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1.4.4E: Composición de las Funciones

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    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Sección 1.4 EJERCICIO

    Dado cada par de funciones, calcular\(f(g(0))\) y\(g(f(0))\).

    1. \(f(x) = 4x + 8, g(x) = 7 - x^{2}\)

    2. \(f(x) = 5x + 7, g(x) = 4 - 2x^{2}\)

    3. \(f(x) = \sqrt{x + 4} , g(x) = 12 - x^{3}\)

    4. \(f(x) = \dfrac{1}{x + 2} , g(x) = 4x + 3\)

    Utilizar la tabla de valores para evaluar cada expresión

    2019-06-10 7.07.50.png

    5. \(f(g(8))\)

    6. \(f(g(5))\)

    7. \(g(f(5))\)

    8. \(g(f(3))\)

    9. \(f(f(4))\)

    10. \(f(f(1))\)

    11. \(g(g(2))\)

    12. \(g(g(6))\)

    Utilice las gráficas para evaluar las expresiones a continuación.

    2019-06-10 7.10.56.png

    13. \(f(g(3))\)

    14. \(f(g(1))\)

    15. \(g(f(1))\)

    16. \(g(f(0))\)

    17. \(f(f(5))\)

    18. \(f(f(4))\)

    19. \(g(g(2))\)

    20. \(g(g(0))\)

    Para cada par de funciones, buscar\(f(g(x))\) y\(g(f(x))\). Simplifica tus respuestas.

    21. \(f(x) = \dfrac{1}{x - 6}, g(x) = \dfrac{7}{x} + 6\)

    22. \(f(x) = \dfrac{1}{x-4} , g(x) = \dfrac{2}{x} + 4\)

    23. \(f(x) = x^{2} + 1, g(x) = \sqrt{x+2}\)

    24. \(f(x) = \sqrt{x} +2, g(x) = x^{2} +3\)

    25. \(f(x) = |x|, g(x) = 5x + 1\)

    26. \(f(x)=\sqrt[{3}]{x} , g(x) = \dfrac{x+1}{x^{3} }\)

    27. Si\(f(x) = x^{4} +6\),\(g(x) = x - 6\) y\(h(x) = \sqrt{x}\), encontrar\(f(g(h(x)))\)

    28. Si\(f(x) = x^{2} +1\),\(g(x) = \dfrac{1}{x}\) y\(h(x) = x + 3\), encontrar\(f(g(h(x)))\)

    29. La función\(D(p)\) da el número de artículos que se demandarán cuando el precio sea\(p\). El costo de producción,\(C(x)\) es el costo de producir\(x\) artículos. Para determinar el costo de producción cuando el precio es de $6, usted haría cuál de las siguientes:

    a. Evaluar\(D(C(6))\)
    b. Evaluar\(C(D(6))\)
    c. Resolver\(D(C(x)) = 6\)
    d. Resolver\(C(D(p)) = 6\)

    20. La función\(A(d)\) da el nivel de dolor en una escala de 0-10 experimentado por un paciente con\(d\) miligramos de un medicamento para la reducción del dolor en su sistema. Los miligramos de fármaco en el sistema del paciente después de t minutos son modelados por\(m(t)\). Para determinar cuándo el paciente estará en un nivel de dolor de 4, deberá:

    a. Evaluar\(A(m(4))\)
    b. Evaluar\(m(A(4))\)
    c. Resolver\(A(m(t) = 4\)
    d. Resolver\(m(A(d)) = 4\)

    31. El radio\(r\), en pulgadas, de un globo esférico está relacionado con el volumen,\(V\), por\(r(V)=\sqrt[{3}]{\dfrac{3V}{4\pi } }\). Se bombea aire al globo, por lo que el volumen después de\(t\) segundos es dado por\(V(t) = 10 + 20t\).

    a. Encuentra la función compuesta\(r(V(t))\)

    b. Encuentra el radio después de 20 segundos

    32. El número de bacterias en un producto alimenticio refrigerado viene dado por\(N(T) = 23T^{2} - 56T + 1\)\(3 < T < 33\),, dónde\(T\) está la temperatura del alimento. Cuando se retira la comida del refrigerador, la temperatura viene dada por\(T(t) = 5t + 1.5\), donde t es el tiempo en horas.

    a. Encuentra la función compuesta\(N\left(T\left(t\right)\right)\)
    b. Encuentra el recuento de bacterias después de 4 horas

    33. Dado\(p(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x} }\) y\(m(x) = x^{2} -4\), encontrar el dominio de\(m(p(x)\).

    34. Dado\(p(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x} }\) y\(m(x) = 9 - x^{2}\), encontrar el dominio de\(m(p(x))\).

    35. Dado\(f(x) = \dfrac{1}{x+3}\) y\(g(x) = \dfrac{2}{x - 1}\), encontrar el dominio de\(f(g(x))\).

    36. Dado\(f(x) = \dfrac{x}{x+1}\) y\(g(x)=\dfrac{4}{x}\), encontrar el dominio de\(f(g(x))\).

    37. Dado\(f(x)=\sqrt{x-2}\) y\(g(x)=\dfrac{2}{x^{2} -3}\), encontrar el dominio de\(g(f(x))\).

    38. Dado\(f(x)=\sqrt{4-x}\) y\(g(x)=\dfrac{1}{x^{2} -2}\), encontrar el dominio de\(g(f(x))\).

    Buscar funciones\(f(x)\) y\(g(x)\) así la función dada se puede expresar como\(h(x)=f(g(x))\).

    39. \(h(x)=(x+2)^{2}\)

    40. \((x)=(x-5)^{3}\)

    41. \((x)=\dfrac{3}{x-5}\)

    42. \(h(x)=\dfrac{4}{(x+2)^{2}}\)

    43. \(h(x)=3+\sqrt{x-2}\)

    44. \(h(x)=4+\sqrt[{3}]{x}\)

    45. Dejar\(f(x)\) ser una función lineal, con forma\(f(x)=ax+b\) para constantes\(a\) y\(b\). [UW]

    a. Mostrar que\(f\left(f\left(x\right)\right)\) es una función lineal
    b. Encuentra una función\(g(x)\) tal que\(g\left(g\left(x\right)\right)=6x-8\)

    46. Dejar\(f(x)=\dfrac{1}{2} x+3\) [UW]

    a. Esboce las gráficas de\(f(x)\)\(f(f(x))\),,\(f(f(f(x)))\) en el intervalo\(-2 \le x \le 10\)
    b. Todas tus gráficas deben cruzarse en el punto (6, 6). El valor x = 6 se llama punto fijo de la función\(f(x)\) ya que\(f(6) = 6\); es decir, 6 es fijo - no se mueve cuando\(f\) se le aplica. Dar una explicación de por qué 6 es un punto fijo para cualquier función\(f(f(f(...f(x)...)))\).
    c. Las funciones lineales (con la excepción de\(f(x)=x\)) pueden tener como máximo un punto fijo. Las funciones cuadráticas pueden tener como máximo dos. Encuentra los puntos fijos de la función\(g(x)=x^{2} -2\).
    d. Dar una función cuadrática cuyos puntos fijos son\(x = -2\) y\(x = 3\).

    47. Un automóvil sale de Seattle en dirección este. La velocidad del automóvil en mph después de\(m\) minutos viene dada por la función\(C(m)=\dfrac{70m^{2} }{10+m^{2} }\). [UW]

    a. Encuentra una función\(m=f(s)\) que\(s\) convierta segundos en minutos\(m\). Escribe la fórmula para la nueva función\(C(f(s))\); ¿qué calcula esta función?
    b. Encontrar una función\(m=g(h\)) que convierta las horas\(h\) en minutos\(m\). Escribe la fórmula para la nueva función\(C(g(h))\); ¿qué calcula esta función?
    c. Encuentra una función\(z=v(s)\) que\(s\) convierta mph en pies/seg\(z\). Escribe la fórmula para la nueva función\(v(C(m)\); ¿qué calcula esta función?

    Responder

    1. \(f(g(0)) = 36\). \(g(f(0)) = -57\)

    3. \(f(g(0)) = 4\). \(g(f(0)) = 4\)

    5. 4

    7. 9

    11. 7

    13. 0

    15. 4

    17. 3

    19. 2

    21. \(f(g(x)) = \dfrac{x}{7}\)\(g(f(x)) = 7x - 36\)

    23. \(f(g(x)) = x + 3\)\(g(f(x)) = \sqrt{x^2 + 3}\)

    25. \(f(g(x)) = |5x + 1|\)\(g(f(x)) = 5|x| + 1\)

    27. \(f(g(h(x))) = (\sqrt{x} - 6)^4 + 6\)

    29. b

    31. a.\(r(V(t)) = \sqrt[3]{\dfrac{3(10 + 20t)}{4\pi}}\)
    b. 4.609 in

    33. \((0, \infty)\)

    35. \((-\infty, \dfrac{1}{3}) \cup (\dfrac{1}{3}, 1) \cup (1, \infty)\)

    37. \([2, 5) \cup (5, \infty)\)

    39. \(g(x) = x + 2\),\(f(x) = x^2\)

    41. \(f(x) = \dfrac{3}{x}\),\(g(x) = x - 5\)

    43. \(f(x) = 3 + \sqrt{x}\)\(g(x) = x - 2\), o\(f(x) = 3 + x\),\(g(x) = \sqrt{x - 2}\)

    45. a.\(f(f(x)) = a(ax + b) + b = (a^2)x + (ab + b)\)
    b.\(g(x) = \sqrt{6} x - \dfrac{8}{\sqrt{6} + 1}\) o\(g(x) = -\sqrt{6} x - \dfrac{8}{1 - \sqrt{6}}\)

    47. a.\(C(f(s)) = \dfrac{70(\dfrac{s}{60})^2}{10 + (\dfrac{s}{60})^2}\)
    b.\(C(g(h)) = \dfrac{70(60h)^2}{10 + (60h)^2}\)
    c.\(v(C(m)) = \dfrac{5280}{3600} (\dfrac{70m^2}{10 + m^2})\)

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