6.R: Funciones Periódicas (Revisión)
- Page ID
- 121306
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)6.1: Gráficas de las funciones de seno y coseno
Para los ejercicios 1-8, grafica las funciones durante dos periodos y determina el factor de amplitud o estiramiento, el periodo, la ecuación de la línea media y las asíntotas.
1)\(f(x)=-3\cos x+3\)
- Contestar
-
amplitud:\(3\); periodo:\(2\pi \); línea media:\(y=3\)
sin asíntotas;
2)\(f(x)=\dfrac{1}{4}\sin x\)
3)\(f(x)=3\cos\left ( x+\dfrac{\pi }{6} \right )\)
- Contestar
-
amplitud:\(3\); periodo:\(2\pi \); línea media:\(y=0\); sin asíntotas
4)\(f(x)=-2\sin\left ( x-\dfrac{2\pi }{3} \right )\)
5)\(f(x)=3\sin\left ( x-\dfrac{\pi }{4} \right )-4\)
- Contestar
-
amplitud:\(3\); periodo:\(2\pi \); línea media:\(y=-4\); sin asíntotas
6)\(f(x)=2\left (\cos\left ( x-\dfrac{4\pi }{3} \right )+1 \right )\)
7)\(f(x)=6\sin\left ( 3x-\dfrac{\pi }{6} \right )-1\)
- Contestar
-
amplitud:\(6\); periodo:\(dfrac{2\pi }{3}\); línea media:\(y=-1\); sin asíntotas
8)\(f(x)=-100\sin(50x-20)\)
6.2: Gráficas de las Otras Funciones Trigonométricas
Para los ejercicios 1-4, grafica las funciones durante dos periodos y determina el factor de amplitud o estiramiento, el periodo, la ecuación de la línea media y las asíntotas.
1)\(f(x)=\tan x-4\)
- Contestar
-
factor de estiramiento: ninguno; periodo:\(\pi \)
línea media:\(y=-4\); asíntotas:\(x=\dfrac{\pi }{2}+\pi k\), donde\(k\) es un entero;
2)\(f(x)=2\tan \left ( x-\dfrac{\pi }{6} \right )\)
3)\(f(x)=-3\tan (4x)-2\)
- Contestar
-
factor de estiramiento:\(3\); período:\(\dfrac{\pi }{4}\); línea media:\(y=-2\); asíntotas:\(x=\dfrac{\pi }{8}+\dfrac{\pi }{4}k\), donde\(k\) es un entero
4)\(f(x)=0.2\cos(0.1x)+0.3\)
Para los ejercicios 5-10, grafica dos periodos completos. Identificar el periodo, el desplazamiento de fase, la amplitud y las asíntotas.
5)\(f(x)=\dfrac{1}{3}\sec x\)
- Contestar
-
amplitud: ninguno; periodo:\(2\pi \); sin desplazamiento de fase; asíntotas:\(x=\dfrac{\pi }{2}k\), donde\(k\) es un entero
6)\(f(x)=3\cot x\)
7)\(f(x)=4\csc (5x)\)
- Contestar
-
amplitud: ninguno; periodo:\(\dfrac{2\pi }{5}\); sin desplazamiento de fase; asíntotas:\(x=\dfrac{\pi }{5}k\), donde\(k\) es un entero
8)\(f(x)=8\sec \left (\dfrac{1}{4}x \right )\)
9)\(f(x)=\dfrac{2}{3}\csc \left (\dfrac{1}{2}x \right )\)
- Contestar
-
amplitud: ninguno; periodo:\(4\pi \); sin desplazamiento de fase; asíntotas:\(x=2\pi k\), donde\(k\) es un entero
10)\(f(x)=-\csc (2x+\pi)\)
Para los ejercicios 11-15, utilice este escenario: La población de una ciudad ha subido y bajado en un intervalo de\(20\) -año. Su población puede ser modelada por la siguiente función:\(y=12,000+8,000\sin(0.628x)\), donde el dominio es los años desde 1980 y el rango es la población de la ciudad.
11) ¿Cuál es la población más grande y más pequeña que pueda tener la ciudad?
- Contestar
-
mayor:\(20,000\); más pequeño:\(4,000\)
12) Graficar la función en el dominio de\([0,40]\).
13) ¿Cuáles son la amplitud, el periodo y el desplazamiento de fase para la función?
- Contestar
-
amplitud:\(8,000\); periodo:\(10\); desplazamiento de fase:\(0\)
14) Sobre este dominio, ¿cuándo llega la población\(18,000\)? \(13,000\)?
15) ¿Cuál es la población pronosticada en 2007? ¿2010?
- Contestar
-
En 2007, la población pronosticada es\(4,413\). En 2010, la población será\(11,924\).
Para los ejercicios 16a-16d, supongamos que se une un peso a un resorte y se desplaza hacia arriba y hacia abajo, exhibiendo simetría.
16) Supongamos que la gráfica de la función de desplazamiento se muestra en la Figura siguiente, donde los valores en el\(x\) eje -representan el tiempo en segundos y el\(y\) eje -representa el desplazamiento en pulgadas.
- Dar la ecuación que modela el desplazamiento vertical del peso en el muelle.
- En\(\text{time} = 0\), ¿cuál es el desplazamiento del peso?
- Contestar
-
\(5\)en.
- ¿En qué momento el desplazamiento desde el punto de equilibrio es igual a cero?
- ¿Cuál es el tiempo requerido para que el peso vuelva a su altura inicial de\(5\) pulgadas? Es decir, ¿cuál es el periodo para la función de desplazamiento?
- Contestar
-
\(10\)segundos
6.3: Funciones trigonométricas inversas
Para los ejercicios 1-11, encuentra el valor exacto sin la ayuda de una calculadora.
1)\(\sin ^{-1}(1)\)
2)\(\cos ^{-1}\left ( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right )\)
- Contestar
-
\(\dfrac{\pi }{6}\)
3)\(\tan ^{-1}(-1)\)
4)\(\cos ^{-1}\left ( \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right )\)
- Contestar
-
\(\dfrac{\pi }{4}\)
5)\(\sin ^{-1}\left ( \dfrac{-\sqrt{3}}{2} \right )\)
6)\(\sin ^{-1}\left (\cos \left (\dfrac{\pi }{6} \right ) \right )\)
- Contestar
-
\(\dfrac{\pi }{3}\)
7)\(\cos ^{-1}\left (\tan \left (\dfrac{3\pi }{4} \right ) \right )\)
8)\(\sin \left (\sec^{-1} \left (\dfrac{3}{5} \right ) \right )\)
- Contestar
-
Sin solución
9)\(\cot \left (\sin^{-1} \left (\dfrac{3}{5} \right ) \right )\)
10)\(\tan \left (\cos^{-1} \left (\dfrac{5}{13} \right ) \right )\)
- Contestar
-
\(\dfrac{12}{5}\)
11)\(\sin \left (\cos^{-1} \left (\dfrac{x}{x+1} \right ) \right )\)
12) Gráfica\(f(x)=\cos x\) y\(f(x)=\sec x\) sobre el intervalo\([0,2\pi )\) y explica cualquier observación.
- Contestar
-
Las gráficas no son simétricas con respecto a la línea\(y=x\).
Son simétricos con respecto al\(y\) eje.
13) Graficar\(f(x)=\sin x\)\(f(x)=\csc x\) y explicar cualquier observación.
14) Graficar la función\(f(x)=\dfrac{x}{1}-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}\) en el intervalo\([-1,1]\) y comparar la gráfica con la gráfica de\(f(x)=\sin x\) en el mismo intervalo. Describir cualquier observación.
- Contestar
-
Las gráficas parecen ser idénticas.
Prueba de práctica
Para los ejercicios 1-13, bosquejar la gráfica de cada función durante dos periodos completos. Determinar la amplitud, el periodo y la ecuación para la línea media.
1)\(f(x)=0.5\sin x\)
- Contestar
-
amplitud:\(0.5\); periodo:\(2\pi \)
línea media\(y=0\); " role="presentation" style="background-color:transparent;border-bottom-color:rgb(85, 85, 85);border-bottom-style:none;border-bottom-width:0px;border-image-outset:0;border-image-repeat:stretch;border-image-slice:100%;border-image-source:none;border-image-width:1;border-left-color:rgb(85, 85, 85);border-left-style:none;border-left-width:0px;border-right-color:rgb(85, 85, 85);border-right-style:none;border-right-width:0px;border-top-color:rgb(85, 85, 85);border-top-style:none;border-top-width:0px;box-sizing:border-box;direction:ltr;display:inline;float:none;font-family:Helvetica Neue,Helvetica,Arial,sans-serif;font-size-adjust:none;font-style:normal;font-variant:normal;font-weight:400;letter-spacing:normal;line-height:normal;margin-bottom:0px;margin-left:0px;margin-right:0px;margin-top:0px;max-height:none;max-width:none;min-height:0px;min-width:0px;orphans:2;padding-bottom:0px;padding-left:0px;padding-right:0px;padding-top:0px;position:relative;text-align:left;text-decoration:none;text-indent:0px;text-transform:none;-webkit-text-stroke-width:0px;white-space:nowrap;word-spacing:0px;word-wrap:normal;" tabindex="0">y = 0  y = 0   y = 0 y = 0 y = 0
2)\(f(x)=5\cos x\)
3)\(f(x)=5\sin x\)
- Contestar
-
amplitud:\(0.5\); periodo:\(2\pi \); línea media\(y=0\)
4)\(f(x)=\sin (3x)\)
5)\(f(x)=-\cos \left ( x+\dfrac{\pi }{3} \right )+1\)
- Contestar
-
amplitud:\(1\); periodo:\(2\pi \); línea media\(y=1\)
6)\(f(x)=5\sin \left (3\left ( x-\dfrac{\pi }{6} \right ) \right )+4\)
7)\(f(x)=3\cos \left ( \dfrac{1}{3}x-\dfrac{5\pi }{6} \right )\)
- Contestar
-
amplitud:\(3\); periodo:\(6\pi \); línea media\(y=0\)
8)\(f(x)=\tan (4x)\)
9)\(f(x)=-2\tan \left ( x-\dfrac{7\pi }{6} \right )+2\)
- Contestar
-
amplitud: ninguna; periodo:\(\pi \); línea media\(y=0\), asíntotas:\(x=\dfrac{2\pi }{3}+\pi k\)
donde\(k\) es un entero,
10)\(f(x)=\pi \cos(3x+\pi)\)
11)\(f(x)=5\csc(3x)\)
- Contestar
-
amplitud: ninguna; periodo:\(\dfrac{2\pi }{3}\); línea media\(y=0\), asíntotas:\(x=\dfrac{\pi }{3}k\)
donde\(k\) es un entero,
12)\(f(x)=\pi \sec \left ( \dfrac{\pi }{2}x \right )\)
13)\(f(x)=2\csc \left ( x+\dfrac{\pi }{4} \right )-3\)
- Contestar
-
amplitud: ninguna; periodo:\(2\pi \); línea media\(y=-3\)
Para los ejercicios 14-16, determine la amplitud, el punto y la línea media de la gráfica, y luego busque una fórmula para la función.
14) Dar en términos de una función sinusoidal.
15) Dar en términos de una función sinusoidal.
- Contestar
-
amplitud:\(2\); periodo:\(2\); línea media:\(y=0\);\(f(x)=2\sin(\pi (x-1))\)
16) Dar en términos de una función tangente.
Para los ejercicios 17-20, encuentra la amplitud, el periodo, el desplazamiento de fase y la línea media.
17)\(y=\sin\left(\dfrac{\pi}{6}x+\pi \right)-3\)
- Contestar
-
amplitud:\(1\); periodo:\(12\); desplazamiento de fase:\(-6\); línea media:\(y=-3\)
18)\(y=8\sin\left(\dfrac{7\pi}{6}x+\dfrac{7\pi}{2} \right)+6\)
19) La temperatura exterior en el transcurso de un día se puede modelar como una función sinusoidal. Supongamos que sabe que la temperatura es\(68^{\circ}\) F a medianoche y las temperaturas altas y bajas durante el día son\(80^{\circ}\) F y\(56^{\circ}\) F, respectivamente. Asumiendo\(t\) es el número de horas desde la medianoche, encontrar una función para la temperatura\(D\),, en términos de\(t\).
- Contestar
-
\(D(t)=68-12\sin\left(\dfrac{\pi}{12}x \right)\)
20) El agua se bombea a un contenedor de almacenamiento y se vacía de acuerdo a una tasa periódica. La profundidad del agua es\(3\) pies en su punto más bajo a las 2:00 a.m. y\(71\) pies en su nivel más alto, lo que ocurre cada\(5\) hora. Escribe una función coseno que modele la profundidad del agua en función del tiempo, y luego grafica la función por un periodo.
Para los ejercicios 21-25, encuentra el periodo y el desplazamiento horizontal de cada función.
21)\(g(x)=3\tan(6x+42)\)
- Contestar
-
periodo:\(\dfrac{\pi}{6}\); desplazamiento horizontal:\(-7\)
22)\(n(x)=4\csc \left(\dfrac{5\pi }{3}x-\dfrac{20\pi }{3} \right)\)
23) Escribir la ecuación para la gráfica en la Figura siguiente en términos de la función secante y dar el periodo y el desplazamiento de fase.
- Contestar
-
\(f(x)=\sec(\pi x)\); periodo:\(2\); desplazamiento de fase:\(0\)
24) Si\(\tan x=3\)
25) Si\(\sec x=4\), encuentra\(\sec (-x)\).
- Contestar
-
\(4\)
Para los ejercicios 26-28, grafica las funciones en la ventana especificada y responde las preguntas.
26) Gráfica\(m(x)=\sin(2x)+\cos(3x)\) en la ventana de visualización\([-10,10]\) por\([-3,3]\)
27) Gráfica\(n(x)=0.02\sin(50\pi x)\) sobre los siguientes dominios en\(x:[0,1]\) y\([0,3]\)
- Contestar
-
Las vistas son diferentes porque el periodo de la ola es\(125\)
Sobre un dominio más grande, habrá más ciclos de la gráfica..
28)\(f(x)=\dfrac{\sin x}{x}\) Grafique\([-0.5,0.5]\) y explique cualquier observación.
Para los ejercicios 29-31, vamos\(f(x)=\dfrac{3}{5}\cos(6x)\).
29) ¿Cuál es el mayor valor posible\(f(x)\)?
- Contestar
-
\(\dfrac{3}{5}\)
30) ¿Cuál es el valor más pequeño posible\(f(x)\)?
31) ¿Dónde aumenta la función en el intervalo\([0,2\pi ]\)?
- Contestar
-
En los intervalos aproximados\((0.5,1),(1.6,2.1),(2.6,3.1),(3.7,4.2),(4.7,5.2),(5.6,6.28)\)
Para los ejercicios 32-33, busque y grafique un periodo de la función periódica con la amplitud, periodo y desplazamiento de fase dados.
32) Curva sinusoidal con amplitud\(3\), periodo\(\dfrac{\pi }{3}\)
33) Curva coseno con amplitud\(2\), periodo\(\dfrac{\pi }{6}\)
- Contestar
-
\(f(x)=2\cos\left ( 12\left ( x+\dfrac{\pi }{4} \right ) \right )+3\)
Para los ejercicios 34-35, grafica la función. Describir la gráfica y, en su caso, cualquier comportamiento periódico, amplitud, asíntotas o puntos indefinidos.
34)\(f(x)=5\cos(3x)+4\sin(2x)\)
35)\(f(x)=e^{(sint)}\)
- Contestar
-
Esta gráfica es periódica con un periodo de\(2\pi \)
Para los ejercicios 36-43, encuentra el valor exacto.
36)\(\sin^{-1}\left ( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right )\)
37)\(\tan^{-1}\left ( \sqrt{3} \right )\)
- Contestar
-
\(\dfrac{\pi }{3}\)
38)\(\cos^{-1}\left ( -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right )\)
39)\(\cos^{-1}\left ( \sin(\pi) \right )\)
- Contestar
-
\(\dfrac{\pi }{2}\)
40)\(\cos^{-1}\left ( \tan \left (\dfrac{7\pi}{4} \right ) \right )\)
41)\(\cos(\sin^{-1}(1-2x))\)
- Contestar
-
\(\sqrt{1-(1-2x)^2}\)
42)\(\cos^{-1}(-0.4)\)
43)\(\cos \left (\tan^{-1}\left(x^2\right) \right )\)
- Contestar
-
\(\dfrac{1}{\sqrt{1+x^4}}\)
Para los ejercicios 44-46, supongamos\(\sin t=\dfrac{x}{x+1}\)
44)\(\tan t\)
45)\(csc t\)
- Contestar
-
\(\dfrac{x+1}{x}\)
46) Dada la Figura, encontrar la medida del ángulo\(\theta \) a tres decimales. Contesta en radianes.
Para los ejercicios 47-49, determinar si la ecuación es verdadera o falsa.
47)\(\arcsin\left(\sin\left(\dfrac{5\pi }{6}\right)\right)=\dfrac{5\pi }{6}\)
- Contestar
-
Falso
48)\(\arccos\left(\cos\left(\dfrac{5\pi }{6}\right)\right)=\dfrac{5\pi }{6}\)
49) El grado de una carretera es\(7\%\). Esto significa que por cada distancia horizontal de\(100\) pies en la carretera, el ascenso vertical es\(7\) pies. Encuentra el ángulo que hace la carretera con la horizontal en radianes.
- Contestar
-
aproximadamente\(0.07\) radianes