5.1: Graficando las Funciones Trigonométricas
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La primera función que vamos a graficar es la función seno. Describiremos una forma geométrica de crear la gráfica, utilizando el círculo unitario. Este es el círculo de radio\(1 \) en el\(xy\) plano -que consiste en todos los puntos\((x,y) \) que satisfacen la ecuación\(x^2 + y^2 = 1 \).
Vemos en la Figura 5.1.1 que cualquier punto del círculo unitario tiene coordenadas\((x,y)=(\cos\;\theta,\sin\;\theta) \), donde\(\theta \) está el ángulo que el segmento de línea desde el origen hasta\((x,y) \) hace con el\(x\) eje positivo (por definición de seno y coseno). Entonces, a medida que el punto\((x,y) \) va alrededor del círculo, su\(y\) coordenada es\(\sin\;\theta \).
Así obtenemos una correspondencia entre las\(y\) coordenadas -de puntos en el círculo unitario y los valores\(f(\theta)=\sin\;\theta \), como lo muestran las líneas horizontales desde el círculo unitario hasta la gráfica de\(f(\theta)=\sin\;\theta \) la Figura 5.1.2 para los ángulos\(\theta = 0 \),\(\tfrac{\pi}{6} \),\(\tfrac{\pi}{3} \),\(\tfrac{\pi}{2} \).
Podemos extender la imagen de arriba para incluir ángulos de\(0 \) a\(2\pi \) radianes, como en la Figura 5.1.3. Esto ilustra lo que a veces se llama la definición de círculo unitario de la función sinusoidal.
Dado que las funciones trigonométricas repiten cada\(2\pi \) radianes (\(360^\circ\)), obtenemos, por ejemplo, la siguiente gráfica de la función\(y=\sin\;x \) para\(x \) en el intervalo\([-2\pi , 2\pi]\):
Para graficar la función coseno, podríamos volver a usar la idea de círculo unitario (usando la\(x\) coordenada -de un punto que se mueve alrededor del círculo), pero hay una manera más fácil. Recordemos de la Sección 1.5 que\(\cos\;x = \sin\;(x+90^\circ) \) para todos\(x \). Entonces\(\cos\;0^\circ \) tiene el mismo valor que\(\sin\;90^\circ \),\(\cos\;90^\circ \) tiene el mismo valor que\(\sin\;180^\circ \),\(\cos\;180^\circ \) tiene el mismo valor que\(\sin\;270^\circ \), y así sucesivamente. En otras palabras, la gráfica de la función coseno es solo la gráfica de la función sinusoidal desplazada hacia la izquierda por\(90^\circ = \pi/2 \) radianes, como en la Figura 5.1.5:
Para graficar la función tangente, utilice\(\tan\;x = \frac{\sin\;x}{\cos\;x} \) para obtener la siguiente gráfica:
Recordemos que la tangente es positiva para los ángulos en QI y QIII, y es negativa en QII y QIV, y eso es de hecho lo que muestra la gráfica de la Figura 5.1.6. Sabemos que no\(\tan\;x \) se define cuándo\(\cos\;x = 0 \), es decir, en múltiplos impares de\(\frac{\pi}{2}\):\(x=\pm\,\frac{\pi}{2} \)\(\pm\,\frac{3\pi}{2} \)\(\pm\,\frac{5\pi}{2} \),,, etc. Podemos averiguar qué sucede cerca de esos ángulos observando las funciones seno y coseno. Por ejemplo, porque\(x \) en QI cerca\(\frac{\pi}{2} \),\(\sin\;x \) y ambos\(\cos\;x \) son positivos, con\(\sin\;x \) muy cerca\(1 \) y\(\cos\;x \) muy cerca de\(0 \), por lo que el cociente\(\tan\;x = \frac{\sin\;x}{\cos\;x} \) es un número positivo que es muy grande. Y cuanto más\(x \) se acerca\(\frac{\pi}{2} \), más grande\(\tan\;x \) se hace. Así,\(x=\frac{\pi}{2} \) es una asíntota vertical de la gráfica de\(y=\tan\;x \).
Así mismo, pues\(x \) en la QII muy cerca\(\frac{\pi}{2} \),\(\sin\;x \) está muy cerca\(1 \) y\(\cos\;x\) es negativa y muy cercana a\(0 \), por lo que el cociente\(\tan\;x = \frac{\sin\;x}{\cos\;x} \) es un número negativo que es muy grande, y se hace más grande en la dirección negativa a medida que\(x \) se acerca \(\frac{\pi}{2} \). La gráfica muestra esto. Del mismo modo, obtenemos asíntotas verticales en\(x=-\frac{\pi}{2} \),\(x=\frac{3\pi}{2} \), y\(x=-\frac{3\pi}{2} \), como en la Figura 5.1.6. Observe que la gráfica de la función tangente repite cada\(\pi \) radianes, es decir, dos veces más rápido que las gráficas de repetición de seno y coseno.
Las gráficas de las funciones trigonométricas restantes se pueden determinar observando las gráficas de sus funciones recíprocas. Por ejemplo, usando solo\(\csc\;x = \frac{1}{\sin\;x} \) podemos mirar la gráfica de\(y=\sin\;x \) e invertir los valores. Obtendremos asíntotas verticales cuando\(\sin\;x=0 \), es decir, en múltiplos de\(\pi\):\(x=0 \)\(\pm\,\pi \)\(\pm\,2\pi \),,, etc. La Figura 5.1.7 muestra la gráfica de\(y=\csc\;x \), con la gráfica de\(y=\sin\;x \) (la curva discontinua) para referencia.
Asimismo, la Figura 5.1.8 muestra la gráfica de\(y=\sec\;x \), con la gráfica de\(y=\cos\;x \) (la curva discontinua) para referencia. Anote las asíntotas verticales en\(x=\pm\,\frac{\pi}{2} \),\(\pm\,\frac{3\pi}{2} \). Observe también que la gráfica es solo la gráfica de la función cosecante desplazada hacia la izquierda por\(\frac{\pi}{2} \) radianes.
La gráfica de también\(y=\cot\;x \) se puede determinar mediante el uso de\(\cot\;x = \frac{1}{\tan\;x} \). Alternativamente, podemos usar la relación\(\cot\;x = -\tan\;(x+90^\circ) \) de la Sección 1.5, de manera que la gráfica de la función cotangente sea solo la gráfica de la función tangente desplazada hacia la izquierda por\(\frac{\pi}{2}\) radianes y luego reflejada alrededor del\(x\) eje -como en la Figura 5.1.9:
Dibuja la gráfica de\(y=-\sin\;x \) para\(0 \le x \le 2\pi \).
Solución:
Multiplicar una función por\(-1 \) solo refleja su gráfica alrededor del\(x\) eje -eje. Por lo tanto, reflejar la gráfica de\(y=\sin\;x \) alrededor del\(x\) eje -nos da la gráfica de\(y=-\sin\;x\):
\ noindent Tenga en cuenta que esta gráfica es la misma que las gráficas de\(y=\sin\;(x \pm \pi) \) y\(y=\cos\;(x+\frac{\pi}{2}) \).
Vale la pena recordar las formas generales de las gráficas de las seis funciones trigonométricas, especialmente para seno, coseno y tangente. En particular, las gráficas de las funciones seno y coseno se denominan curvas sinusoidales. Muchos fenómenos en la naturaleza exhiben un comportamiento sinusoidal, por lo que es importante reconocer la forma general.
Dibuja la gráfica de\(y=1+\cos\;x \) para\(0 \le x \le 2\pi \).
Solución
Agregar una constante a una función simplemente mueve su gráfica hacia arriba o hacia abajo en esa cantidad, dependiendo de si la constante es positiva o negativa, respectivamente. Así que\(1 \) sumar a\(\cos\;x \) mueve la gráfica de\(y=\cos\;x \) hacia arriba por\(1 \), dándonos la gráfica de\(y=1+\cos\;x\):