6.E: Funciones Periódicas (Ejercicios)

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6.1: Gráficas de las funciones de seno y coseno

En el capítulo sobre Funciones trigonométricas, examinamos funciones trigonométricas como la función sinusoidal. En esta sección, interpretaremos y crearemos gráficas de funciones sinusoidales y cosenales

Verbal

1) ¿Por qué las funciones seno y coseno se denominan funciones periódicas?

Responder: Las funciones seno y coseno tienen la propiedad que$f(x+P)=f(x)$ por cierto$P$. Esto significa que los valores de la función se repiten para cada$P$ unidad en el$x$ eje.

2) ¿Cómo se$y=\sin x$ compara la gráfica con la gráfica de$y=\cos x$? Explica cómo podrías traducir horizontalmente la gráfica de$y=\sin x$ para obtener$y=\cos x$.

3) Para la ecuación$A \cos(Bx+C)+D$,¿qué constantes afectan el rango de la función y cómo afectan al rango?

Responder: El valor absoluto de la constante$A$ (amplitud) aumenta el rango total y la constante$D$ (desplazamiento vertical) desplaza la gráfica verticalmente.

4) ¿Cómo se relaciona el rango de una función sinusoidal traducida con la ecuación?$y=A \sin(Bx+C)+D$?

5) ¿Cómo se puede utilizar el círculo unitario para construir la gráfica de$f(t)=\sin t$?

Responder: En el punto donde el lado terminal de$t$ intersecta el círculo unitario, se puede determinar que$\sin t$ es igual a la$y$ coordenada -del punto.

Gráfica

Para los siguientes ejercicios, grafica dos periodos completos de cada función y establece la amplitud, el periodo y la línea media. Indicar los$y$ valores máximo y mínimo y sus correspondientes$x$ -valores en un periodo para$x>0$. Redondear las respuestas a dos decimales si es necesario.

6)$f(x)=2\sin x$

7)$f(x)=\dfrac{2}{3}\cos x$

Responder

$Ex 6.1.7.png$

amplitud:$\dfrac{2}{3}$; periodo:$2\pi $; línea media:$y=0$; máximo:$y=\dfrac{2}{3}$ ocurre en$x=0$; mínimo:$y=-\dfrac{2}{3}$ ocurre en$x=\pi $; por un periodo, la gráfica comienza en$0$ y termina en$2\pi $.

8)$f(x)=-3\sin x$

9)$f(x)=4\sin x$

Responder

$Ex 6.1.9.png$

amplitud:$4$; periodo:$2\pi $; línea media:$y=0$; máximo$y=4$ ocurre en$x=\dfrac{\pi }{2}$; mínimo:$y=-4$ ocurre en$x=\dfrac{3\pi }{2}$; un período completo ocurre de$x=0$ a$x=2\pi$

10)$f(x)=2\cos x$

11)$f(x)=\cos (2x)$

Responder

$Ex 6.1.11.png$

amplitud:$1$; periodo:$\pi$; línea media:$y=0$; máximo:$y=1$ ocurre en$x=\pi $; mínimo:$y=-1$ ocurre en$x=\dfrac{\pi }{2}$; un período completo se grafica de$x=0$ a$x=\pi$

12)$f(x)=2 \sin \left(\dfrac{1}{2}x\right)$

13)$f(x)=4 \cos(\pi x)$

Responder

$Ex 6.1.13.png$

amplitud:$4$; periodo:$2$; línea media:$y=0$; máximo:$y=4$ ocurre en$x=0$; mínimo:$y=-4$ ocurre en$x=1$

14)$f(x)=3 \cos\left(\dfrac{6}{5}x\right)$

15)$y=3 \sin(8(x+4))+5$

Responder

$CNX_Precalc_Figure_06_01_210.jpg$

amplitud:$3$; periodo:$\dfrac{\pi}{4}$; línea media:$y=5$;
máximo:$y=8$ ocurre en$x = -4+\frac{21\pi}{16} \approx 0.123$;
mínimo:$y=2$ ocurre a$x = -4+\frac{23\pi}{16} \approx 0.516$; desplazamiento
horizontal:$-4$; traslación vertical$5$;
un periodo ocurre de$x=-4+\frac{22\pi}{16} \approx 0.320$ a$x=-4+\frac{26\pi}{16} \approx 1.105 $

16)$y=2 \sin(3x-21)+4$

17)$y=5 \sin(5x+20)-2$

Responder

$CNX_Precalc_Figure_06_01_212.jpg$

amplitud:$5$; periodo:$\dfrac{2\pi }{5}$; línea media:$y=-2$;
máximo:$y=3$ ocurre en$x= -4+\frac{13\pi}{10} \approx 0.084$;
mínimo:$y=-7$ ocurre en$x=-4+\frac{15\pi}{10} \approx 0.712$; desplazamiento de
fase:$-4$; traslación vertical:$-2$;
un periodo completo puede ser graficado$x=-4+\frac{7\pi}{5} \approx 0.398$ en$x=-4+\frac{9\pi}{5} \approx 1.655 $

Para los siguientes ejercicios, grafica un periodo completo de cada función, comenzando en$x=0$.
Para cada función, indique la amplitud, el período y la línea media.
Indicar los$y$ valores máximo y mínimo y sus correspondientes$x$ -valores en un periodo para$x>0$.
Indicar el desplazamiento de fase y la traslación vertical, en su caso.
Redondear las respuestas a dos decimales si es necesario.

18)$f(t)=2\sin \left(t-\dfrac{5\pi}{6} \right)$

19)$f(t)=-\cos \left(t+\dfrac{\pi}{3} \right)+1$

Responder

$CNX_Precalc_Figure_06_01_214.jpg$

amplitud:$1$; periodo:$2\pi $; línea media:$y=1$;
máximo:$y=2$ ocurre en$t=\frac{2\pi}{3} \approx 2.094$;
mínimo:$y=0$ ocurre a$t=\frac{2\pi}{3} \approx5.24$; desplazamiento de
fase:$-\dfrac{\pi}{3}$; traslación vertical:$1$;
un periodo completo es de$t=\frac{2\pi}{3} \approx 2.094$ a$t=\frac{8\pi}{3} \approx 8.378 $

20)$f(t)=4\cos \left(2\left (t+\dfrac{\pi}{4} \right ) \right)-3$

21)$f(t)=-\sin \left (\dfrac{1}{2}t+\dfrac{5\pi}{3} \right )$

Responder: $CNX_Precalc_Figure_06_01_216.jpg$

amplitud:$1$; periodo:$4\pi$; línea media:$y=0$;
máximo:$y=1$ ocurre en$t=\frac{11\pi}{3} \approx 11.52$;
mínimo:$y=-1$ ocurre a$t=\frac{5\pi}{3} \approx 5.24$; desplazamiento de
fase:$-\dfrac{10\pi}{3}$; desplazamiento vertical:$0$;
un periodo completo es de $t=\frac{2\pi}{3} \approx 2.094$a$t=\frac{14\pi}{3} \approx 14.661 $

22)$f(x)=4\sin \left (\dfrac{\pi}{2}(x-3) \right )+7$

23) Determinar la amplitud, línea media, punto y una ecuación que involucra la función sinusoidal para la gráfica que se muestra en la Figura siguiente.

Responder: 23. amplitud:$2$; línea media:$y=-3$ período:$4$; ecuación:$f(x)=2\sin \left (\dfrac{\pi}{2}x \right )-3$

24) Determinar la amplitud, línea media, punto y una ecuación que involucra la función coseno para la gráfica que se muestra en la Figura siguiente.

25) Determinar la amplitud, línea media, período y una ecuación que involucra la función coseno para la gráfica que se muestra en la Figura a continuación.

Responder: 25. amplitud:$2$; periodo:$5$; línea media:$y=3$ ecuación:$f(x)=-2\cos \left (\dfrac{2\pi}{5}x \right )+3$

26) Determinar la amplitud, línea media, punto y una ecuación que involucre la función sinusoidal para la gráfica que se muestra en la Figura siguiente.

27) Determinar la amplitud, línea media, período y una ecuación que involucra la función coseno para la gráfica que se muestra en la Figura a continuación.

abramson 6.1 ejercicios #27 .png — Figura$\PageIndex{27}$

Responder: 27. amplitud:$4$; periodo:$2$; línea media:$y=0$; ecuación:$f(x)=-4\cos \left (\pi \left (x-\dfrac{\pi}{2} \right ) \right )$

28) Determinar la amplitud, línea media, punto y una ecuación que involucra la función sinusoidal para la gráfica que se muestra en la Figura a continuación.

29) Determinar la amplitud, línea media, punto y una ecuación que involucra la función coseno para la gráfica que se muestra en la Figura siguiente.

Responder: 29. amplitud:$2$; periodo:$2$;$y=1$ ecuación de línea media:$f(x)=2\cos \left (\pi x \right )+1$

30) Determinar la amplitud, línea media, punto y una ecuación que involucre la función sinusoidal para la gráfica que se muestra en la Figura siguiente.

abramson 6.1 ejercicios #30 .png — Figura$\PageIndex{30}$

Algebraico

Para los siguientes ejercicios, vamos$f(x)=\sin x $.

31) En$[0,2\pi )$,resolver$f(x)=0$.

32) En$[0,2\pi )$, resolver$f(x)=\dfrac{1}{2}$.

Responder: $\dfrac{\pi }{6}$,$\dfrac{5\pi }{6}$

33) Evaluar$f \left( \dfrac{\pi }{2} \right) $.

34) En$[0,2\pi)$,$f(x)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Encuentra todos los valores de$x$.

Responder: $\dfrac{\pi }{4}$,$\dfrac{3\pi }{4}$

35) En$[0,2\pi )$,el (los) valor (s) máximo (s) de la función ocurre (s) en qué$x$ -valor (s)?

36) En$[0,2\pi )$,el (los) valor (s) mínimo (s) de la función ocurre (s) en qué$x$ -valor (s)?

Responder: $\dfrac{3\pi }{2}$

37) Demostrar que$f(-x) = -f(x)$. Esto significa que$f(x)=\sin x$ es una función impar y posee simetría con respecto a ________________.

Para los siguientes ejercicios, vamos$f(x)=\cos x$

38) En$[0,2\pi )$,resolver la ecuación$f(x)=\cos x=0$

Responder: $\dfrac{\pi }{2}$,$\dfrac{3\pi }{2}$

39) En$[0,2\pi )$,resolver$f(x)=\dfrac{1}{2}$.

40) En$[0,2\pi )$,encontrar las$x$ -intercepciones de$f(x)=\cos x$.

Responder: $\dfrac{\pi }{2}$,$\dfrac{3\pi }{2}$

41) En$[0,2\pi )$,encontrar los$x$ -valores en los que la función tiene un valor máximo o mínimo.

42) En$[0,2\pi )$,resolver la ecuación$f(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Responder: $\dfrac{\pi }{6}$,$\dfrac{11\pi }{6}$

Tecnología

43) Gráfica$h(x)=x+\sin x$ sobre$[0,2\pi ]$. Explique por qué la gráfica aparece como lo hace.

44) Gráfica$h(x)=x+\sin x$ sobre$[-100,100]$. ¿Apareció la gráfica como se predijo en el ejercicio anterior?

Responder: La gráfica aparece lineal. Las funciones lineales dominan la forma de la gráfica para grandes valores de$x$.

$CNX_Precalc_Figure_06_01_227.jpg$

45) Graficar$f(x)=x\sin x$$[0,2\pi ]$ y verbalizar cómo varía la gráfica de la gráfica de$f(x)=x\sin x$.

46) Gráfica$f(x)=x\sin x$ en la ventana$[-10,10]$ y explica lo que muestra la gráfica.

Responder: La gráfica es simétrica con respecto al$y$ eje -y no hay amplitud porque la función no es periódica.

$CNX_Precalc_Figure_06_01_229.jpg$

47) Gráfica$f(x)=\dfrac{\sin x}{x}$ en la ventana$[-5\pi , 5\pi ]$ y explica lo que muestra la gráfica.

Aplicaciones del mundo real

48) Una noria es de$25$ metros de diámetro y abordada desde una plataforma que se encuentra$1$ metros sobre el suelo. La posición de las seis en punto en la noria está nivelada con la plataforma de carga. La rueda completa la revolución$1$ completa en$10$ minutos. La función$h(t)$ da la altura de una persona en metros sobre el suelo$t$ minutos después de que la rueda comience a girar

Encuentra la amplitud, línea media, y periodo de$h(t)$.
Encuentra una fórmula para la función de altura$h(t)$.
¿Qué tan alto del suelo está una persona después de$5$ minutos?

Responder

Amplitud:$12.5$; periodo:$10$; línea media:$y=13.5$
$h(t)=12.5\sin\left ( \dfrac{\pi}{5}(t-2.5) \right )+13.5$
$26$ft