2.3: Modelado con Funciones Lineales

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Al modelar escenarios con una función lineal y resolver problemas que involucran cantidades que cambian linealmente, normalmente seguimos las mismas estrategias de resolución de problemas que usaríamos para cualquier tipo de función:

Estrategia de resolución de problemas

Identificar cantidades cambiantes, y luego definir cuidadosa y claramente variables descriptivas para representar esas cantidades. Cuando sea apropiado, esboce una imagen o defina un sistema de coordenadas.
Lea atentamente el problema para identificar información importante. Busque información que dé valores para las variables, o valores para partes del modelo funcional, como pendiente y valor inicial.
Lea atentamente el problema para identificar lo que estamos tratando de encontrar, identificar, resolver o interpretar.
Identificar una vía de solución desde la información proporcionada hasta lo que estamos tratando de encontrar. A menudo esto implicará verificar y rastrear unidades, construir una mesa o incluso encontrar una fórmula para la función que se usa para modelar el problema.
Cuando sea necesario, encuentre una fórmula para la función.
Resuelve o evalúa usando la fórmula que encontraste para las cantidades deseadas.
Reflexiona sobre si tu respuesta es razonable para la situación dada y si tiene sentido matemáticamente.
Transmite claramente tu resultado usando las unidades apropiadas, y responde en oraciones completas cuando sea apropiado.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Emily ahorró 3500 dólares para su visita de verano a Seattle. Ella anticipa gastar $400 cada semana en renta, comida y diversión. Encontrar e interpretar la intercepción horizontal y determinar un dominio y rango razonables para esta función.

Solución

En el problema, hay dos cantidades cambiantes: tiempo y dinero. La cantidad de dinero que le queda mientras está de vacaciones depende de cuánto tiempo se quede. Podemos definir nuestras variables, incluyendo unidades.

Salida:$M$, dinero restante, en dólares

Entrada:$t$, tiempo, en semanas

Al leer el problema, identificamos dos valores importantes. El primero, 3500 dólares, es el valor inicial para$M$. El otro valor parece ser una tasa de cambio: las unidades de dólares por semana coinciden con las unidades de nuestra variable de salida divididas por nuestra variable de entrada. Ella está gastando dinero cada semana, por lo que debes reconocer que la cantidad de dinero restante disminuye cada semana y la pendiente es negativa.

Para responder a la primera pregunta, buscando la intercepción horizontal, sería útil tener una ecuación modelando este escenario. Usando la intersección y pendiente proporcionadas en el problema, podemos escribir la ecuación:\[M(t)=3500-400t\nonumber \]

Para encontrar la intersección horizontal, establecemos la salida en cero y resolvemos para la entrada:

\[\begin{array} {rcl} {0} &= & {3500 - 400t} \\ {t} &= & { \dfrac{3500}{400} = 8.75} \end{array}\nonumber \]

El intercepto horizontal es de 8.75 semanas. Ya que esto representa el valor de entrada donde la salida será cero, interpretando esto, podríamos decir: a Emily no le quedará dinero después de 8.75 semanas.

Al modelar cualquier escenario de la vida real con funciones, normalmente hay un dominio limitado sobre el cual ese modelo será válido, casi ninguna tendencia continúa indefinidamente. En este caso, ciertamente no tiene sentido hablar de valores de entrada menores a cero. También es probable que este modelo no sea válido después de la intercepción horizontal (a menos que Emily empiece a usar una tarjeta de crédito y vaya a endeudarse).

El dominio representa el conjunto de valores de entrada y así lo es el dominio razonable para esta función$0 \le t \le 8.75$.

Sin embargo, en un escenario del mundo real, el alquiler puede ser semanal o nocturno. Es posible que no pueda quedarse una semana parcial por lo que se deben considerar todas las opciones. Emily podría quedarse en Seattle de 0 a 8 semanas completas (y un par de días), pero tendría que endeudarse para quedarse 9 semanas completas, por lo que restringido a semanas enteras, sería un dominio razonable sin endeudarse$0 \le t \le 8$, o$0 \le t \le 9$ si se endeudaba para terminar la última semana.

El rango representa el conjunto de valores de salida y ella comienza con $3500 y termina con $0 después de 8.75 semanas por lo que el rango correspondiente es$0 \le M(t) \le 3500$. Sin embargo, si limitamos el alquiler a semanas enteras, el rango cambiaría. Si se fue después de 8 semanas porque no tenía suficiente para quedarse por 9 semanas completas, le quedarían$M(8) = 3500 - 400 (8) = $300$ dólares después de 8 semanas, dando un rango de$300 \le M(t) \le 3500$. Si quisiera quedarse las 9 semanas completas estaría 100 dólares en deuda dando un rango de$-100 \le M(t) \le 3500$.

Lo más importante es recordar que el dominio y el rango están unidos entre sí, y lo que decida que sea más apropiado para el dominio (la variable independiente) dictará los requisitos para el rango (la variable dependiente).

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Un administrador de bases de datos está cargando una tabla grande desde copias de seguridad. Al impacientarse, se da cuenta de que se habían cargado 1.2 millones de filas. Diez minutos después, se habían cargado 2.5 millones de filas. ¿Cuánto tiempo más tendrá que esperar a que se carguen los 80 millones de filas?

Responder

Dejando$t$ ser el número de minutos desde que se impacientó, y N sea el número de filas cargadas, en millones, tenemos dos puntos: (0, 1.2) y (10, 2.5).

La pendiente es$m=\dfrac{2.5-1.2}{10-0} =\dfrac{1.3}{10} =0.13$ de millones de filas por minuto.

Conocemos la$N$ intercepción, así podemos escribir la ecuación:

\[N=0.13t+1.2\nonumber \]

Para determinar cuánto tiempo tendrá que esperar, tenemos que resolver para cuándo$N = 80$.

\[N = 0.13t + 1.2 = 80\nonumber \]

\[0.13t = 78.8\nonumber \]

\[t = \dfrac{78.8}{0.13} = 606\nonumber \]. Tendrá que esperar otros 606 minutos, unas 10 horas aproximadamente.

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Jamal está eligiendo entre dos empresas de mudanzas. El primero, U-Haul, cobra una tarifa inicial de $20, luego 59 centavos la milla. El segundo, Presupuesto, cobra una tarifa inicial de 16 dólares, luego 63 centavos la milla (Tarifas recuperadas el 2 de agosto de 2010 de www.budgettruck.com y http://www.uhaul.com/). ¿Cuándo será U-Haul la mejor opción para Jamal?

Solución

Las dos cantidades importantes en este problema son el costo, y el número de millas que se recorren. Dado que tenemos dos empresas a considerar, definiremos dos funciones:

Entrada:$m$, millas conducidas

Salidas:

$Y(m)$: costo, en dólares, para rentar de U-Haul

$B(m)$: costo, en dólares, para rentar de Budget

Al leer el problema detenidamente, parece que nos dieron un costo inicial y una tasa de cambio para cada empresa. Dado que nuestras salidas se miden en dólares pero los costos por milla dados en el problema son en centavos, necesitaremos convertir estas cantidades para que coincidan con nuestras unidades deseadas: $0.59 la milla para U-Haul y $0.63 la milla para Budget.

Buscando lo que estamos tratando de encontrar, queremos saber cuándo U-Haul será la mejor opción. Ya que todo lo que tenemos que tomar esa decisión son los costos, estamos buscando cuándo U-Haul costará menos, o cuándo$Y(m) < B(m)$. El camino de solución nos llevará a encontrar las ecuaciones para las dos funciones, encontrar la intersección, luego mirar para ver dónde es más pequeña la$Y(m)$ función. Usando las tasas de cambio y las cargas iniciales, podemos escribir las ecuaciones:

\[Y(m) = 20 + 0.59m\nonumber \]
\[B(m) = 16 + 0.63m\nonumber \]

$Una gráfica con dos líneas. Una línea continua que pasa por 0 coma 16 y 160 coma 116.8, y una línea discontinua que pasa por 0 coma 20 y 160 coma 114.4$

Estas gráficas se esbozan a la derecha, con Y (m) dibujado discontinuo.

Para encontrar la intersección, establecemos las ecuaciones iguales y resolvemos:

\[\begin{array} {rcl} {Y(m)} &= & {B(m)} \\ {20 + 0.59m} &= & {16 + 0.63m} \\ {4} &= & {0.04m} \\ {m} &= & {100} \end{array}\nonumber \]

Esto nos dice que el costo de las dos empresas será el mismo si se recorren 100 millas. Ya sea mirando la gráfica, o señalando que$Y(m)$ está creciendo a un ritmo más lento, podemos concluir que U-Haul será el precio más barato cuando se conduzcan más de 100 millas.

Ejemplo$\PageIndex{3}$

La población de un pueblo ha ido creciendo linealmente. En 2004 la población era de 6.200 habitantes. Para 2009 la población había crecido a 8,100. Si esta tendencia continúa,

Predecir la población en 2013
¿Cuándo llegará la población a 15000?

Solución

Las dos cantidades cambiantes son la población y el tiempo. Si bien podríamos usar el valor real del año como cantidad de entrada, hacerlo tiende a llevar a ecuaciones muy feas, ya que la intercepción vertical correspondería al año 0, ¡hace más de 2000 años!

Para hacer las cosas un poco más agradables, y para hacer nuestras vidas más fáciles también, definiremos nuestro aporte como años desde 2004:

Entrada:$t$, años desde 2004

Salida:$P(t)$, la población del pueblo

El problema nos da dos pares entrada-salida. Convirtiéndolos para que coincidan con nuestras variables definidas, correspondería al año 2004$t = 0$, dando el punto (0, 6200). Observe que a través de nuestra inteligente elección de definición de variable, nos hemos “dado” la intercepción vertical de la función. El año 2009 correspondería$t = 5$, dando el punto (5, 8100).

Para predecir la población en 2013 ($t = 9$), necesitaríamos una ecuación para la población. De igual manera, para encontrar cuándo llegaría la población a 15000, necesitaríamos resolver para el insumo que proporcionaría una salida de 15000. De cualquier manera, necesitamos una ecuación. Para encontrarlo, comenzamos calculando la tasa de cambio:

\[m=\dfrac{8100-6200}{5-0} =\dfrac{1900}{5} =380\text{ people per year}\nonumber \]

Como ya conocemos la intersección vertical de la línea, podemos escribir inmediatamente la ecuación:

\[P(t)=6200+380t\nonumber \]

Para predecir la población en 2013, evaluamos nuestra función en$t = 9$

\[P(9)=6200+380(9)=9620\nonumber \]

Si la tendencia continúa, nuestro modelo predice una población de 9.620 en 2013.

Para saber cuándo llegará la población a los 15 mil, podemos establecer$P(t) = 15000$ y resolver para$t$.

\[\begin{array} {rcl} {15000} &= & { 6200 + 380t} \\ {8800} &= & {380t} \\ {t} &\approx & {23.158} \end{array}\nonumber \]

Nuestro modelo predice que la población alcanzará los 15,000 en poco más de 23 años después de 2004, o en algún lugar alrededor del año 2027.

Ejemplo$\PageIndex{4}$

Anna y Emanuel parten en la misma intersección. Anna camina hacia el este a 4 millas por hora mientras Emanuel camina hacia el sur a 3 millas por hora. Se están comunicando con una radio bidireccional con un alcance de 2 millas. ¿Cuánto tiempo después de que comiencen a caminar se caerán fuera del contacto de radio?

Solución

En esencia, podemos responder parcialmente a esta pregunta diciendo que se quedarán fuera del contacto por radio cuando estén a 2 millas de distancia, lo que nos lleva a hacer una nueva pregunta: ¿cuánto tiempo les llevará estar a 2 millas de distancia?

En este problema, nuestras cantidades cambiantes son el tiempo y las posiciones de las dos personas, pero en última instancia necesitamos saber cuánto tiempo les llevará estar a 2 millas de distancia. Podemos ver que el tiempo será nuestra variable de entrada, así definimos

Entrada:$t$, tiempo en horas.

Como no es obvio cómo definir nuestras variables de salida, comenzaremos dibujando una imagen.

$Diagrama que muestra a Emanual caminando hacia el sur a 3 millas por hora como una línea vertical con una flecha apuntando hacia abajo, y Anna caminando hacia el este a 4 millas por hora como una línea horizontal con una flecha apuntando a la derecha, con las líneas reunidas en el punto en que comenzaron a caminar. Una línea discontinua entre Emanuel y Anna forma hipotenusa de un triángulo etiquetado Distancia entre ellas.$

Debido a la complejidad de esta pregunta, puede ser útil introducir algunas variables intermedias. Estas son cantidades que no nos interesan directamente, pero que parecen importantes para el problema. Para este problema, las distancias de Anna y Emanuel desde el punto de partida parecen importantes. Para anotar estos, vamos a definir un sistema de coordenadas, poniendo el “punto de partida” en la intersección donde ambos comenzaron, luego vamos a introducir una variable,$A$, para representar la posición de Anna, y definirla como una medida desde el punto de partida, en dirección este. Asimismo, introduciremos una variable$E$, para representar la posición de Emanuel, medida desde el punto de partida en dirección sur. Obsérvese que al definir el sistema de coordenadas especificamos tanto el origen, o punto de partida, de la medición, como la dirección de la medida.

Mientras estamos en ello, definiremos una tercera variable,$D$, para ser la medida de la distancia entre Anna y Emanuel. Mostrar las variables en la imagen suele ser útil:

Mirando las variables en la imagen, recordamos que necesitamos saber cuánto tiempo lleva$D$, la distancia entre ellas, para igualar 2 millas.

$El diagrama anterior, con la pata horizontal del triángulo que representa la distancia de Anna etiquetada A, la pata vertical que representa la distancia de Emanuel etiquetada con E, y la hipotenusa representa la distancia entre ellas etiquetada como D$

Al ver esta imagen recordamos que para encontrar la distancia entre los dos, podemos utilizar el Teorema de Pitágoras, propiedad de los triángulos rectos.

A partir de aquí, ahora podemos mirar hacia atrás en el problema para obtener información relevante. Anna está caminando 4 millas por hora, y Emanuel está caminando 3 millas por hora, que son tasas de cambio. Usando esos, podemos escribir fórmulas para la distancia que cada uno ha caminado.

Ambos comienzan en la misma intersección y así cuando$t = 0$, la distancia recorrida por cada persona también debe ser 0, así que dada la tasa para cada uno, y el valor inicial para cada uno, obtenemos:

\[A(t) = 4t\nonumber \]
\[E(t) = 3t\nonumber \]

Usando el teorema de Pitágoras obtenemos:

\[D(t)^{2} =A(t)^{2} +E(t)^{2}\nonumber \]sustituto en las fórmulas de función

\[D(t)^{2} =(4t)^{2} +(3t)^{2} =16t^{2} +9t^{2} =25t^{2}\nonumber \]resolver para$D(t)$ usar la raíz cuadrada

\[D(t)=\pm \sqrt{25t^{2} } =\pm 5|t|\nonumber \]

Ya que en este escenario solo estamos considerando valores positivos de t y nuestra distancia siempre$D(t)$ será positiva, podemos simplificar esta respuesta a$D(t)=5t$

Curiosamente, la distancia entre ellos es también una función lineal. Usándolo, ahora podemos responder a la pregunta de cuándo la distancia entre ellos alcanzará 2 millas:

\[\begin{array} {rcl} {D(t)} &= & {2} \\ {5t} &= & {2} \\ {t} &= & {\dfrac{2}{5} = 0.4} \end{array}\nonumber \]

Se caerán del contacto por radio en 0.4 horas, o 24 minutos.

Ejemplo$\PageIndex{5}$

Actualmente hay una carretera recta que va de la ciudad de Westborough a una ciudad de 30 millas al este y 10 millas al norte. A mitad de esta carretera, se une con una segunda carretera, perpendicular a la primera, que conduce a la ciudad de Eastborough. Si la ciudad de Eastborough se encuentra a 20 millas directamente al este de la ciudad de Westborough, ¿a qué distancia está el cruce de carreteras de Westborough?

Solución

$Se muestran los ejes horizontal y vertical. Un punto en 0 coma 0 se etiqueta como Westborough. Un punto en 20 coma 0 se etiqueta Eastborough, y la distancia horizontal entre ellos se etiqueta 20 millas. Un tercer punto a 30 coma 10 está etiquetado como Otro pueblo. Se dibuja una línea de Westborough a Otra ciudad. Se dibuja una segunda línea perpendicular a la primera línea, desde Eastborough hasta donde se encuentra con la primera línea. Se indica el ángulo recto entre las líneas.$ Podría ayudar aquí para hacer una imagen de la situación. Entonces sería útil introducir un sistema de coordenadas. Si bien podríamos colocar el origen en cualquier lugar, colocarlo en Westborough parece conveniente. Esto coloca al otro pueblo en las coordenadas (30, 10), y Eastborough en (20, 0).

Usando este punto junto con el origen, podemos encontrar la pendiente de la línea de Westborough a la otra localidad:$m=\dfrac{10-0}{30-0} =\dfrac{1}{3}$. Esto da la ecuación de la carretera de Westborough a la otra ciudad a ser$W(x)=\dfrac{1}{3} x$.

A partir de esto, podemos determinar la carretera perpendicular a Eastborough que tendrá pendiente$m=-3$. Dado que el pueblo de Eastborough está en el punto (20, 0), podemos encontrar la ecuación:

\[E(x) = -3x + b\nonumber \]enchufar el punto (20, 0)
\[0 = -3(20) + b\nonumber \]
\[b = 60\nonumber \]
\[E(x) = -3x + 60\nonumber \]

Ahora podemos encontrar las coordenadas del cruce de las carreteras al encontrar la intersección de estas líneas. Estableciéndolos iguales,

\[\dfrac{1}{3} x = -3x + 60\nonumber \]
\[\dfrac{10}{3} x= 60\nonumber \]
\[10x = 180\nonumber \]
\[x = 18\nonumber \]Sustituyendo esto de nuevo en$W(x)$
\[y = W(18) = \dfrac{1}{3} (18) = 6\nonumber \]

Los caminos se cruzan en el punto (18, 6). Usando la fórmula de distancia, ahora podemos encontrar la distancia desde Westborough hasta el cruce:

\[dist=\sqrt{(18-0)^{2} +(6-0)^{2} } \approx 18.934\text{ miles}\nonumber \]

Temas Importantes de esta Sección

El proceso de resolución de problemas

Identificar cantidades cambiantes, y luego definir cuidadosa y claramente variables descriptivas para representar esas cantidades. Cuando sea apropiado, esboce una imagen o defina un sistema de coordenadas.
Lea atentamente el problema para identificar información importante. Busque información que dé valores para las variables, o valores para partes del modelo funcional, como pendiente y valor inicial.
Lea atentamente el problema para identificar lo que estamos tratando de encontrar, identificar, resolver o interpretar.
Identificar una vía de solución desde la información proporcionada hasta lo que estamos tratando de encontrar. A menudo esto implicará verificar y rastrear unidades, construir una mesa o incluso encontrar una fórmula para la función que se usa para modelar el problema.
Cuando sea necesario, encuentre una fórmula para la función.
Resuelve o evalúa usando la fórmula que encontraste para las cantidades deseadas.
Reflexiona sobre si tu respuesta es razonable para la situación dada y si tiene sentido matemáticamente.
Transmite claramente tu resultado usando las unidades apropiadas, y responde en oraciones completas cuando sea apropiado.