9.3.3E: Parábolas y sistemas no lineales (ejercicios)

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 116801

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Sección 9.3 Ejercicios

En los problemas 1—4, haga coincidir cada gráfica con una de las ecuaciones A—D.

A.$y^2 = 4x$

B.$x^2 = 4y$

C.$x^2 = 8y$

D.$y^2 + 4x = 0$

1. $2019-08-06 10.54.02.png$ 2. $2019-08-06 10.54.30.png$ 3. $2019-08-06 10.54.54.png$ 4. $2019-08-06 10.55.10.png$

En los problemas 5—14, encuentra el vértice, el eje de simetría, la directriz y el foco de la parábola.

5. $y^2 = 16x$

6. $x^2 = 12y$

7. $y = 2x^2$

8. $x = - \dfrac{y^2}{8}$

9. $x + 4y^2 = 0$

10. $8y + x^2 = 0$

11. $(x - 2)^2 = 8(y + 1)$

12. $(y + 3)^2 = 4(x - 2)$

13. $y = \dfrac{1}{4}(x + 1)^2 + 4$

14. $x = - \dfrac{1}{12}(y + 1)^2 + 1$

En los problemas 15—16, escriba una ecuación para la gráfica.
15. $2019-08-06 10.56.35.png$ 16. $2019-08-06 10.57.10.png$

En los problemas 17-20, encuentra la forma estándar de la ecuación para una parábola que satisface las condiciones dadas.

17. Vértice en (2, 3), apertura a la derecha, distancia focal 3

18. Vértice en (-1, 2), apertura hacia abajo, distancia focal 1

19. Vértice en (0, 3), enfoque en (0, 4)

20. Vértice en (1, 3), enfoque en (0, 3)

21. El espejo en un faro de automóvil tiene una sección transversal parabólica con la bombilla en el foco. En un esquema, la ecuación de la parábola se da como? $x^2 = 4y^2$¿En qué coordenadas debes colocar la bombilla?

22. Si queremos construir el espejo a partir del ejercicio anterior para que el foco se ubique en (0, 0.25), ¿cuál debería ser la ecuación de la parábola?

23. Una antena parabólica tiene la forma de un paraboloide de revolución. Esto significa que se puede formar girando una parábola alrededor de su eje de simetría. El receptor se ubicará en el foco. Si el plato tiene 12 pies de ancho en su abertura y 4 pies de profundidad en su centro, ¿dónde debe colocarse el receptor?

24. Considera la antena parabólica del ejercicio anterior. Si el platillo tiene 8 pies de ancho en la abertura y 2 pies de profundidad, ¿dónde debemos colocar el receptor?

25. Un foco de luz tiene la forma de un paraboloide de revolución. Una fuente de luz se encuentra a 1 pie de la base a lo largo del eje de simetría. Si la apertura del foco es de 2 pies de ancho, encuentra la profundidad.

26. Si el foco del ejercicio anterior tiene la fuente de luz ubicada a 6 pulgadas de la base a lo largo del eje de simetría y la abertura es de 4 pies de ancho, encuentra la profundidad.

En los problemas 27—34, resolver cada sistema de ecuaciones para las intersecciones de las dos curvas.

27. $\begin{array}{l} {y = 2x} \\ {y^2 - x^2} = 1 \end{array}$

28. $\begin{array}{l} {y = x + 1} \\ {2x^2 + y^2} = 1 \end{array}$

29. $\begin{array}{l} {x^2 + y^2} = 11 \\ {x^2 - 4y^2} = 1 \end{array}$

30. $\begin{array}{l} {2x^2 + y^2} = 4 \\ {y^2 - x^2} = 1 \end{array}$

31. $\begin{array}{l} {y = x^2} \\ {y^2 - 6x^2} = 16 \end{array}$

32. $\begin{array}{l} {x = y^2} \\ {\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{9} = 1} \end{array}$

33. $\begin{array}{l} {x^2 - y^2} = 1 \\ {4y^2 - x^2 = 1} \end{array}$

34. $\begin{array}{l} {x^2 = 4(y - 2)} \\ {x^2 = 8(y + 1)} \end{array}$

35. Un sistema LORAN tiene estaciones transmisoras A, B, C y D en (-125, 0), (125, 0), (0, 250) y (0, -250), respectivamente. Un barco en el cuadrante dos calcula la diferencia de sus distancias desde A y B como 100 millas y la diferencia de sus distancias desde C y D como 180 millas. Encuentra las coordenadas x e y de la ubicación del barco. Redondear a dos decimales.

36. Un sistema LORAN tiene estaciones transmisoras A, B, C y D en (-100, 0), (100, 0), (-100, -300) y (100, -300), respectivamente. Un barco en el cuadrante uno calcula la diferencia de sus distancias de A y B como 80 millas y la diferencia de sus distancias de C y D como 120 millas. Encuentra las$y$ coordenadas$x$ - y -de la ubicación de la nave. Redondear a dos decimales.

Contestar

1. C

3. A

5. Vértice: (0, 0). Eje de simetría:$y = 0$. Directrix:$x = -4$. Foco: (4, 0)

7. Vértice: (0, 0). Eje de simetría:$x = 0$. Directrix:$y = -1/8$. Foco: (0, 1/8)

9. Vértice: (0, 0). Eje de simetría:$y = 0$. Directrix:$x = 1/16$. Foco: (-1/16, 0)

11. Vértice: (2, -1). Eje de simetría:$x = 2$. Directrix:$y = -3$. Foco: (2, 1)

13. Vértice: (-1, 4). Eje de simetría:$x = -1$. Directrix:$y = 3$. Enfoque: (-1, 5)

15. $(y - 1)^2 = -(x - 3)$

17. $(y - 3)^2 = 12(x - 2)$

19. $x^2 = 4(y - 3)$

21. En el foco, (0,1)

23. 2.25 pies por encima del vértice.

25. 0.25 pies

27. $(\dfrac{1}{\sqrt{3}}, \dfrac{2}{\sqrt{3}})$,$(\dfrac{-1}{\sqrt{3}}, \dfrac{-2}{\sqrt{3}})$

29. $(3, \sqrt{2})$,$(3, -\sqrt{2})$,$(-3, \sqrt{2})$,$(-3, -\sqrt{2})$

31. $(2\sqrt{2}, 8)$,$(-2\sqrt{2}, 8)$

33. $(\dfrac{5}{3}, \dfrac{2}{3})$,$(-\dfrac{5}{3}, \dfrac{2}{3})$,$(\dfrac{5}{3}, -\dfrac{2}{3})$,$(-\dfrac{5}{3}, -\dfrac{2}{3})$

35. (-64.50476622, 93.37848007)$\approx$ (-64.50, 93.38)