5.1: Círculos

Para comenzar, necesitamos encontrar distancias. Partiendo del Teorema de Pitágoras, que relaciona los lados de un triángulo rectángulo, podemos encontrar la distancia entre dos puntos.

Definición: Teorema de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras establece que la suma de los cuadrados de las patas de un triángulo rectángulo será igual al cuadrado de la hipotenusa del triángulo.

En forma gráfica, dado el triángulo mostrado,

\[a^{2} +b^{2} =c^{2}. \label{ptheorem}\]

Podemos usar el Teorema de Pitágoras para encontrar la distancia entre dos puntos en una gráfica.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Encuentra la distancia entre los puntos (-3, 2) y (2, 5).

Solución

Al trazar estos puntos en el plano, entonces podemos dibujar un triángulo rectángulo con estos puntos en cada extremo de la hipotenusa. Podemos calcular el ancho horizontal del triángulo para ser 5 y la altura vertical para ser 3.

De estos podemos encontrar la distancia entre los puntos usando el Teorema de Pitágoras (Ecuación\ ref {pteorema}):

\[\begin{array}{l} {dist^{2} =5^{2} +3^{2} =34} \\ {dist=\sqrt{34} } \end{array} \nonumber\]

Observe que el ancho del triángulo se calculó usando la diferencia entre los valores\(x\) (de entrada) de los dos puntos, y la altura del triángulo se encontró usando la diferencia entre los valores\(y\) (de salida) de los dos puntos. Generalizar este proceso nos da la fórmula de distancia.

Definición: fórmula de distancia

La distancia entre dos puntos\((x_{1} ,y_{1} )\) y se\((x_{2} ,y_{2} )\) puede calcular como

\[dist=\sqrt{(x_{2} -x_{1} )^{2} +(y_{2} -y_{1} )^{2} } \label{deq}\]

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Encuentra la distancia entre los puntos (1, 6) y (3, -5).

Contestar

\(5\sqrt{5}\)

Círculos

Si quisiéramos encontrar una ecuación para representar un círculo con un radio de\(r\) centrado en un punto (\(h\),\(k\)), notamos que la distancia entre cualquier punto (\(x\),\(y\)) en el círculo y el punto central es siempre la misma:\(r\). Observando esto, podemos usar nuestra fórmula de distancia para escribir una ecuación para el radio:

\[r=\sqrt{(x-h)^{2} +(y-k)^{2} }\]

Al cuadrar ambos lados de la ecuación nos da la ecuación estándar para un círculo.

Definición: ecuación de un círculo

La ecuación de un círculo centrado en el punto (\(h\),\(k\)) con radio se\(r\) puede escribir como\[(x-h)^{2} +(y-k)^{2} =r^{2}\]

Observe que un círculo no pasa la prueba de línea vertical - no es una función y no es\(y\) posible escribir en función de\(x\) o viceversa.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Escribe una ecuación para un círculo centrado en el punto (-3, 2) con radio 4.

Solución

Usando la ecuación de arriba,\(h = -3\),\(k = 2\), y el radio\(r = 4\). Usando estos en nuestra fórmula,

\[(x-(-3))^{2} +(y-2)^{2} =4^{2} \nonumber\]

simplificado, esto da

\[(x+3)^{2} +(y-2)^{2} =16 \nonumber\]

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Escribe una ecuación para el círculo graficado aquí.

Solución

Este círculo está centrado en el origen, el punto (0, 0). Al medir horizontal o verticalmente desde el centro hacia fuera hasta el círculo, podemos ver que el radio es 3. El uso de esta información en nuestra fórmula da:

\[(x-0)^{2} +(y-0)^{2} =3^{2} \nonumber\]

simplificado, esto da

\[x^{2} +y^{2} =9 \nonumber \]

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Escribe una ecuación para un círculo centrado en (4, -2) con radio 6.

Contestar

\[(x-4)^{2} +(y+2)^{2} =36\nonumber\]

Observe que, en relación con un círculo centrado en el origen, los desplazamientos horizontales y verticales del círculo se revelan en los valores de\(h\) y\(k\), que son las coordenadas para el centro del círculo.

Puntos en un círculo

Como se señaló anteriormente, una ecuación para un círculo no se puede escribir de manera que\(y\) sea una función de\(x\) o viceversa. Para encontrar coordenadas en el círculo dado solo el\(y\) valor\(x\) o, debemos resolver algebraicamente para los valores desconocidos.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Encuentra los puntos en un círculo de radio 5 centrados en el origen con un\(x\) valor de 3.

Solución

Comenzamos por escribir una ecuación para el círculo centrado en el origen con un radio de 5.

\[x^{2} +y^{2} =25\nonumber\]

Sustituir en el\(x\) valor deseado de 3 da una ecuación que podemos resolver\(y\).

\[\begin{array}{l} {3^{2} +y^{2} =25} \\ {y^{2} =25-9=16} \\ {y=\pm \sqrt{16} =\pm 4} \end{array}\nonumber\]

Hay dos puntos en el círculo con un\(x\) valor de 3: (3, 4) y (3, -4).

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Encuentra las\(x\) intercepciones de un círculo con radio 6 centrado en el punto (2, 4).

Solución

Podemos comenzar por escribir una ecuación para el círculo. \[(x-2)^{2} +(y-4)^{2} =36\nonumber \]

Para encontrar las\(x\) intercepciones, necesitamos encontrar los puntos donde y = 0. Sustituyendo en cero por\(y\), podemos resolver para\(x\).

\[(x-2)^{2} +(0-4)^{2} =36\nonumber\]
\[(x-2)^{2} +16=36\nonumber\]
\[(x-2)^{2} =20\nonumber\]
\[x-2=\pm \sqrt{20}\nonumber\]
\[x=2\pm \sqrt{20} =2\pm 2\sqrt{5}\nonumber\]

Las\(x\) intercepciones del círculo son\(\left(2+2\sqrt{5} ,0\right)\) y\(\left(2-2\sqrt{5} ,0\right)\)

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

En un pueblo, Main Street corre de este a oeste, y Meridian Road corre de norte a sur. Una pizzería se encuentra en Meridian 2 millas al sur de la intersección de Main y Meridian. Si la tienda anuncia que entrega dentro de un radio de 3 millas, ¿a qué parte de Main Street entregan?

Solución

Este tipo de preguntas es aquella en la que introducir un sistema de coordenadas y dibujar una imagen puede ayudarnos a resolver el problema. Podríamos colocar el origen en la intersección de las dos calles, o bien colocar el origen en la propia pizzería. A menudo es más fácil trabajar con círculos centrados en el origen, por lo que colocaremos el origen en la pizzería, aunque cualquiera de los dos enfoques funcionaría bien.

Colocando el origen en la pizzería, el área de entrega con radio 3 millas se puede describir como la región dentro del círculo descrito por\(x^{2} +y^{2} =9\).

La calle principal, ubicada a 2 millas al norte de la pizzería y que corre de este a oeste, se puede describir mediante la ecuación\(y = 2\).

Para encontrar la porción de Main Street a la que entregará la tienda, primero encontramos el límite de su región de entrega buscando dónde el círculo de entrega se cruza con Main Street. Para encontrar la intersección, buscamos los puntos en el círculo donde\(y = 2\). Sustituir\(y = 2\) en la ecuación circular nos permite resolver los\(x\) valores correspondientes.

\[\begin{array}{l} {x^{2} +2^{2} =9} \\ {x^{2} =9-4=5} \\ {x=\pm \sqrt{5} \approx \pm 2.236} \end{array}\nonumber \]

Esto significa que la pizzería entregará 2.236 millas por Main Street al este de Meridian y 2.236 millas por Main Street al oeste de Meridian. Podemos concluir que la pizzería entrega a un segmento de 4.472 millas de largo de Main St.

Además de encontrar donde una línea vertical u horizontal se cruza con el círculo, también podemos encontrar donde una línea arbitraria se cruza con un círculo.

Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

Encuentra donde la línea se\(f(x)=4x\) cruza con el círculo\((x-2)^{2} +y^{2} =16\).

Solución

Normalmente, para encontrar una intersección de dos funciones\(f(x)\) y\(g(x)\) resolveríamos por el\(x\) valor que haría iguales a las funciones resolviendo la ecuación\(f(x) = g(x)\). En el caso de un círculo, no es posible representar la ecuación como una función, pero podemos utilizar la misma idea.

El valor de salida de la línea determina el\(y\) valor:\(y=f(x)=4x\). Queremos que el\(y\) valor del círculo sea igual al\(y\) valor de la línea, que es el valor de salida de la función. Para ello, podemos sustituir la expresión por\(y\) de la línea a la ecuación del círculo.

\[(x-2)^{2} +y^{2} =16\nonumber\]reemplazar\(y\) con la fórmula de línea:\(y=4x\)
\[(x-2)^{2} +(4x)^{2} =16\nonumber\] expandir
\[x^{2} -4x+4+16x^{2} =16\nonumber\] simplificar
\[17x^{2} -4x+4=16\nonumber\] ya que esta ecuación es cuadrática, organizamos un lado para que sea 0
\[17x^{2} -4x-12=0\nonumber\]

Dado que esta cuadrática no parece ser fácilmente factorizable, podemos usar la fórmula cuadrática para resolver\(x\):

\[x=\dfrac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^{2} -4(17)(-12)} }{2(17)} =\dfrac{4\pm \sqrt{832} }{34}\nonumber\]\(x \approx 0.966\)o aproximadamente\(-0.731\)

A partir de estos valores x podemos usar cualquiera de las ecuaciones para encontrar los\(y\) valores correspondientes.

Dado que la ecuación de línea es más fácil de evaluar, podríamos optar por usarla:

\[\begin{array}{l} {y=f(0.966)=4(0.966)=3.864} \\ {y=f(-0.731)=4(-0.731)=-2.923} \end{array}\nonumber\]

La línea cruza el círculo en los puntos (0.966, 3.864) y (-0.731, -2.923).

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Un pequeño transmisor de radio emite en un radio de 50 millas. Si conduces por una línea recta desde una ciudad a 60 millas al norte del transmisor hasta una segunda ciudad a 70 millas al este del transmisor, ¿durante cuánto de la unidad recogerá una señal del transmisor?

Contestar

El círculo puede ser representado por\(x^{2} +y^{2} =50^{2}\).

Encontrar una línea de (0,60) a (70,0) da\(y=60-\dfrac{60}{70} x\).

Sustituir la ecuación de línea en el círculo da\(x^{2} +\left(60-\dfrac{60}{70} x\right)^{2} =50^{2}\).

Resolviendo esta ecuación, encontramos\(x = 14\) o\(x = 45.29\), correspondiente a los puntos (14, 48) y (45.29, 21.18).

La distancia entre estos puntos es de 41.21 millas.

Temas Importantes de esta Sección

• Fórmula de distancia
• Ecuación de un círculo
• Encontrar la\(x\) coordenada de un punto en el círculo dada la\(y\) coordenada o viceversa
• Encontrar la intersección de un círculo y una línea

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1. \(\)http://commons.wikimedia.org/wiki/Fi... _otech_002.JPG CC-BY-SA ↩
2. \(\)http://en.Wikipedia.org/wiki/File:R%...m%C3%BChle.svg CC-BY ↩