e Intermedia. Primero extraemos dos propiedades del Teorema 6.2 para recordarnos la definición de un logaritmo como la inversa de una función exponencial.

Teorema 6.3. Propiedades inversas de funciones exponenciales y logarítmicas

Vamos$b > 0$,$b \neq 1$.

$b^{a} = c$si y solo si$\log_{b}(c) = a$
$\log_{b} \left(b^{x}\right) = x$para todos$x$ y$b^{\log_{b}(x)} = x$ para todos$x > 0$

A continuación, detallamos lo que significa que las funciones exponenciales y logarítmicas sean uno a uno.

Teorema 6.4. Propiedades uno a uno de las funciones exponenciales y logarítmicas

Vamos$f(x) = b^{x}$ y$g(x) = \log_{b}(x)$ dónde$b>0$,$b\neq 1$. Entonces$f$ y$g$ son uno a uno y

$b^{u} = b^{w}$si y sólo si$u=w$ para todos los números reales$u$ y$w$.
$\log_{b}(u) = \log_{b}(w)$si y sólo si$u=w$ para todos los números reales$u > 0$,$w > 0$.

Ahora declaramos las propiedades algebraicas de las funciones exponenciales que servirán de base para las propiedades de logaritmos. Si bien estas propiedades pueden parecer idénticas a las que aprendiste en Álgebra Primaria e Intermedia, se aplican a exponentes de números reales, no solo a exponentes racionales. Obsérvese que en el teorema que sigue, nos interesan las propiedades de las funciones exponenciales, por lo que la base$b$ se restringe a$b > 0$,$b \neq 1$. Un beneficio añadido de esta restricción es que elimina las patologías discutidas en la Sección 5.3 cuando, por ejemplo, simplificamos$\left(x^{2/3}\right)^{3/2}$ y obtuvimos$|x|$ en lugar de lo que habíamos esperado de la aritmética en los exponentes,$x^{1} = x$.

Teorema 6.5. Propiedades algebraicas de las funciones exponenciales

Dejar$f(x) = b^{x}$ ser una función exponencial ($b > 0$,$b\neq 1$) y dejar$u$ y$w$ ser números reales.

Regla del producto:$f(u+w) = f(u) f(w)$. En otras palabras,$b^{u+w} = b^{u} b^{w}$
Regla del Cociente:$f(u-w) = \dfrac{f(u)}{f(w)}$. En otras palabras,$b^{u-w} = \dfrac{b^{u}}{b^{w}}$
Regla de Poder:$\left(f(u)\right)^w = f(uw)$. En otras palabras,$\left(b^{u}\right)^{w} = b^{uw}$

Si bien las propiedades enumeradas en el Teorema 6.5 son ciertamente creíbles basadas en propiedades similares de exponentes enteros y racionales, las pruebas completas requieren Cálculo. A cada una de estas propiedades de funciones exponenciales corresponde una propiedad análoga de funciones logarítmicas. Los enumeramos a continuación en nuestro próximo teorema.

Teorema 6.6. Propiedades algebraicas de las funciones logarítmicas

Dejar$g(x) =\log_{b}(x)$ ser una función logarítmica ($b > 0$,$b\neq 1$) y let$u>0$ y$w>0$ ser números reales.

Regla del producto:$g(uw) = g(u)+ g(w)$. En otras palabras,$\log_{b}(uw) = \log_{b}(u) + \log_{b}(w)$
Regla del Cociente:$g\left(\dfrac{u}{w} \right) = g(u) - g(w)$. En otras palabras,$\log_{b} \left( \dfrac{u}{w} \right) = \log_{b}(u) - \log_{b}(w)$
Regla de Poder:$g\left(u^{w}\right) =w g(u)$. En otras palabras,$\log_{b}\left(u^{w}\right) = w \log_{b}(u)$

Hay un par de maneras diferentes de entender por qué el Teorema 6.6 es cierto. Considera la regla del producto:$\log_{b}(uw) = \log_{b}(u) + \log_{b}(w)$. Vamos$a = \log_{b}(uw)$,$c = \log_{b}(u)$, y$d = \log_{b}(w)$. Entonces, por definición,$b^{a} = uw$,$b^{c} = u$ y$b^{d} = w$. De ahí,$b^{a} = uw = b^{c} b^{d} = b^{c+d}$, así que$b^{a} = b^{c+d}$. Por la propiedad uno-a-uno de$b^{x}$, tenemos$a = c+d$. En otras palabras,$\log_{b}(uw) = \log_{b}(u) + \log_{b}(w)$. Las propiedades restantes se evidencian de manera similar. Desde un enfoque puramente funcional, podemos ver las propiedades en el Teorema 6.6 como un ejemplo de cómo las funciones inversas interactúan los roles de las entradas en las salidas. Por ejemplo, la Regla de Producto para funciones exponenciales dadas en el Teorema 6.5$f(u+w) = f(u)f(w)$,, dice que sumar entradas da como resultado multiplicar salidas. De ahí que$f^{-1}$ sea, debe tomar los productos de las salidas$f$ y devolverlos a la suma de sus respectivas entradas. Dado que las salidas de$f$ son las entradas a$f^{-1}$ y viceversa, tenemos que que$f^{-1}$ llevar productos de sus entradas a la suma de sus respectivas salidas. Esto es precisamente lo que establece la Regla de Producto para funciones logarítmicas en el Teorema 6.6:$g(uw) = g(u) + g(w)$. Se anima al lector a ver las propiedades restantes enumeradas en el Teorema 6.6 de manera similar. Los siguientes ejemplos ayudan a crear familiaridad con estas propiedades. En nuestro primer ejemplo, se nos pide 'expandir' los logaritmos. Esto significa que leemos las propiedades en el Teorema 6.6 de izquierda a derecha y reescribimos los productos dentro del registro como sumas fuera del registro, cocientes dentro del registro como diferencias fuera del registro y potencias dentro del registro como factores fuera del registro. ¹

Ejemplo 6.2.1

$\log_{2}\left(\dfrac{8}{x}\right)$
$\log_{0.1} \left(10 x^2 \right)$
$\ln \left(\dfrac{3}{ex}\right)^2$
$\log \sqrt[3]{\dfrac{100 x^2}{yz^5}}$
$\vphantom{\log \sqrt[3]{\dfrac{100 x^2}{yz^5}}} \log_{117}\left(x^2 - 4\right)$

Solución.

Para ampliar$\log_{2}\left(\frac{8}{x}\right)$, utilizamos la Regla del Cociente identificando$u = 8$$w=x$ y simplificando.
\[\begin{array}{rclr} \log_{2}\left(\dfrac{8}{x}\right) & = & \log_{2}(8) - \log_{2}(x) & \mbox{Quotient Rule} \\ & = & 3 - \log_{2}(x) & \mbox{Since $2^{3} = 8$} \\ & = & - \log_{2}(x) + 3 & \\ \end{array}\nonumber\]
En la expresión$\log_{0.1} \left(10 x^2 \right)$, tenemos un poder (el$x^2$) y un producto. Para utilizar la Regla del Producto, la cantidad total dentro del logaritmo debe elevarse al mismo exponente. Dado que el exponente$2$ aplica únicamente al$x$, primero aplicamos la Regla del Producto con$u=10$ y$w=x^2$. Una vez que obtengamos el$x^2$ por sí mismo dentro del registro, podemos aplicar la Regla de Poder con$u=x$$w=2$ y simplificar.
\[\begin{array}{rclr} \log_{0.1} \left(10 x^2 \right) & = & \log_{0.1} (10) + \log_{0.1} \left(x^2 \right) & \mbox{Product Rule} \\ & = & \log_{0.1} (10)+ 2 \log_{0.1} (x) & \mbox{Power Rule} \\ & = & -1 + 2 \log_{0.1} (x) & \mbox{Since $(0.1)^{-1} = 10$} \\ & = & 2 \log_{0.1} (x) - 1 & \\ \end{array}\nonumber\]
Tenemos un poder, cociente y producto ocurriendo en$\ln \left(\frac{3}{ex}\right)^2$. Dado que el exponente$2$ aplica a toda la cantidad dentro del logaritmo, comenzamos con la Regla de Poder con$u=\frac{3}{ex}$ y$w = 2$. A continuación, vemos que la Regla del Cociente es aplicable, con$u=3$ y$w=ex$, así$\ln\left(\frac{3}{ex}\right)$ sustituimos por la cantidad$\ln(3) - \ln(ex)$. Ya que$\ln \left(\frac{3}{ex}\right)$ se está multiplicando por$2$, la cantidad total$\ln(3) - \ln(ex)$ se multiplica por$2$. Por último, aplicamos la Regla de Producto con$u=e$ y$w=x$, y reemplazamos$\ln(ex)$ con la cantidad$\ln(e) + \ln(x)$, y simplificamos, teniendo en cuenta que el tronco natural es base de registro$e$.
\[\begin{array}{rclr} \ln \left(\dfrac{3}{ex}\right)^2 & = & 2 \ln \left(\dfrac{3}{ex}\right) & \mbox{Power Rule} \\ & = & 2 \left[ \ln(3) - \ln(ex) \right] & \mbox{Quotient Rule} \\ & = & 2 \ln(3) - 2\ln(ex) & \\ & = & 2 \ln(3) - 2\left[\ln(e) + \ln(x)\right] & \mbox{Product Rule} \\ & = & 2 \ln(3) - 2\ln(e) - 2 \ln(x) & \\ & = & 2\ln(3) - 2 - 2 \ln(x) & \mbox{Since $e^{1} = e$} \\ & = & - 2 \ln(x) + 2\ln(3) - 2 & \\ \end{array}\nonumber\]
En el Teorema 6.6, no se menciona cómo lidiar con los radicales. Sin embargo, volviendo a la Definición 5.5, podemos reescribir la raíz cubo como$\frac{1}{3}$ exponente. Comenzamos por usar la Regla de Poder ², y tenemos en cuenta que el log común es la base logarítmica$10$. \[\begin{array}{rclr} \log \sqrt[3]{\dfrac{100 x^2}{yz^5}} & = & \log \left(\dfrac{100 x^2}{yz^5}\right)^{1/3} & \\ [10pt] & = & \frac{1}{3} \log\left(\dfrac{100 x^2}{yz^5}\right) & \mbox{Power Rule} \\[4pt] & = & \frac{1}{3} \left[ \log\left(100x^2\right) - \log\left(yz^5\right) \right] & \mbox{Quotient Rule} \\ & = & \frac{1}{3}\log\left(100x^2\right) - \frac{1}{3}\log\left(yz^5\right) & \\ & = & \frac{1}{3}\left[ \log(100) + \log\left(x^2\right)\right] - \frac{1}{3} \left[ \log(y) + \log\left(z^5\right) \right] & \mbox{Product Rule} \\ & = & \frac{1}{3} \log(100) + \frac{1}{3} \log\left(x^2\right) - \frac{1}{3} \log(y) - \frac{1}{3} \log\left(z^5\right) \\ & = & \frac{1}{3} \log(100) + \frac{2}{3} \log(x) - \frac{1}{3} \log(y) - \frac{5}{3} \log(z) & \mbox{Power Rule} \\ & = & \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \log(x) - \frac{1}{3} \log(y) - \frac{5}{3} \log(z) & \mbox{Since $10^2=100$} \\ & = & \frac{2}{3} \log(x) - \frac{1}{3} \log(y) - \frac{5}{3} \log(z) + \frac{2}{3} & \\ \end{array}\nonumber\]
Al principio parece que no tenemos medios de simplificar$\log_{117}\left(x^2-4\right)$, ya que ninguna de las propiedades de los logs aborda el tema de expandir una diferencia dentro del logaritmo. Sin embargo, podemos tener en$x^2 - 4 = (x+2)(x-2)$ cuenta la introducción de un producto que nos da licencia para usar la Regla del Producto.
\[\begin{array}{rclr} \log_{117}\left(x^2-4\right) & = & \log_{117} \left[(x+2)(x-2)\right] & \mbox{Factor} \\ & = & \log_{117}(x+2) + \log_{117}(x-2) & \mbox{Product Rule} \\ \end{array}\nonumber\]

Un par de comentarios sobre el Ejemplo 6.2.1 están en orden. Primero, aunque no se indica explícitamente en el ejemplo anterior, una regla general para determinar qué propiedad log aplicar primero a un problema complicado es 'orden inverso de operaciones'. Por ejemplo, si tuviéramos que sustituir un número por$x$ en la expresión$\log_{0.1} \left(10 x^2 \right)$, primero cuadraríamos el$x$, luego multiplicaríamos por$10$. El último paso es la multiplicación, que nos indica que la primera propiedad log a aplicar es la Regla del Producto. En un problema de varios pasos, esta regla puede dar la orientación requerida sobre qué propiedad de registro aplicar en cada paso. Se anima al lector a mirar a través de las soluciones al Ejemplo 6.2.1 para ver esta regla en acción. Segundo, si bien se nos instruyó a asumir cuando fuera necesario que todas las cantidades representaban números reales positivos, los autores estarían cometiendo un pecado de omisión si no señaláramos que, por ejemplo, las funciones$f(x) = \log_{117}\left(x^2-4\right)$ y$g(x) = \log_{117}(x+2) + \log_{117}(x-2)$ tienen dominios diferentes, y, por lo tanto, son funciones diferentes. Dejamos al lector verificar el dominio de$f$ es$(-\infty, -2) \cup (2,\infty)$ mientras que el dominio de$g$ es$(2,\infty)$. En general, al usar propiedades logarítmicas para expandir un logaritmo, muy bien podemos estar restringiendo el dominio a medida que lo hacemos. Un último comentario antes de pasar a reensamblar troncos de sus diversos bits y piezas. Los autores son muy conscientes de la propensión de algunos estudiantes a sobreexcitarse e inventar sus propias propiedades de troncos como$\log_{117}\left(x^2-4\right) = \log_{117}\left(x^2\right) - \log_{117}(4)$, lo cual simplemente no es cierto, en general. La propiedad no escrita ³ de logaritmos es que si no está escrito en un libro de texto, probablemente no sea cierto.

Ejemplo 6.2.2

Usa las propiedades de logaritmos para escribir lo siguiente como un solo logaritmo.

$\log_{3}(x-1) - \log_{3}(x+1)$
$\log(x) + 2\log(y) - \log(z)$
$4\log_{2}(x) + 3$
$-\ln(x) - \frac{1}{2}$

Solución

Mientras que en el Ejemplo 6.2.1 leemos las propiedades en el Teorema 6.6 de izquierda a derecha para expandir logaritmos, en este ejemplo las leemos de derecha a izquierda.

La diferencia de logaritmos requiere la Regla del Cociente:$\log_{3}(x-1) - \log_{3}(x+1) = \log_{3}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$.
En la expresión,$\log(x) + 2\log(y) - \log(z)$, tenemos tanto una suma como una diferencia de logaritmos. Sin embargo, antes de usar la regla del producto para combinar$\log(x) + 2\log(y)$, observamos que tenemos que lidiar de alguna manera con el coeficiente$2$ encendido$\log(y)$. Esto se puede manejar usando la Regla de Poder. Luego podemos aplicar las Reglas de Producto y Cociente a medida que nos movemos de izquierda a derecha. Poniéndolo todo junto, tenemos\[\begin{array}{rclr} \log(x) + 2\log(y) - \log(z) & = & \log(x) + \log\left(y^2\right) - \log(z) & \mbox{Power Rule} \\ [6pt] & = & \log\left(xy^2\right) - \log(z) & \mbox{Product Rule} \\ [10pt] & = & \log\left( \dfrac{xy^2}{z}\right) & \mbox{Quotient Rule} \\ \end{array}\]
Ciertamente podemos comenzar a reescribir$4\log_{2}(x) + 3$ aplicando la Regla de Poder$4\log_{2}(x)$ para obtener$\log_{2}\left(x^4\right)$, pero para usar la Regla de Producto para manejar la adición, necesitamos reescribir$3$ como una base de logaritmo$2$. Del Teorema 6.3, ya sabemos$3 = \log_{2}\left(2^3\right)$, así obtenemos
\[\begin{array}{rclr} 4\log_{2}(x) + 3 & = & \log_{2}\left(x^4\right) + 3 & \mbox{Power Rule} \\ & = & \log_{2}\left(x^4\right) + \log_{2}\left(2^3\right)& \mbox{Since $3 = \log_{2}\left(2^3\right)$} \\ & = & \log_{2}\left(x^4\right) + \log_{2}(8)& \\ & = & \log_{2}\left( 8x^4\right) & \mbox{Product Rule} \\ \end{array}\]
Para empezar$-\ln(x) - \frac{1}{2}$, reescribimos$-\ln(x)$ como$(-1) \ln(x)$. Entonces podemos usar la Regla de Poder para obtener$(-1)\ln(x) = \ln\left(x^{-1}\right)$. Para poder utilizar la Regla del Cociente, necesitamos escribir$\frac{1}{2}$ como logaritmo natural. El teorema 6.3 nos da$\frac{1}{2} = \ln\left(e^{1/2}\right) = \ln\left(\sqrt{e}\right)$. Tenemos
\[\begin{array}{rclr} -\ln(x) - \frac{1}{2} & = & (-1)\ln(x) - \frac{1}{2} & \\ & = & \ln\left(x^{-1}\right) - \frac{1}{2} & \mbox{Power Rule} \\ & = & \ln\left(x^{-1}\right) - \ln\left(e^{1/2}\right)& \mbox{Since $\frac{1}{2} = \ln\left(e^{1/2}\right)$} \\ & = & \ln\left(x^{-1}\right) - \ln\left(\sqrt{e} \right)& \\ [6pt] & = & \ln\left(\dfrac{x^{-1}}{\sqrt{e}}\right) & \mbox{Quotient Rule} \\ [10pt] & = & \ln\left(\dfrac{1}{x\sqrt{e}}\right) & \end{array}\nonumber\]

Como cabría esperar, la regla general para reensamblar logaritmos es lo contrario de lo que era para desmantelarlos. Es decir, si estamos interesados en reescribir una expresión como un logaritmo único, aplicamos las propiedades logarítmicas siguiendo el orden habitual de operaciones: tratar los múltiplos de registros primero con la Regla de Poder, luego tratar con la suma y resta usando las Reglas de Producto y Cociente, respectivamente. Adicionalmente, encontramos que el uso de propiedades logarítmicas de esta manera puede aumentar el dominio de la expresión. Por ejemplo, dejamos al lector verificar el dominio de$f(x) = \log_{3}(x-1) - \log_{3}(x+1)$ es$(1,\infty)$ pero el dominio de$g(x) = \log_{3}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$ es$(-\infty, -1) \cup (1, \infty)$. Tendremos que tener esto en cuenta cuando resolvamos ecuaciones que involucran logaritmos en la Sección 6.4; es precisamente por esta razón que tendremos que verificar si hay soluciones extrañas.

Los dos botones de logaritmo que se encuentran comúnmente en las calculadoras son los botones 'LOG' y 'LN' que corresponden a los logs comunes y naturales, respectivamente. Supongamos que quisiéramos una aproximación a$\log_{2}(7)$. La respuesta debe ser un poco menor que$3$, (¿Puedes explicar por qué?) pero ¿cómo coaccionamos a la calculadora para que nos diga una respuesta más precisa? Necesitamos el siguiente teorema.

Teorema 6.7. Cambio de Fórmulas Base

Vamos$a,b >0$,$a,b \neq 1$.

$a^{x} = b^{x \log_{b}(a)}$para todos los números reales$x$.
$\log_{a}(x) = \dfrac{\log_{b}(x)}{\log_{b}(a)}$para todos los números reales$x > 0$.

Las pruebas de las fórmulas de Cambio de Base son resultado de las otras propiedades estudiadas en esta sección. Si empezamos con$b^{x \log_{b}(a)}$ y usamos la Regla de Poder en el exponente para reescribir$x \log_{b}(a)$ como$\log_{b}\left(a^{x}\right)$ y luego aplicar una de las Propiedades Inversas en el Teorema 6.3, obtenemos\[b^{x \log_{b}(a)} = b^{\log_{b}\left(a^{x}\right)} = a^{x},\nonumber\] como sea necesario. Para verificar la forma logarítmica de la propiedad, también utilizamos la Regla de Poder y una Propiedad Inversa. Notamos eso\[\log_{a}(x) \cdot \log_{b}(a) = \log_{b} \left(a^{\log_{a}(x)}\right) = \log_{b}(x),\nonumber\] y obtenemos el resultado dividiéndolo por$\log_{b}(a)$. Por supuesto, los autores no pueden evitar señalar la relación inversa entre estas dos fórmulas de cambio de base. Para cambiar la base de una expresión exponencial, multiplicamos la entrada por el factor$\log_{b}(a)$. Para cambiar la base de una expresión logarítmica, dividimos la salida por el factor$\log_{b}(a)$. Si bien, en el gran esquema de las cosas, ambos cambios de fórmulas base están diciendo realmente lo mismo, la forma logarítmica es la que se encuentra habitualmente en Álgebra mientras que la forma exponencial no suele introducirse hasta Cálculo. ⁴ Lo que realmente nos dice el Teorema 6.7 es que todas las funciones exponenciales y logarítmicas son solo escalamientos entre sí. Esto no sólo explica por qué sus gráficas tienen formas similares, sino que también nos dice que podríamos hacer todas las matemáticas con una sola base$10$, ya sea ésta,$e$,$42$, o$117$. Tu profesor de Cálculo tendrá más que decir sobre esto cuando llegue el momento.

Ejemplo 6.2.3

Utilice un cambio apropiado de fórmula base para convertir las siguientes expresiones en aquellas con la base indicada. Verifica tus respuestas usando una calculadora, según corresponda.

$3^{2}$a la base$10$
$2^{x}$a la base$e$
$\log_{4}(5)$a la base$e$
$\ln(x)$a la base$10$

Solución.

Aplicamos la fórmula Cambio de Base con$a=3$ y$b=10$ para obtener$3^2 = 10^{2 \log(3)}$. Escribir este último en la calculadora produce una respuesta de$9$ según sea necesario.
Aquí,$a=2$ y$b = e$ así lo tenemos$2^{x} = e^{x \ln(2)}$. Para verificar esto en nuestra calculadora, podemos graficar$f(x) = 2^x$ y$g(x) = e^{x \ln(2)}$. Sus gráficas son indistinguibles lo que proporciona evidencia de que son la misma función.
$Screen Shot 2022-04-17 a las 5.43.50 PM.png$
Aplicando el cambio de base con$a=4$ y nos$b=e$ lleva a escribir$\log_{4}(5) = \frac{\ln(5)}{\ln(4)}$. Evaluando esto en la calculadora da$\frac{\ln(5)}{\ln(4)} \approx 1.16$. ¿Cómo comprobamos que esto realmente es el valor de$\log_{4}(5)$? Por definición,$\log_{4}(5)$ es el exponente que nos ponemos$4$ para conseguir$5$. La calculadora lo confirma. ⁵
Escribimos$\ln(x) = \log_{e}(x) = \frac{\log(x)}{\log(e)}$. Gráficamos ambos$f(x) = \ln(x)$$g(x) = \frac{\log(x)}{\log(e)}$ y encontramos que ambos gráficos parecen ser idénticos.
$Screen Shot 2022-04-17 en 5.47.20 PM.png$

6.2.1. Ejercicios

En los Ejercicios 1 - 15, amplíe el logaritmo dado y simplifique. Asumir cuando sea necesario que todas las cantidades representan números reales positivos.

$\ln(x^{3}y^{2})$
$\log_{2}\left(\dfrac{128}{x^{2} + 4}\right)$
$\log_{5}\left(\dfrac{z}{25}\right)^{3}$
$\log(1.23 \times 10^{37})$
$\ln\left(\dfrac{\sqrt{z}}{xy}\right)$
$\log_{5} \left(x^2 - 25 \right)$
$\log_{\sqrt{2}} \left(4x^3\right)$
$\log_{\frac{1}{3}}(9x(y^{3} - 8))$
$\log\left(1000x^3y^5\right)$
$\log_{3} \left(\dfrac{x^2}{81y^4}\right)$
$\ln\left(\sqrt[4]{\dfrac{xy}{ez}}\right)$
$\log_{6} \left(\dfrac{216}{x^3y}\right)^4$
$\log\left(\dfrac{100x\sqrt{y}}{\sqrt[3]{10}}\right)$
$\log_{\frac{1}{2}}\left(\dfrac{4\sqrt[3]{x^2}}{y\sqrt{z}}\right)$
$\ln \left(\dfrac{\sqrt[3]{x}}{10 \sqrt{yz}}\right)$

En Ejercicios 16 - 29, utilizar las propiedades de logaritmos para escribir la expresión como un logaritmo único.

$4\ln(x) + 2\ln(y)$
$\log_{2}(x) + \log_{2}(y) - \log_{2}(z)$
$\log_{3}(x) - 2 \log_{3}(y)$
$\frac{1}{2}\log_{3}(x) - 2\log_{3}(y) - \log_{3}(z)$
$2 \ln(x) -3 \ln(y) - 4\ln(z)$
$\log(x) - \frac{1}{3} \log(z) + \frac{1}{2} \log(y)$
$-\frac{1}{3} \ln(x) - \frac{1}{3}\ln(y) + \frac{1}{3} \ln(z)$
$\log_{5}(x) - 3$
$3 - \log(x)$
$\log_{7}(x) + \log_{7}(x - 3) - 2$
$\ln(x) + \frac{1}{2}$
$\log_{2}(x) + \log_{4}(x)$
$\log_{2}(x) + \log_{4}(x-1)$
$\log_{2}(x) + \log_{\frac{1}{2}}(x - 1)$

En los Ejercicios 30 - 33, utilice el cambio apropiado de fórmula base para convertir la expresión dada en una expresión con la base indicada.

$7^{x - 1}$a la base$e$
$\log_{3}(x + 2)$a la base 10
$\left(\dfrac{2}{3}\right)^{x}$a la base$e$
$\log(x^{2} + 1)$a la base$e$

En los Ejercicios 34 - 39, utilice el cambio apropiado de fórmula base para aproximar el logaritmo.

$\log_{3}(12)$
$\log_{5}(80)$
$\log_{6}(72)$
$\log_{4}\left(\dfrac{1}{10}\right)$
$\log_{\frac{3}{5}}(1000)$
$\log_{\frac{2}{3}}(50)$
Comparar y contrastar las gráficas de$y = \ln(x^{2})$ y$y = 2\ln(x)$.
Demostrar la regla del cociente y la regla de poder para logaritmos.
Dar ejemplos numéricos para demostrar que, en general,
1. $\log_{b}(x + y) \neq \log_{b}(x) + \log_{b}(y)$
2. $\log_{b}(x - y) \neq \log_{b}(x) - \log_{b}(y)$
3. $\log_{b}\left(\dfrac{x}{y}\right) \neq \dfrac{\log_{b}(x)}{\log_{b}(y)}$
[HendersonHasselbalch] La ecuación de Henderson-Hasselbalch: Supongamos que$HA$ representa un ácido débil. Entonces tenemos una reacción química reversible\[HA \rightleftharpoons H^{+} + A^{-}. \nonumber\] La constante de desasociación ácida,$K_{a}$, viene dada por\[K_{\alpha} = \frac{[H^{+}][A^{-}]}{[HA]} = [H^{+}]\frac{[A^{-}]}{[HA]},\nonumber\] donde los corchetes denotan las concentraciones tal como lo hicieron en el Ejercicio 77 en la Sección 6.1. El símbolo p$K_{a}$ se define de manera similar al pH en que$K_{a} = -\log(K_{a})$ p. Usando la definición de pH del Ejercicio 77 y las propiedades de logaritmos, se deriva la Ecuación de Henderson-Hasselbalch que establece\[\mbox{pH} = \mbox{p}K_{a} + \log\dfrac{[A^{-}]}{[HA]}\nonumber\nonumber\]
Investigar la historia de los logaritmos incluyendo el origen de la palabra 'logaritmo' mismo. ¿Por qué es la abreviatura de log natural 'ln' y no 'nl'?
Hay una escena en la película 'Apolo 13' en la que varias personas de Mission Control usan reglas de cálculo para verificar un cómputo. ¿Esa escena fue precisa? Busca otras referencias de la cultura pop a logaritmos y reglas de cálculo.

6.2.2. RESPUESTAS

$3\ln(x) + 2\ln(y)$
$7 - \log_{2}(x^{2} + 4)$
$3\log_{5}(z) - 6$
$\log(1.23) + 37$
$\frac{1}{2}\ln(z) - \ln(x) - \ln(y)$
$\log_{5}(x-5) + \log_{5}(x+5)$
$3\log_{\sqrt{2}}(x) + 4$
$-2 + \log_{\frac{1}{3}}(x) + \log_{\frac{1}{3}}(y - 2) + \log_{\frac{1}{3}}(y^{2} + 2y + 4)$
$3 + 3\log(x) + 5 \log(y)$
$2\log_{3}(x) - 4 - 4\log_{3}(y)$
$\frac{1}{4} \ln(x) + \frac{1}{4} \ln(y) - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \ln(z)$
$12-12\log_{6}(x) - 4\log_{6}(y)$
$\frac{5}{3}+\log(x)+\frac{1}{2}\log(y)$
$-2+\frac{2}{3}\log_{\frac{1}{2}}(x)-\log_{\frac{1}{2}}(y)-\frac{1}{2}\log_{\frac{1}{2}}(z)$
$\frac{1}{3} \ln(x) - \ln(10) - \frac{1}{2}\ln(y)-\frac{1}{2}\ln(z)$
$\ln(x^{4}y^{2})$
$\log_{2}\left(\frac{xy}{z}\right)$
$\log_{3} \left( \frac{x}{y^2} \right)$
$\log_{3}\left(\frac{\sqrt{x}}{y^{2}z}\right)$
$\ln\left( \frac{x^2}{y^3z^4} \right)$
$\log\left(\frac{x \sqrt{y}}{\sqrt[3]{z}} \right)$
$\ln\left(\sqrt[3]{\frac{z}{xy}} \right)$
$\log_{5}\left(\frac{x}{125}\right)$
$\log\left(\frac{1000}{x}\right)$
$\log_{7}\left(\frac{x(x - 3)}{49}\right)$
$\ln \left(x \sqrt{e} \right)$
$\log_{2}\left(x^{3/2}\right)$
$\log_{2}\left(x \sqrt{x-1}\right)$
$\vphantom{\frac{\log(x + 2)}{\log(3)}}\log_{2}\left(\frac{x}{x - 1}\right)$
$\vphantom{\frac{\log(x + 2)}{\log(3)}}7^{x - 1} = e^{(x - 1)\ln(7)}$
$\log_{3}(x + 2) = \frac{\log(x + 2)}{\log(3)}$
$\left(\frac{2}{3}\right)^{x} = e^{x\ln(\frac{2}{3})}$
$\log(x^{2} + 1) = \frac{\ln(x^{2} + 1)}{\ln(10)}$
$\log_{3}(12) \approx 2.26186$
$\log_{5}(80) \approx 2.72271$
$\log_{6}(72) \approx 2.38685$
$\log_{4}\left(\frac{1}{10}\right) \approx -1.66096$
$\log_{\frac{3}{5}}(1000) \approx -13.52273$
$\log_{\frac{2}{3}}(50) \approx -9.64824$

Referencia

¹ Curiosamente, es exactamente el proceso opuesto (que practicaremos más adelante) el que es más útil en Álgebra, la utilidad de expandir logaritmos se hace evidente en Cálculo.

² En este punto del texto, se anima al lector a leer atentamente cada paso y pensar en qué cantidad está jugando el papel$u$ y cuál está desempeñando el papel de a$w$ medida que aplicamos cada propiedad.

³ Los autores saborean la ironía que implica escribir lo que sigue.

⁴ Los autores se sienten tan fuertemente al mostrar a los estudiantes que toda propiedad de logaritmos proviene y corresponde a una propiedad de exponentes que hemos roto la tradición con la gran mayoría de otros autores en este campo. Esta no es la primera vez que esto sucede, y desde luego no será la última.

⁵ Lo que significa que si nos está mintiendo sobre la primera respuesta que nos dio, al menos está siendo consistente.