9.2.2E: Hipérbolas (Ejercicios)

ejercicios de la sección 9.2

Sección 9.2 Ejercicios

En los problemas 1—4, haga coincidir cada gráfica con las ecuaciones A—D.

A.\(\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{9} = 1\)

B.\(\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{4} = 1\)

C.\(y^2 - \dfrac{x^2}{9} = 1\)

D.\(\dfrac{y^2}{9} - x^2 = 1\)

1. 2. 3. 4.

En los problemas 5—14, encuentra los vértices, la longitud del eje transversal y las ecuaciones de las asíntotas. Esbozar la gráfica. Verifique usando una utilidad gráfica.

5. \(\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{25} = 1\)

6. \(\dfrac{y^2}{16} - \dfrac{x^2}{9} = 1\)

7. \(y^2 - \dfrac{x^2}{4} = 1\)

8. \(x^2 - \dfrac{y^2}{25} = 1\)

9. \(x^2 - 9y^2 = 9\)

10. \(y^2 - 4x^2 = 4\)

11. \(9y^2 - 16x^2 = 144\)

12. \(16x^2 - 25y^2 = 400\)

13. \(9x^2 - y^2 = 18\)

14. \(4y^2 - x^2 = 12\)

En los problemas 15—16, escriba una ecuación para la gráfica.

15. 16.

En los problemas 17—22, encuentra la forma estándar de la ecuación para una hipérbola que satisface las condiciones dadas.

17. Vértices en (0, 4) y (0, -4); asíntota\(y = \dfrac{1}{2}x\)

18. Vértices en (-6, 0) y (6, 0); asíntota\(y = 3x\)

19. Vértices en (-3, 0) y (3, 0); pasa a través de (5, 8)

20. Vértices en (0, 4) y (0, -4); pasa a través de (6, 5)

21. Asíntota\(y = x\); pasa a través (5, 3)

22. Asíntota\(y = x\); pasa a través (12, 13)

En los problemas 23—30, haga coincidir cada gráfica con las ecuaciones A—H.

A.\(\dfrac{\left( x - 1 \right)^2}{9} - \dfrac{\left( y - 2 \right)^2}{4} = 1\)

B.\(\dfrac{\left( x + 1 \right)^2}{9} - \dfrac{\left( y + 2 \right)^2}{4} = 1\)

C.\(\dfrac{\left( x + 1 \right)^2}{9} - \dfrac{\left( y + 2 \right)^2}{16} = 1\)

D.\(\dfrac{\left( x - 1 \right)^2}{9} - \dfrac{\left( y - 2 \right)^2}{16} = 1\)

E.\(\dfrac{\left( y - 2 \right)^2}{4} - \dfrac{\left( x - 1 \right)^2}{9} = 1\)

F.\(\dfrac{\left( y + 2 \right)^2}{4} - \dfrac{\left( x + 1 \right)^2}{9} = 1\)

G.\(\dfrac{\left( y + 2 \right)^2}{4} - \dfrac{\left( x + 1 \right)^2}{16} = 1\)

H.\(\dfrac{\left( y - 2 \right)^2}{4} - \dfrac{\left( x - 1 \right)^2}{16} = 1\)

23. 24. 25. 26.

27. 28. 29. 30.

En los problemas 31—40, encuentra el centro, los vértices, la longitud del eje transversal y las ecuaciones de las asíntotas. Esbozar la gráfica. Verifique usando una utilidad gráfica.

31. \(\dfrac{\left( x - 1 \right)^2}{25} - \dfrac{\left( y + 2 \right)^2}{4} = 1\)

32. \(\dfrac{\left( y - 3 \right)^2}{16} - \dfrac{\left( x + 5 \right)^2}{36} = 1\)

33. \(\dfrac{\left( y - 1 \right)^2}{9} - \left( x + 2 \right)^2 = 1\)

34. \(\dfrac{\left( x - 1 \right)^2}{25} - \left( y - 6 \right)^2 = 1\)

35. \(4x^2 - 8x - y^2 = 12\)

36. \(4y^2 + 16y - 9x^2 = 20\)

37. \(4y^2 - 16y - x^2 - 2x = 1\)

38. \(4x^2 - 16x - y^2 + 6y = 29\)

39. \(9x^2 + 36x - 4y^2 + 8y = 4\)

40. \(9y^2 + 36y - 16x^2 - 96x = - 36\)

En los problemas 41—42, escriba una ecuación para la gráfica.

41. 42.

En los problemas 43—44, encuentra la forma estándar de la ecuación para una hipérbola que satisface las condiciones dadas.

43. Vértices (-1, -2) y (-1,6); asíntota\(y - 2 = 2\left( {x + 1} \right)\)

44. Vértices (-3, -3) y (5, -3); asíntota\(\;y + 3 = \dfrac{1}{2}\left( {x - 1} \right)\)

En los problemas 45—48, encuentra el centro, los vértices, la longitud del eje transversal y las ecuaciones de las asíntotas. Esbozar la gráfica. Verifique usando una utilidad gráfica.

45. \(y = \pm 4\sqrt {9x^2 - 1} \)

46. \(y = \pm \dfrac{1}{4}\sqrt {9x^2 + 1} \)

47. \(y = 1 \pm \dfrac{1}{2}\sqrt {9x^2 + 18x + 10} \)

48. \( = - 1 \pm 2\sqrt {9x^2 - 18x + 8} \)

En los problemas 49—54, encuentra los focos.

49. \(\dfrac{y^2}{6} - \dfrac{x^2}{19} = 1\)

50. \(x^2 - \dfrac{y^2}{35} = 1\)

51. \(\dfrac{\left( x - 1 \right)^2}{15} - \left( y - 6 \right)^2 = 1\)

52. \(\dfrac{\left( y - 3 \right)^2}{47} - \dfrac{\left( x + 5 \right)^2}{2} = 1\)

53. \(y = 1 \pm \dfrac{4}{3}\sqrt {x^2 + 8x + 25} \)

54. \(y = - 3 \pm \dfrac{12}{5}\sqrt {x^2 - 4x - 21} \)

En los problemas 55—66, encuentra la forma estándar de la ecuación para una hipérbola que satisface las condiciones dadas.

55. Focos (5, 0) y (-5, 0), vértices (4, 0) y (4, 0)

56. Focos (0, 26) y (0, -26), vértices (0, 10) y (0, -10)

57. Enfoque (0, 13), vértice (0, 12), centro (0, 0)

58. Enfoque (15, 0), vértice (12, 0), centro (0, 0)

59. Enfoque (17, 0) y (-17, 0), asíntotas\(y = \dfrac{8}{15}x\) y\(y = - \dfrac{8}{15}x\)

60. Enfoque (0, 25) y (0, 25), asíntotas\(y = \dfrac{24}{7}x\) y\(y = - \dfrac{24}{7}x\)

61. Enfoque (10, 0) y (-10, 0), longitud del eje transversal 16

62. Enfoque (0, 34) y (0, -34), longitud del eje transversal 32

63. Focos (1, 7) y (1, -3), vértices (1, 6) y (1, -2)

64. Focos (4, -2) y (-6, -2), vértices (2, -2) y (-4, -2)

65. Enfoque (12, 3), vértice (4, 3), centro (-1, 3)

66. Enfoque (-3, 15), vértice (-3, 13), centro (-3, -2)

67. Las estaciones A y B de LORAN están a 100 kilómetros de distancia y envían una señal de radio simultánea a un barco. La señal de A llega 0.0002 segundos antes de la señal de B. Si la señal recorre 300,000 kilómetros por segundo, encuentra una ecuación de la hipérbola sobre la que se posiciona la nave si los focos están ubicados en A y B.

68. Trueno y relámpago Anita y Samir están parados a 3050 pies de distancia cuando ven que un rayo de luz golpea el suelo. Anita escucha el trueno 0.5 segundos antes de que Samir lo haga. El sonido viaja a 1100 pies por segundo. Encuentra una ecuación de la hipérbola en la que se posiciona la huelga de iluminación si Anita y Samir se encuentran en los focos.

69. Torre de enfriamiento La torre de enfriamiento para una planta de energía tiene lados en forma de hipérbola. La torre mide 179.6 metros de altura. El diámetro en la parte superior es de 72 metros. En su punto más cercano, los lados de la torre se encuentran a 60 metros de distancia. Encuentre una ecuación que modele los lados de la torre de enfriamiento.

70. Calibración Un sismólogo posiciona dos dispositivos de grabación a 340 pies de distancia en los puntos A y B. Para verificar la calibración, se detona un explosivo entre los dispositivos a 90 pies del punto A. Se anota el tiempo en que se registran las explosiones en los dispositivos y se calcula la diferencia. Una segunda explosión se detonará al este del punto A. ¿Qué tan al oriente se debe posicionar la segunda explosión de manera que la diferencia de tiempo medida sea la misma que para la primera explosión?

71. Objetivo Práctica Un arma en el punto A y un objetivo en el punto B están a 200 pies de distancia. Una persona en el punto C escucha el disparo de arma de fuego y golpea el objetivo exactamente al mismo tiempo. Encuentra una ecuación de la hipérbola sobre la que se encuentra la persona si los focos se encuentran en A y B. Una bala disparada tiene una velocidad de 2000 pies por segundo. La velocidad del sonido es de 1100 pies por segundo.

72. Trayectorias de cometas Un cometa pasa por el sistema solar siguiendo una trayectoria hiperbólica con el sol como foco. Lo más cerca que se pone al sol es de 3×108 millas. En la figura se muestra la trayectoria del cometa, cuyo camino de entrada está en ángulo recto con respecto a su trayectoria de salida. Encuentra una ecuación para la trayectoria del cometa. Redondear a dos decimales

.

73. El conjugado de la hipérbola\(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) es\(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = - 1\). Demostrar que\(5y^2 - x^2 + 25 = 0\) es el conjugado de\(x^2 - 5y^2 + 25 = 0\).

74. La excentricidad\(e\) de una hipérbola es la relación\(\dfrac{c}{a}\), donde\(c\) está la distancia de un foco desde el centro y\(a\) es la distancia de un vértice desde el centro. Encuentra la excentricidad de\(\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1\).

75. Una hipérbola equilátera es aquella para la cual a = b. Encuentra la excentricidad de una hipérbola equilátera.

76. El recto latus de una hipérbola es un segmento lineal con puntos finales en la hipérbola que pasa a través de un foco y es perpendicular al eje transversal. Demostrar que\(\dfrac{2b^2}{a}\) es la longitud del recto latus de\(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\).

77. Las hipérbolas confocales tienen los mismos focos. Demostrar que, pues\(0 < k < 6\), todas las hipérbolas de la forma\(\dfrac{x^2}{k} - \dfrac{y^2}{6 - k} = 1\) son confocales.

Contestar

1. B

3. D

5. Vértices\((\pm 2, 0)\), longitud transversal = 4, asíntotas\(y = \pm 5/2x\),

7. Vértices\((0, \pm 1)\), longitud transversal = 2, asíntotas\(y = \pm 1/2x\),

9. Longitud\((\pm 3,0)\) transversal de vértices = 6, asíntotas\(y =\pm 1/3x\),

11. Vértices\((0, \pm 4)\), longitud transversal = 8, asíntotas\(y = \pm 4/3x\)

13. Vértices\((\pm \sqrt{2}, 0)\), longitud transversal =\(2\sqrt{2}\), asíntotas\(y = \pm 3x\),

15. \(\dfrac{y^2}{4} - \dfrac{x^2}{9} = 1\)

17. \(\dfrac{y^2}{16} - \dfrac{x^2}{64} = 1\)

19. \(\dfrac{y^2}{9} - \dfrac{x^2}{36} = 1\)

21. \(\dfrac{y^2}{16} - \dfrac{x^2}{16} = 1\)

23. C

25. H

27. B

29. A

31. Centro (1, -2), vértices (6, -2) y (-4, -2), longitud transversal = 10, asíntotas\(y = \pm 2/5(x - 1) - 2\)

33. Centro (-2, 1), vértices (-2, 4) y (-2, -2), longitud transversal = 6, asíntotas\(y = \pm 3(x + 2) + 1\)

35. Centro (1, 0), vértices (3, 0) y (-1, 0), longitud transversal = 4, asíntotas\(y =\pm 2(x-1)\)

37. Centro (-1, 2), vértices (-1, 4) y (-1, 0), longitud transversal = 4, asíntotas\(y = \pm 1/2(x + 1) + 2\)

39. Centro (-2, 1), vértices (0, 1) y (-4, 1), longitud transversal = 4, asíntotas\(y = \pm 3/2(x + 2) + 1\)

41. \(\dfrac{(y + 1)^2}{9} - \dfrac{(x - 4)^2}{4} = 1\)

43. \(\dfrac{(y - 2)^2}{16} - \dfrac{(x + 1)^2}{4} = 1\)

45. Centro (0,0), vértices\((\pm 1/3,0)\), longitud transversal = 2/3, asíntotas\(y = \pm 12 x\)

46. Centro (-1, 1), vértices (-1, 3/2) y (-1, 1/2), longitud transversal = 1, asíntotas\(y = \pm 3/2 (x + 1) + 1\)

49. Focos\((0, \pm 5)\)

51. Focos (5, 6) y (-3, 6)

53. Focos (-4, 6) y (-4, -4)

55. \(\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1\)

57. \(\dfrac{y^2}{144} - \dfrac{x^2}{25} = 1\)

59. \(\dfrac{x^2}{225} - \dfrac{y^2}{64} = 1\)

61. \(\dfrac{x^2}{64} - \dfrac{y^2}{36} = 1\)

63. \(\dfrac{(y - 2)^2}{16} - \dfrac{(x - 1)^2}{9} = 1\)

65. \(\dfrac{(x + 1)^2}{25} - \dfrac{(y - 3)^2}{144} = 1\)

67. \(\dfrac{x^2}{900} - \dfrac{y^2}{1600} = 1\)

69. \(\dfrac{x^2}{900} - \dfrac{y^2}{14400.3636} = 1\)

71. \(\dfrac{x^2}{3025} - \dfrac{y^2}{6975} = 1\)

73. \(5y^2 - x^2 + 25 = 0\)se puede poner en la forma\(\dfrac{y^2}{5} - \dfrac{x^2}{25} = -1\). \(x^2 - 5y^2 + 25 = 0\)se pueden poner en la forma\(\dfrac{y^2}{5} - \dfrac{x^2}{25} = 1\) mostrando que son conjugados.

75. \(\sqrt{2}\)

77. No importa el valor de\(k\), los focos están en\((\pm \sqrt{6}, 0)\)