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# 6.E: Funciones Periódicas (Ejercicios)

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## 6.1: Gráficas de las funciones de seno y coseno

En el capítulo sobre Funciones trigonométricas, examinamos funciones trigonométricas como la función sinusoidal. En esta sección, interpretaremos y crearemos gráficas de funciones sinusoidales y cosenales

### Verbal

1) ¿Por qué las funciones seno y coseno se denominan funciones periódicas?

Responder

Las funciones seno y coseno tienen la propiedad que$$f(x+P)=f(x)$$ por cierto$$P$$. Esto significa que los valores de la función se repiten para cada$$P$$ unidad en el$$x$$ eje.

2) ¿Cómo se$$y=\sin x$$ compara la gráfica con la gráfica de$$y=\cos x$$? Explica cómo podrías traducir horizontalmente la gráfica de$$y=\sin x$$ para obtener$$y=\cos x$$.

3) Para la ecuación$$A \cos(Bx+C)+D$$,¿qué constantes afectan el rango de la función y cómo afectan al rango?

Responder

El valor absoluto de la constante$$A$$ (amplitud) aumenta el rango total y la constante$$D$$ (desplazamiento vertical) desplaza la gráfica verticalmente.

4) ¿Cómo se relaciona el rango de una función sinusoidal traducida con la ecuación?$$y=A \sin(Bx+C)+D$$?

5) ¿Cómo se puede utilizar el círculo unitario para construir la gráfica de$$f(t)=\sin t$$?

Responder

En el punto donde el lado terminal de$$t$$ intersecta el círculo unitario, se puede determinar que$$\sin t$$ es igual a la$$y$$ coordenada -del punto.

### Gráfica

Para los siguientes ejercicios, grafica dos periodos completos de cada función y establece la amplitud, el periodo y la línea media. Indicar los$$y$$ valores máximo y mínimo y sus correspondientes$$x$$ -valores en un periodo para$$x>0$$. Redondear las respuestas a dos decimales si es necesario.

6)$$f(x)=2\sin x$$

7)$$f(x)=\dfrac{2}{3}\cos x$$

Responder

amplitud:$$\dfrac{2}{3}$$;periodo:$$2\pi$$;línea media:$$y=0$$;máximo:$$y=\dfrac{2}{3}$$ ocurre en$$x=0$$;mínimo:$$y=-\dfrac{2}{3}$$ ocurre en$$x=\pi$$;por un periodo, la gráfica comienza en$$0$$ y termina en$$2\pi$$.

8)$$f(x)=-3\sin x$$

9)$$f(x)=4\sin x$$

Responder

amplitud:$$4$$; periodo:$$2\pi$$;línea media:$$y=0$$;máximo$$y=4$$ ocurre en$$x=\dfrac{\pi }{2}$$;mínimo:$$y=-4$$ ocurre en$$x=\dfrac{3\pi }{2}$$;un período completo ocurre de$$x=0$$ a$$x=2\pi$$

10)$$f(x)=2\cos x$$

11)$$f(x)=\cos (2x)$$

Responder

amplitud:$$1$$; periodo:$$\pi$$;línea media:$$y=0$$;máximo:$$y=1$$ ocurre en$$x=\pi$$;mínimo:$$y=-1$$ ocurre en$$x=\dfrac{\pi }{2}$$;un período completo se grafica de$$x=0$$ a$$x=\pi$$

12)$$f(x)=2 \sin \left(\dfrac{1}{2}x\right)$$

13)$$f(x)=4 \cos(\pi x)$$

Responder

amplitud:$$4$$; periodo:$$2$$; línea media:$$y=0$$;máximo:$$y=4$$ ocurre en$$x=0$$;mínimo:$$y=-4$$ ocurre en$$x=1$$

14)$$f(x)=3 \cos\left(\dfrac{6}{5}x\right)$$

15)$$y=3 \sin(8(x+4))+5$$

Responder

amplitud:$$3$$; periodo:$$\dfrac{\pi}{4}$$; línea media:$$y=5$$;
máximo:$$y=8$$ ocurre en$$x = -4+\frac{21\pi}{16} \approx 0.123$$;
mínimo:$$y=2$$ ocurre a$$x = -4+\frac{23\pi}{16} \approx 0.516$$; desplazamiento
horizontal:$$-4$$; traslación vertical$$5$$;
un periodo ocurre de$$x=-4+\frac{22\pi}{16} \approx 0.320$$ a$$x=-4+\frac{26\pi}{16} \approx 1.105$$

16)$$y=2 \sin(3x-21)+4$$

17)$$y=5 \sin(5x+20)-2$$

Responder

amplitud:$$5$$; periodo:$$\dfrac{2\pi }{5}$$; línea media:$$y=-2$$;
máximo:$$y=3$$ ocurre en$$x= -4+\frac{13\pi}{10} \approx 0.084$$;
mínimo:$$y=-7$$ ocurre en$$x=-4+\frac{15\pi}{10} \approx 0.712$$; desplazamiento de
fase:$$-4$$; traslación vertical:$$-2$$;
un periodo completo puede ser graficado$$x=-4+\frac{7\pi}{5} \approx 0.398$$ en$$x=-4+\frac{9\pi}{5} \approx 1.655$$

Para los siguientes ejercicios, grafica un periodo completo de cada función, comenzando en$$x=0$$.
Para cada función, indique la amplitud, el período y la línea media.
Indicar los$$y$$ valores máximo y mínimo y sus correspondientes$$x$$ -valores en un periodo para$$x>0$$.
Indicar el desplazamiento de fase y la traslación vertical, en su caso.
Redondear las respuestas a dos decimales si es necesario.

18)$$f(t)=2\sin \left(t-\dfrac{5\pi}{6} \right)$$

19)$$f(t)=-\cos \left(t+\dfrac{\pi}{3} \right)+1$$

Responder

amplitud:$$1$$; periodo:$$2\pi$$; línea media:$$y=1$$;
máximo:$$y=2$$ ocurre en$$t=\frac{2\pi}{3} \approx 2.094$$;
mínimo:$$y=0$$ ocurre a$$t=\frac{2\pi}{3} \approx5.24$$; desplazamiento de
fase:$$-\dfrac{\pi}{3}$$; traslación vertical:$$1$$;
un periodo completo es de$$t=\frac{2\pi}{3} \approx 2.094$$ a$$t=\frac{8\pi}{3} \approx 8.378$$

20)$$f(t)=4\cos \left(2\left (t+\dfrac{\pi}{4} \right ) \right)-3$$

21)$$f(t)=-\sin \left (\dfrac{1}{2}t+\dfrac{5\pi}{3} \right )$$

Responder

amplitud:$$1$$; periodo:$$4\pi$$; línea media:$$y=0$$;
máximo:$$y=1$$ ocurre en$$t=\frac{11\pi}{3} \approx 11.52$$;
mínimo:$$y=-1$$ ocurre a$$t=\frac{5\pi}{3} \approx 5.24$$; desplazamiento de
fase:$$-\dfrac{10\pi}{3}$$; desplazamiento vertical:$$0$$;
un periodo completo es de $$t=\frac{2\pi}{3} \approx 2.094$$a$$t=\frac{14\pi}{3} \approx 14.661$$

22)$$f(x)=4\sin \left (\dfrac{\pi}{2}(x-3) \right )+7$$

23) Determinar la amplitud, línea media, punto y una ecuación que involucra la función sinusoidal para la gráfica que se muestra en la Figura siguiente.

Responder

23. amplitud:$$2$$; línea media:$$y=-3$$ período:$$4$$; ecuación:$$f(x)=2\sin \left (\dfrac{\pi}{2}x \right )-3$$

24) Determinar la amplitud, línea media, punto y una ecuación que involucra la función coseno para la gráfica que se muestra en la Figura siguiente.

25) Determinar la amplitud, línea media, período y una ecuación que involucra la función coseno para la gráfica que se muestra en la Figura a continuación.

Responder

25. amplitud:$$2$$; periodo:$$5$$; línea media:$$y=3$$ ecuación:$$f(x)=-2\cos \left (\dfrac{2\pi}{5}x \right )+3$$

26) Determinar la amplitud, línea media, punto y una ecuación que involucre la función sinusoidal para la gráfica que se muestra en la Figura siguiente.

27) Determinar la amplitud, línea media, período y una ecuación que involucra la función coseno para la gráfica que se muestra en la Figura a continuación.

Responder

27. amplitud:$$4$$; periodo:$$2$$; línea media:$$y=0$$; ecuación:$$f(x)=-4\cos \left (\pi \left (x-\dfrac{\pi}{2} \right ) \right )$$

28) Determinar la amplitud, línea media, punto y una ecuación que involucra la función sinusoidal para la gráfica que se muestra en la Figura a continuación.

29) Determinar la amplitud, línea media, punto y una ecuación que involucra la función coseno para la gráfica que se muestra en la Figura siguiente.

Responder

29. amplitud:$$2$$; periodo:$$2$$;$$y=1$$ ecuación de línea media:$$f(x)=2\cos \left (\pi x \right )+1$$

30) Determinar la amplitud, línea media, punto y una ecuación que involucre la función sinusoidal para la gráfica que se muestra en la Figura siguiente.

### Algebraico

Para los siguientes ejercicios, vamos$$f(x)=\sin x$$.

31) En$$[0,2\pi )$$,resolver$$f(x)=0$$.

32) En$$[0,2\pi )$$, resolver$$f(x)=\dfrac{1}{2}$$.

Responder

$$\dfrac{\pi }{6}$$,$$\dfrac{5\pi }{6}$$

33) Evaluar$$f \left( \dfrac{\pi }{2} \right)$$.

34) En$$[0,2\pi)$$,$$f(x)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$. Encuentra todos los valores de$$x$$.

Responder

$$\dfrac{\pi }{4}$$,$$\dfrac{3\pi }{4}$$

35) En$$[0,2\pi )$$,el (los) valor (s) máximo (s) de la función ocurre (s) en qué$$x$$ -valor (s)?

36) En$$[0,2\pi )$$,el (los) valor (s) mínimo (s) de la función ocurre (s) en qué$$x$$ -valor (s)?

Responder

$$\dfrac{3\pi }{2}$$

37) Demostrar que$$f(-x) = -f(x)$$.Esto significa que$$f(x)=\sin x$$ es una función impar y posee simetría con respecto a ________________.

Para los siguientes ejercicios, vamos$$f(x)=\cos x$$

38) En$$[0,2\pi )$$,resolver la ecuación$$f(x)=\cos x=0$$

Responder

$$\dfrac{\pi }{2}$$,$$\dfrac{3\pi }{2}$$

39) En$$[0,2\pi )$$,resolver$$f(x)=\dfrac{1}{2}$$.

40) En$$[0,2\pi )$$,encontrar las$$x$$ -intercepciones de$$f(x)=\cos x$$.

Responder

$$\dfrac{\pi }{2}$$,$$\dfrac{3\pi }{2}$$

41) En$$[0,2\pi )$$,encontrar los$$x$$ -valores en los que la función tiene un valor máximo o mínimo.

42) En$$[0,2\pi )$$,resolver la ecuación$$f(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$.

Responder

$$\dfrac{\pi }{6}$$,$$\dfrac{11\pi }{6}$$

### Tecnología

43) Gráfica$$h(x)=x+\sin x$$ sobre$$[0,2\pi ]$$.Explique por qué la gráfica aparece como lo hace.

44) Gráfica$$h(x)=x+\sin x$$ sobre$$[-100,100]$$.¿Apareció la gráfica como se predijo en el ejercicio anterior?

Responder

La gráfica aparece lineal. Las funciones lineales dominan la forma de la gráfica para grandes valores de$$x$$.

45) Graficar$$f(x)=x\sin x$$$$[0,2\pi ]$$ y verbalizar cómo varía la gráfica de la gráfica de$$f(x)=x\sin x$$.

46) Gráfica$$f(x)=x\sin x$$ en la ventana$$[-10,10]$$ y explica lo que muestra la gráfica.

Responder

La gráfica es simétrica con respecto al$$y$$ eje -y no hay amplitud porque la función no es periódica.

47) Gráfica$$f(x)=\dfrac{\sin x}{x}$$ en la ventana$$[-5\pi , 5\pi ]$$ y explica lo que muestra la gráfica.

### Aplicaciones del mundo real

48) Una noria es de$$25$$ metros de diámetro y abordada desde una plataforma que se encuentra$$1$$ metros sobre el suelo. La posición de las seis en punto en la noria está nivelada con la plataforma de carga. La rueda completa la revolución$$1$$ completa en$$10$$ minutos. La función$$h(t)$$ da la altura de una persona en metros sobre el suelo$$t$$ minutos después de que la rueda comience a girar

1. Encuentra la amplitud, línea media, y periodo de$$h(t)$$.
2. Encuentra una fórmula para la función de altura$$h(t)$$.
3. ¿Qué tan alto del suelo está una persona después de$$5$$ minutos?
Responder
1. Amplitud:$$12.5$$; periodo:$$10$$; línea media:$$y=13.5$$
2. $$h(t)=12.5\sin\left ( \dfrac{\pi}{5}(t-2.5) \right )+13.5$$
3. $$26$$ft

## 6.2: Gráficas de las Otras Funciones Trigonométricas

Esta sección aborda la gráfica de las curvas tangente, cosecante, secante y cotangente.

### Verbal

1) Explicar cómo se puede utilizar la gráfica de la función sinusoidal para graficar$$y=\csc x$$.

Responder

Dado que$$y=\csc x$$ es la función recíproca de$$y=\sin x$$,se puede trazar el recíproco de las coordenadas en la gráfica de$$y=\sin x$$ obtener las$$y$$ coordenadas -de$$y=\csc x$$.Las$$x$$ -intercepciones de la gráfica$$y=\sin x$$ son las asíntotas verticales para la gráfica de$$y=\csc x$$.

2) ¿Cómo se$$y=\cos x$$ puede utilizar la gráfica de para construir la gráfica de$$y=\sec x$$?

3) Explicar por qué el periodo de$$y=\tan x$$ es igual a$$\pi$$.

Responder

Las respuestas variarán. Usando el círculo unitario, se puede mostrar eso$$y=\tan (x+\pi )=\tan x$$.

4) ¿Por qué no hay intercepciones en la gráfica de$$y=\csc x$$?

5) ¿Cómo se$$y=\csc x$$ compara el periodo de con el periodo de$$y=\sin x$$?

Responder

El periodo es el mismo:$$2\pi$$

### Algebraico

Para los ejercicios 6-9, haga coincidir cada función trigonométrica con una de las siguientes gráficas.

6)$$f(x)=\tan x$$

7)$$f(x)=\sec x$$

Responder

$$\mathrm{IV}$$

8)$$f(x)=\csc x$$

9)$$f(x)=\cot x$$

Responder

$$\mathrm{III}$$

Para los ejercicios 10-16, encuentra el periodo y el desplazamiento horizontal de cada una de las funciones.

10)$$f(x)=2\tan(4x-32)$$

11)$$h(x)=2\sec\left(\dfrac{\pi }{4}(x+1) \right)$$

Responder

periodo:$$8$$; desplazamiento horizontal:$$1$$ unidad a izquierda

12)$$m(x)=6\csc\left(\dfrac{\pi }{3}x+\pi \right)$$

13) Si$$\tan x=-1.5$$,encontrar$$\tan (-x)$$.

Responder

$$1.5$$

14) Si$$\sec x=2$$, encuentra$$\sec (-x)$$.

15) Si$$\csc x=-5$$, encuentra$$\csc (-x)$$.

Responder

$$5$$

16) Si$$x\sin x=2$$, encuentra$$(-x)\sin (-x)$$.

Para los ejercicios 17-18, reescribe cada expresión de tal manera que el argumento$$x$$ sea positivo.

17)$$\cot(-x)\cos(-x)+\sin(-x)$$

Contestar

$$-\cot x \cos x-\sin x$$

18)$$\cos(-x)+\tan(-x)\sin(-x)$$

### Gráfica

Para los ejercicios 19-36, esbozar dos periodos de la gráfica para cada una de las siguientes funciones. Identificar el factor de estiramiento, periodo y asíntotas.

19)$$f(x)=2\tan(4x-32)$$

Contestar

factor de estiramiento:$$2$$; periodo:$$\dfrac{\pi }{3}$$; asíntotas:$$x=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{\pi }{2}+\pi k \right)+8$$, donde$$k$$ es un entero

20)$$h(x)=2\sec\left(\dfrac{\pi }{4}(x+1) \right)$$

21)$$m(x)=6\csc\left(\dfrac{\pi }{3}x+\pi \right)$$

Contestar

factor de estiramiento:$$6$$; período:$$6$$; asíntotas:$$x=k$$, donde$$k$$ es un entero

22)$$j(x)=\tan \left ( \dfrac{\pi }{2}x \right )$$

23)$$p(x)=\tan \left ( x-\dfrac{\pi }{2} \right )$$

Contestar

factor de estiramiento:$$1$$; periodo:$$\pi$$; asíntotas:$$x=\pi k$$, donde$$k$$ es un entero

24)$$f(x)=4\tan (x)$$

25)$$f(x)=\tan \left ( x+\dfrac{\pi }{4} \right )$$

Contestar

Factor de estiramiento:$$1$$; periodo:$$\pi$$; asíntotas:$$x=\dfrac{\pi}{4}+\pi k$$, donde$$k$$ es un entero

26)$$f(x)=\pi \tan(\pi x- \pi)-\pi$$

27)$$f(x)=2\csc (x)$$

Contestar

factor de estiramiento:$$2$$; periodo:$$2\pi$$; asíntotas:$$x=\pi k$$, donde$$k$$ es un entero

28)$$f(x)=-\dfrac{1}{4}\csc(x)$$

29)$$f(x)=4\sec(3x)$$

Contestar

factor de estiramiento:$$4$$; periodo:$$\dfrac{2\pi }{3}$$; asíntotas:$$x=\dfrac{\pi }{6}k$$, donde$$k$$ es un entero impar

30)$$f(x)=-3\cot(2x)$$

31)$$f(x)=7\sec(5x)$$

Contestar

factor de estiramiento:$$7$$; periodo:$$\dfrac{2\pi }{5}$$; asíntotas:$$x=\dfrac{\pi }{10}k$$, donde$$k$$ es un entero impar

32)$$f(x)=\dfrac{9}{10}\csc(\pi x)$$

33)$$f(x)=2\csc \left(x+\dfrac{\pi }{4} \right)-1$$

Contestar

Factor de estiramiento:$$2$$; período:$$2\pi$$; asíntotas:$$x=-\dfrac{\pi}{4}+\pi k$$, donde$$k$$ es un entero

34)$$f(x)=-\sec \left(x-\dfrac{\pi }{3} \right)-2$$

35)$$f(x)=\dfrac{7}{5}\csc \left(x-\dfrac{\pi }{4} \right)$$

Contestar

Factor de estiramiento:$$\dfrac{7}{5}$$; período:$$2\pi$$; asíntotas:$$x=\dfrac{\pi}{4}+\pi k$$, donde$$k$$ es un entero

36)$$f(x)=5\left (\cot \left(x+\dfrac{\pi }{2} \right) -3 \right )$$

37) Una curva tangente,$$A=1$$,periodo de$$\dfrac{\pi }{3}$$;y desplazamiento de fase$$(h, k)=\left ( \dfrac{\pi }{4},2 \right )$$

Contestar

$$y=\tan\left(3\left(x-\dfrac{\pi}{4} \right) \right)+2$$

38) Una curva tangente$$A=-2$$, período de$$\dfrac{\pi }{4}$$; y desplazamiento de fase$$(h, k)=\left (- \dfrac{\pi }{4},-2 \right )$$

Para los ejercicios 39-45, encuentra una ecuación para la gráfica de cada función.

39)

Contestar

$$f(x)=\csc (2x)$$

40)

41)

Contestar

$$f(x)=\csc (4x)$$

42)

43)

Contestar

$$f(x)=2\csc x$$

44)

45)

Contestar

$$f(x)=\dfrac{1}{2}\tan (100\pi x)$$

### Tecnología

Para los ejercicios 46-53, utilice una calculadora gráfica para graficar dos periodos de la función dada. Nota: la mayoría de las calculadoras gráficas no tienen un botón cosecante; por lo tanto, necesitará ingresar$$\csc x$$ como$$\dfrac{1}{\sin x}$$

46)$$f(x)=| \csc (x) |$$

47)$$f(x)=| \cot (x) |$$

Contestar

48)$$f(x)=2^{\csc (x)}$$

49)$$f(x)=\frac{\csc (x)}{\sec (x)}$$

Contestar

50) Gráfica$$f(x)=1+\sec^2(x)-\tan^2(x)$$.¿Cuál es la función que se muestra en la gráfica?

51)$$f(x)=\sec(0.001x)$$

Contestar

52)$$f(x)=\cot(100 \pi x)$$

53)$$f(x)=\sin^2x +\cos^2x$$

Contestar

### Aplicaciones del mundo real

54) La función$$f(x)=20\tan\left(\dfrac{\pi }{10}x\right)$$ marca la distancia en el movimiento de un haz de luz desde un carro de policía a través de una pared por tiempo$$x$$,en segundos, y distancia$$f(x)$$,en pies.

1. Gráfica sobre el intervalo$$[0,5]$$
2. Encontrar e interpretar el factor de estiramiento, periodo y asíntota.
3. Evaluar$$f(10)$$$$f(2.5)$$ y discutir los valores de la función en esas entradas.

55) De pie en la orilla de un lago, un pescador mira un barco muy lejos a su izquierda. Vamos$$x$$,medido en radianes, sea el ángulo formado por la línea de visión hacia el buque y una línea que va hacia el norte desde su posición. Supongamos que el norte debido$$x$$ es$$0$$ y se mide negativo a la izquierda y positivo a la derecha. (Ver Figura abajo.) El barco viaja desde el oeste hacia el este y, ignorando la curvatura de la Tierra, la distancia$$d(x)$$,en kilómetros, desde el pescador hasta la embarcación viene dada por la función$$d(x)=1.5\sec(x)$$.

1. ¿Para qué es un dominio razonable$$d(x)$$?
2. Gráfica$$d(x)$$ sobre este dominio.
3. Encuentra y discute el significado de cualquier asíntota vertical en la gráfica de$$d(x)$$.
4. Calcular e interpretar$$d\left ( -\dfrac{\pi }{3} \right )$$.Redondear a la segunda posición decimal.
5. Calcular e interpretar$$d\left ( \dfrac{\pi }{6} \right )$$.Redondear a la segunda posición decimal.
6. ¿Cuál es la distancia mínima entre el pescador y el barco? ¿Cuándo ocurre esto?

Contestar
1. $$\left ( -\dfrac{\pi }{2},\dfrac{\pi }{2} \right )$$
2. $$x=-\dfrac{\pi }{2}$$y$$x=\dfrac{\pi }{2}$$;la distancia crece sin ataduras a medida que$$| x |$$ se acerca$$\dfrac{\pi }{2}$$ —es decir, en ángulo recto con la línea que representa hacia el norte, la embarcación estaría tan lejos, el pescador no la podía ver;
3. $$3$$; cuando$$x=-\dfrac{\pi }{3}$$,el barco está$$3$$ a km de distancia;
4. $$1.73$$; cuando$$x=\dfrac{\pi }{6}$$,el barco está$$1.73$$ a unos km de distancia;
5. $$1.5$$km; cuando$$x=0$$

56) Un telémetro láser está bloqueado en un cometa que se aproxima a la Tierra. La distancia$$g(x)$$,en kilómetros, del cometa después de$$x$$ días, pues$$x$$ en el intervalo$$0$$ a$$30$$ días, está dado por$$g(x)=250,000\csc \left(\dfrac{\pi }{30}x \right)$$.

1. Gráfica$$g(x)$$ sobre el intervalo$$[0,35]$$.
2. Evaluar$$g(5)$$ e interpretar la información.
3. ¿Cuál es la distancia mínima entre el cometa y la Tierra? ¿Cuándo ocurre esto? ¿A qué constante en la ecuación corresponde esto?
4. Encontrar y discutir el significado de cualquier asíntota vertical.

57) Una cámara de video se enfoca en un cohete en una plataforma de lanzamiento$$2$$ a millas de la cámara. El ángulo de elevación desde el suelo hasta el cohete después de$$x$$ segundos es$$\dfrac{\pi }{120}x$$.

1. Escribir una función que exprese la altitud$$h(x)$$,en millas, del cohete sobre el suelo después de$$x$$ segundos. Ignorar la curvatura de la Tierra.
2. Gráfica$$h(x)$$ sobre el intervalo$$(0,60)$$.
3. Evaluar e interpretar los valores$$h(0)$$ y$$h(30)$$.
4. ¿Qué pasa con los valores de$$h(x)$$ como se$$x$$ acerca a los$$60$$ segundos? Interpretar el significado de esto en términos del problema.

Contestar
1. $$h(x)=2\tan \left(\dfrac{\pi }{120}x \right)$$
2. $$h(0)=0$$:después de$$0$$ segundos, el cohete está$$0$$ mi sobre el suelo;$$h(30)=2$$:después de$$30$$ segundos, los cohetes están$$2$$ a mi altura;
3. A medida que$$x$$ se acerca a los$$60$$ segundos, los valores de$$h(x)$$ crecen cada vez más. La distancia al cohete es cada vez mayor que la cámara ya no puede rastrearlo.

## 6.3: Funciones trigonométricas inversas

En esta sección, exploraremos las funciones trigonométricas inversas. Las funciones trigonométricas inversas “deshacen” lo que “hace” la función trigonométrica original, como ocurre con cualquier otra función y su inversa. En otras palabras, el dominio de la función inversa es el rango de la función original, y viceversa.

### Verbal

1) ¿Por qué las funciones$$f(x)=\sin^{-1}x$$ y$$g(x)=\cos^{-1}x$$ tienen diferentes rangos?

Contestar

La función$$y=\sin x$$ es uno a uno en$$\left [ -\dfrac{\pi }{2},\dfrac{\pi }{2} \right ]$$;por lo tanto, este intervalo es el rango de la función inversa de$$y=\sin x$$,$$f(x)=\sin^{-1}x$$La función$$y=\cos x$$ es uno a uno en$$[0,\pi ]$$;por lo tanto, este intervalo es el rango de la función inversa de$$y=\cos x$$,$$f(x)=\cos^{-1}x$$

2) Dado que las funciones$$y=\cos x$$ y$$y=\cos^{-1}x$$ son funciones inversas, ¿por qué es$$\cos^{-1}\left (\cos \left (-\dfrac{\pi }{6} \right ) \right )$$no es igual a$$-\dfrac{\pi }{6}$$?

3) Explicar el significado de$$\dfrac{\pi }{6}=\arcsin (0.5)$$.

Contestar

$$\dfrac{\pi }{6}$$es la medida radianes de un ángulo entre$$-\dfrac{\pi }{2}$$ y$$\dfrac{\pi }{2}$$ cuyo seno es$$0.5$$.

4) La mayoría de las calculadoras no tienen una clave para evaluar$$\sec ^{-1}(2)$$.Explique cómo se puede hacer esto usando la función coseno o la función coseno inversa.

5) ¿Por qué debe funcionar el dominio del seno,$$\sin x$$,estar restringido a$$\left [ -\dfrac{\pi }{2},\dfrac{\pi }{2} \right ]$$ para que exista la función sinusoidal inversa?

Contestar

Para que cualquier función tenga un inverso, la función debe ser uno a uno y debe pasar la prueba de línea horizontal. La función sinusoidal regular no es uno a uno a menos que su dominio esté restringido de alguna manera. Los matemáticos han acordado restringir la función sinusoidal al intervalo para$$\left [ -\dfrac{\pi }{2},\dfrac{\pi }{2} \right ]$$ que sea uno a uno y posea una inversa.

6) Discutir por qué esta afirmación es incorrecta:$$\arccos(\cos x)=x$$ para todos$$x$$.

7) Determina si la siguiente afirmación es verdadera o falsa y explica tu respuesta:$$\arccos(-x)=\pi - \arccos x$$

Contestar

Cierto. El ángulo,$$\theta _1$$ que es igual$$\arccos(-x)$$,$$x>0$$, será un segundo ángulo cuadrante con ángulo de referencia,$$\theta _2$$, donde$$\theta _2$$ es igual$$\arccos x$$,$$x>0$$. Dado que$$\theta _2$$ es el ángulo de referencia para$$\theta _1$$,$$\theta _2=\pi - \theta _1$$ y$$\arccos(-x)=\pi - \arccos x-$$

### Algebraico

Para los ejercicios 8-16, evaluar las expresiones.

8)$$\sin^{-1}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$$

9)$$\sin^{-1}\left(-\dfrac{1}{2}\right)$$

Contestar

$$-\dfrac{\pi }{6}$$

10)$$\cos^{-1}\left(-\dfrac{1}{2}\right)$$

11)$$\cos^{-1}\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$$

Contestar

$$\dfrac{3\pi }{4}$$

12)$$\tan^{-1}(1)$$

13)$$\tan^{-1}(-\sqrt{3})$$

Contestar

$$-\dfrac{\pi }{3}$$

14)$$\tan^{-1}(-1)$$

15)$$\tan^{-1}(\sqrt{3})$$

Contestar

$$\dfrac{\pi }{3}$$

16)$$\tan^{-1}\left(\dfrac{-1}{\sqrt{3}}\right)$$

Para los ejercicios 17-21, utilice una calculadora para evaluar cada expresión. Expresar respuestas a la centésima más cercana.

17)$$\cos^{-1}(-0.4)$$

Contestar

$$1.98$$

18)$$\arcsin (0.23)$$

19)$$\arccos \left(\dfrac{3}{5}\right)$$

Contestar

$$0.93$$

20)$$\cos^{-1}(-0.8)$$

21)$$\tan^{-1}(6)$$

Contestar

$$1.41$$

Para los ejercicios 22-23, encuentra el ángulo$$\theta$$ en el triángulo rectángulo dado. Respuestas redondas a la centésima más cercana.

22)

23)

Contestar

$$0.56$$radianes

Para los ejercicios 24-36, encuentra el valor exacto, si es posible, sin calculadora. Si no es posible, explique por qué.

24)$$\sin^{-1}(\cos(\pi))$$

25)$$\tan^{-1}(\sin(\pi))$$

Contestar

$$0$$

26)$$\cos^{-1}\left(\sin \left(\dfrac{\pi}{3} \right)\right)$$

27)$$\tan^{-1}\left(\sin \left(\dfrac{\pi}{3} \right)\right)$$

Contestar

$$0.71$$

28)$$\sin^{-1}\left(\cos \left(\dfrac{-\pi}{2} \right)\right)$$

29)$$\tan^{-1}\left(\sin \left(\dfrac{4\pi}{3} \right)\right)$$

Contestar

$$-0.71$$

30)$$\sin^{-1}\left(\sin \left(\dfrac{5\pi}{6} \right)\right)$$

31)$$\tan^{-1}\left(\sin \left(\dfrac{-5\pi}{2} \right)\right)$$

Contestar

$$-\dfrac{\pi}{4}$$

32)$$\cos \left(\sin^{-1} \left(\dfrac{4}{5} \right)\right)$$

33)$$\sin \left(\cos^{-1} \left(\dfrac{3}{5} \right)\right)$$

Contestar

$$0.8$$

34)$$\sin \left(\tan^{-1} \left(\dfrac{4}{3} \right)\right)$$

35)$$\cos \left(\tan^{-1} \left(\dfrac{12}{5} \right)\right)$$

Contestar

$$\dfrac{5}{13}$$

36)$$\cos \left(\sin^{-1} \left(\dfrac{1}{2} \right)\right)$$

Para los ejercicios 37-41, encuentra el valor exacto de la expresión en términos de$$x$$ con la ayuda de un triángulo de referencia.

37)$$\tan \left(\sin^{-1} (x-1)\right)$$

Contestar

$$\dfrac{x-1}{\sqrt{-x^2+2x}}$$

38)$$\sin \left(\sin^{-1} (1-x)\right)$$

39)$$\cos \left(\sin^{-1} \left(\dfrac{1}{x}\right)\right)$$

Contestar

$$\dfrac{\sqrt{x^2-1}}{x}$$

40)$$\cos \left(\tan^{-1} (3x-1)\right)$$

41)$$\tan \left(\sin^{-1} \left(x+\dfrac{1}{2}\right)\right)$$

Contestar

$$\dfrac{x+0.5}{\sqrt{-x^2-x+\tfrac{3}{4}}}$$

### Extensiones

Para el ejercicio 42, evaluar la expresión sin usar calculadora. Dar el valor exacto.

2)$$\dfrac{\sin^{-1}\left ( \tfrac{1}{2} \right )-\cos^{-1}\left ( \tfrac{\sqrt{2}}{2} \right )+\sin^{-1}\left ( \tfrac{\sqrt{3}}{2} \right )-\cos^{-1}(1)}{\cos^{-1}\left ( \tfrac{\sqrt{3}}{2} \right )-\sin^{-1}\left ( \tfrac{\sqrt{2}}{2} \right )+\cos^{-1}\left ( \tfrac{1}{2} \right )-\sin^{-1}(0)}$$

Para los ejercicios 43-47, encuentra la función si $$\sin t = \dfrac{x}{x+1}$$

43)$$\cos t$$

Contestar

$$\dfrac{\sqrt{2x+1}}{x+1}$$

44)$$\sec t$$

45)$$\cot t$$

Contestar

$$\dfrac{\sqrt{2x+1}}{x}$$

46)$$\cos \left(\sin^{-1} \left(\dfrac{x}{x+1}\right)\right)$$

47)$$\tan^{-1} \left(\dfrac{x}{\sqrt{2x+1}}\right)$$

Contestar

$$t$$

### Gráfica

48) Graficar$$y=\sin^{-1} x$$ y declarar el dominio y rango de la función.

49) Gráfica$$y=\arccos x$$y declarar el dominio y el rango de la función.

Contestar

dominio$$[-1,1]$$;gama$$[0,\pi ]$$

50) Graficar un ciclo$$y=\tan^{-1} x$$ y declarar el dominio y rango de la función.

51) ¿Por qué valor de$$x$$ hace$$\sin x=\sin^{-1} x$$? Utilice una calculadora gráfica para aproximar la respuesta.

Contestar

aproximadamente$$x=0.00$$

52) ¿Por qué valor de$$x$$ hace$$\cos x=\cos^{-1} x$$? Utilice una calculadora gráfica para aproximar la respuesta.

### Aplicaciones del mundo real

53) Supongamos que una escalera de$$13$$ pie está apoyada contra un edificio, llegando al fondo de una ventana$$12$$ de segundo piso por encima del suelo. ¿Qué ángulo, en radianes, hace la escalera con el edificio?

Contestar

$$0.395$$radianes

54) Supongamos que conduce$$0.6$$ millas en una carretera para que la distancia vertical cambie de$$0$$ a$$150$$ pies. ¿Cuál es el ángulo de elevación de la carretera?

55) Un triángulo isósceles tiene dos lados congruentes de$$9$$ pulgadas de largo. El lado restante tiene una longitud de$$8$$ pulgadas. Encuentra el ángulo que hace un lado de$$9$$ pulgadas con el lado$$8$$ -inch.

Contestar

$$1.11$$radianes

56) Sin usar una calculadora, aproximar el valor de$$\arctan (10,000)$$.Explica por qué tu respuesta es razonable.

57) Un truss para el techo de una casa se construye a partir de dos triángulos rectos idénticos. Cada uno tiene una base de$$12$$ pies y altura de$$4$$ pies. Encuentra la medida del ángulo agudo adyacente al lado$$4$$ -pie.

Contestar

$$1.25$$radianes

58) La línea$$y=\dfrac{3}{5}x$$ pasa por el origen en el$$x,y$$ plano. ¿Cuál es la medida del ángulo que hace la línea con el$$x$$ eje positivo?

59) La línea$$y=\dfrac{-3}{7}x$$ pasa por el origen en el$$x,y$$ plano. ¿Cuál es la medida del ángulo que hace la línea con el$$x$$ eje negativo?

Contestar

$$0.405$$radianes

60) ¿Qué grado porcentual debe tener una carretera si el ángulo de elevación de la carretera es de$$4$$ grados? (El grado porcentual se define como el cambio en la altitud de la carretera sobre una distancia horizontal de$$100$$ -pie. Por ejemplo, una$$5\%$$ pendiente significa que la carretera se eleva$$5$$ pies por cada$$100$$ pie de distancia horizontal.)

61) Una escalera$$20$$ de pie se apoya contra el costado de un edificio para que el pie de la escalera quede a$$10$$ pies de la base del edificio. Si las especificaciones exigen que el ángulo de elevación de la escalera esté entre$$35$$ y$$45$$ grados, ¿la colocación de esta escalera satisface las especificaciones de seguridad?

Contestar

No. El ángulo que hace la escalera con la horizontal es$$60$$ grados.

62) Supongamos que una escalera de$$15$$ pie se apoya contra el costado de una casa para que el ángulo de elevación de la escalera sea de$$42$$ grados. ¿A qué distancia está el pie de la escalera del costado de la casa?