3.7.7E: Funciones Racionales (Ejercicios)

ejercicio de la sección 3.7

Haga coincidir cada forma de ecuación con una de las gráficas.

1. \(f\left(x\right)=\dfrac{x-A}{x-B}\)2. \(g\left(x\right)=\dfrac{\left(x-A\right)^{2} }{x-B}\)3. \(h\left(x\right)=\dfrac{x-A}{\left(x-B\right)^{2} }\)4. \(k\left(x\right)=\dfrac{\left(x-A\right)^{2} }{\left(x-B\right)^{2} }\)

Para cada función, encuentra las intercepciones horizontales, la intercepción vertical, las asíntotas verticales y la asíntota horizontal. Usa esa información para bosquejar una gráfica.

5. \(p\left(x\right)=\dfrac{2x-3}{x+4}\)

6. \(q\left(x\right)=\dfrac{x-5}{3x-1}\)

7. \(s\left(x\right)=\dfrac{4}{\left(x-2\right)^{2} }\)

8. \(r\left(x\right)=\dfrac{5}{\left(x+1\right)^{2} }\)

9. \(f\left(x\right)=\dfrac{3x^{2} -14x-5}{3x^{2} +8x-16}\)

10. \(g\left(x\right)=\dfrac{2x^{2} +7x-15}{3x^{2} -14x+15}\)

11. \(a\left(x\right)=\dfrac{x^{2} +2x-3}{x^{2} -1}\)

12. \(b\left(x\right)=\dfrac{x^{2} -x-6}{x^{2} -4}\)

13. \(h\left(x\right)=\dfrac{2x^{2} +\; x-1}{x-4}\)

14. \(k\left(x\right)=\dfrac{2x^{2} -3x-20}{x-5}\)

15. \(n\left(x\right)=\dfrac{3x^{2} +4x-4}{x^{3} -4x^{2} }\)

16. \(m\left(x\right)=\dfrac{5-x}{2x^{2} +7x+3}\)

17. \(w\left(x\right)=\dfrac{\left(x-1\right)\left(x+3\right)\left(x-5\right)}{\left(x+2\right)^{2} (x-4)}\)

18. \(z\left(x\right)=\dfrac{\left(x+2\right)^{2} \left(x-5\right)}{\left(x-3\right)\left(x+1\right)\left(x+4\right)}\)

Escribir una ecuación para una función racional con las características dadas.

19. Asíntotas verticales\(x=5\) e\(x=-5\)
\(x\) intercepta\((2,\; 0)\) e\((-1,\; 0)\)\(y\) intercepta en\(\left(0,\; 4\right)\)

20. Asíntotas verticales\(x=-4\) e\(x=-1\)
\(x\) intercepta\(\left(1,\; 0\right)\) e\(\left(5,\; 0\right)\)\(y\) intercepta en\((0,\; 7)\)

21. Asíntotas verticales en\(x=-4\) e\(x=-5\)
\(x\) intercepta en\(\left(4,\; 0\right)\) y asíntota\(\left(-6,\; 0\right)\) horizontal en\(y=7\)

22. Asíntotas verticales en\(x=-3\) e\(x=6\)
\(x\) intercepta en\(\left(-2,\; 0\right)\) y asíntota\(\left(1,\; 0\right)\) horizontal en\(y=-2\)

23. Asíntota vertical en\(x=-1\)
Doble cero en la\(x=2\)\(y\) intercepción en\((0,\; 2)\)

24. Asíntota vertical en\(x=3\)
Doble cero en la\(x=1\)\(y\) intercepción en\((0,\; 4)\)

Escribe una ecuación para la función graficada.

25. 26.

27. 28.

Escribe una ecuación para la función graficada.

29. 30.

31. 32.

33. 34.

35. 36.

Escribe una ecuación para la función graficada.

37. 38.

Encuentra la asíntota oblicua de cada función.

39. \(f(x)=\dfrac{3x^{2} +4x}{x+2}\)

40. \(g(x)=\dfrac{2x^{2} +3x-8}{x-1}\)

41. \(h(x)=\dfrac{x^{2} -x-3}{2x-6}\)

42. \(k(x)=\dfrac{5+x-2x^{2} }{2x+1}\)

43. \(m(x)=\dfrac{-2x^{3} +x^{2} -6x+7}{x^{2} +3}\)

44. \(n(x)=\dfrac{2x^{3} +x^{2} +x}{x^{2} +x+1}\)

45. Un científico tiene un vaso de precipitados que contiene 20 mL de una solución que contiene 20% de ácido. Para diluir esto, agrega agua pura.

a. Escribir una ecuación para la concentración en el vaso de precipitados después de agregar\(n\) mL de agua.
b. Encontrar la concentración si se han agregado 10 mL de agua.
c. ¿Cuántos mL de agua se deben agregar para obtener una solución al 4%?
d. ¿Cuál es el comportamiento como\(n \to \infty\), y cuál es el significado físico de esto?

46. Un científico tiene un vaso de precipitados que contiene 30 mL de una solución que contiene 3 gramos de hidróxido de potasio. Para ello, mezcla una solución que contiene 8 miligramos por mL de hidróxido de potasio.

a. escribir una ecuación para la concentración en el tanque después de agregar\(n\) mL de la segunda solución.
b. Encontrar la concentración si se han agregado 10 mL de la segunda solución.
c. ¿Cuántos mL de agua deben agregarse para obtener una solución de 50 mg/mL?
d. ¿Cuál es el comportamiento como\(n\to \infty\), y cuál es el significado físico de esto?

47. Oscar está cazando campos magnéticos con su medidor de gauss, un dispositivo para medir la fuerza y polaridad de los campos magnéticos. La lectura en el medidor aumentará a medida que Oscar se acerque a un imán. Oscar se encuentra en un largo pasillo al final del cual hay una habitación que contiene un imán extremadamente fuerte. Cuando está lejos del pasillo de la habitación, el medidor lee un nivel de 0.2. Luego camina por el pasillo y entra en la habitación. Cuando ha entrado 6 pies en la habitación, el medidor dice 2.3. A ocho pies dentro de la habitación, el medidor dice 4.4. [UW]

a. dar un modelo racional de forma\(m\left(x\right)=\dfrac{ax+b}{cx+d}\) relacionando la lectura\(m(x)\) del medidor con cuántos pies ha entrado\(x\) Oscar en la habitación.
b. ¿Hasta dónde debe llegar para que el medidor llegue a 10? ¿100?
c. Considerando tu función de la parte (a) y los resultados de la parte (b), ¿a qué distancia en la habitación crees que está el imán?

48. Cuanto más estudies para cierto examen, mejor será tu desempeño en él. Si estudias por 10 horas, tu puntaje será del 65%. Si estudias durante 20 horas, tu puntaje será del 95%. Puedes acercarte lo más que quieras a una puntuación perfecta con solo estudiar el tiempo suficiente. Asume tu puntaje porcentual\(p(n)\),, es función del número de horas,\(n\), que estudias en la forma\(p(n)=\dfrac{an+b}{cn+d}\). Si quieres una puntuación del 80%, ¿cuánto tiempo necesitas para estudiar? [UW]

49. Una luz de la calle está a 10 pies al norte de un carril bici recto que corre de este a oeste. Olav está en bicicleta por el camino a una velocidad de 15 millas por hora. Al mediodía, Olav se encuentra a 33 pies al oeste del punto en el carril bici más cercano a la luz de la calle. (Ver la imagen). La relación entre la intensidad C de la luz (en la potencia de las velas) y la distancia\(d\) (en pies) de la fuente de luz viene dada por\(C=\dfrac{k}{d^{2} }\), donde\(k\) es una constante dependiendo de la fuente de luz. [UW]

a. a partir de 20 pies de distancia, la luz de la calle tiene una intensidad de 1 vela. ¿Qué es\(k\)?
b. Encontrar una función que dé la intensidad de la luz que brilla sobre Olav en función del tiempo, en segundos.
c. ¿Cuándo tendrá máxima intensidad la luz en Olav?
d. ¿Cuándo será la intensidad de la luz 2 velas?

Contestar

1. D

3. A

	Asíntotas verticales	Asíntota horizontal	Vertical\(y\) -Intercepción	Horizontal\(x\) - intercepción
5.	\(x = -4\)	\(y = 2\)	(0, -3/4)	(3/2, 0)
7.	\(x = 2\)	\(y = 0\)	(0, 1)	DNE
9.	\(x = -4, 1\dfrac{1}{3}\)	\(y = 1\)	(0, 5/16)	(-1/3, 0), (5, 0)
11.	\(x = -1\), agujero en\(x = 1\)	\(y = 1\)	(0, 3)	(-3, 0)
13.	\(x = 4\)	ninguno \(y = 2x\) (obique)	(0, 1/4)	(-1, 0), (1/2, 0)
15.	\(x = 0, 4\)	\(y = 0\)	DNE	(-2, 0), (2/3, 0)
17.	\(y = -2, 4\)	\(y = 1\)	(0, -15/16)	(1, 0), (-3, 0), (5, 0)

5.

7.

9.

11.

13.

15.

17.

19. \(y = \dfrac{50(x - 2)(x + 1)}{(x + 5)(x - 5)}\)

21. \(y = \dfrac{7(x - 4)(x + 6)}{(x + 4)(x + 5)}\)

23. \(y = \dfrac{1(x - 2)^2}{2(x + 1)}\)

25. \(y = \dfrac{4(x - 3)}{(x + 3)(x - 4)}\)

27. \(y = \dfrac{27(x - 2)}{(x + 3)(x - 3)^2}\)

29. \(y = \dfrac{1(x + 3)(x - 2)}{3(x - 1)}\)

31. \(y = \dfrac{-6(x - 1)^2}{(x + 3)(x - 2)^2}\)

33. \(y = -\dfrac{2(x)(x - 3)}{(x + 3)(x - 4)}\)

35. \(y = \dfrac{2(x - 1)^3}{(x + 1)(x - 2)^2}\)

37. \(y = \dfrac{(x - 4)(x - 2)}{(x - 4)(x + 1)}\)

39. \(y = 3x - 2\)

41. \(y = \dfrac{1}{2} x + 1\)

43. \(y = -2x + 1\)

45. a.\(C(n) = \dfrac{4}{20 + n}\)
b.\(C(10) \approx 13.33%\)
c. 80 mL
d. as\(n \to \infty\),\(C \to 0\)