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6.R: Funciones Periódicas (Revisión)

  • Page ID
    121306
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    6.1: Gráficas de las funciones de seno y coseno

    Para los ejercicios 1-8, grafica las funciones durante dos periodos y determina el factor de amplitud o estiramiento, el periodo, la ecuación de la línea media y las asíntotas.

    1)\(f(x)=-3\cos x+3\)

    Contestar

    amplitud:\(3\); periodo:\(2\pi \); línea media:\(y=3\);sin asíntotas

    6R6.1.1.png

    2)\(f(x)=\dfrac{1}{4}\sin x\)

    3)\(f(x)=3\cos\left ( x+\dfrac{\pi }{6} \right )\)

    Contestar

    amplitud:\(3\); periodo:\(2\pi \); línea media:\(y=0\); sin asíntotas

    6R6.1.3.png

    4)\(f(x)=-2\sin\left ( x-\dfrac{2\pi }{3} \right )\)

    5)\(f(x)=3\sin\left ( x-\dfrac{\pi }{4} \right )-4\)

    Contestar

    amplitud:\(3\); periodo:\(2\pi \); línea media:\(y=-4\); sin asíntotas

    6R6.1.5.png

    6)\(f(x)=2\left (\cos\left ( x-\dfrac{4\pi }{3} \right )+1 \right )\)

    7)\(f(x)=6\sin\left ( 3x-\dfrac{\pi }{6} \right )-1\)

    Contestar

    amplitud:\(6\); periodo:\(dfrac{2\pi }{3}\); línea media:\(y=-1\); sin asíntotas

    6R6.1.7.png

    8)\(f(x)=-100\sin(50x-20)\)

    6.2: Gráficas de las Otras Funciones Trigonométricas

    Para los ejercicios 1-4, grafica las funciones durante dos periodos y determina el factor de amplitud o estiramiento, el periodo, la ecuación de la línea media y las asíntotas.

    1)\(f(x)=\tan x-4\)

    Contestar

    factor de estiramiento: ninguno; periodo:\(\pi \); línea media:\(y=-4\); asíntotas:\(x=\dfrac{\pi }{2}+\pi k\), donde\(k\) es un entero

    6R6.2.1.png

    2)\(f(x)=2\tan \left ( x-\dfrac{\pi }{6} \right )\)

    3)\(f(x)=-3\tan (4x)-2\)

    Contestar

    factor de estiramiento:\(3\); período:\(\dfrac{\pi }{4}\); línea media:\(y=-2\); asíntotas:\(x=\dfrac{\pi }{8}+\dfrac{\pi }{4}k\), donde\(k\) es un entero

    6R6.2.3.png

    4)\(f(x)=0.2\cos(0.1x)+0.3\)

    Para los ejercicios 5-10, grafica dos periodos completos. Identificar el periodo, el desplazamiento de fase, la amplitud y las asíntotas.

    5)\(f(x)=\dfrac{1}{3}\sec x\)

    Contestar

    amplitud: ninguno; periodo:\(2\pi \); sin desplazamiento de fase; asíntotas:\(x=\dfrac{\pi }{2}k\), donde\(k\) es un entero

    6R6.2.5.png

    6)\(f(x)=3\cot x\)

    7)\(f(x)=4\csc (5x)\)

    Contestar

    amplitud: ninguno; periodo:\(\dfrac{2\pi }{5}\); sin desplazamiento de fase; asíntotas:\(x=\dfrac{\pi }{5}k\), donde\(k\) es un entero

    6R6.2.7.png

    8)\(f(x)=8\sec \left (\dfrac{1}{4}x \right )\)

    9)\(f(x)=\dfrac{2}{3}\csc \left (\dfrac{1}{2}x \right )\)

    Contestar

    amplitud: ninguno; periodo:\(4\pi \); sin desplazamiento de fase; asíntotas:\(x=2\pi k\), donde\(k\) es un entero

    6R6.2.9.png

    10)\(f(x)=-\csc (2x+\pi)\)

    Para los ejercicios 11-15, utilice este escenario: La población de una ciudad ha subido y bajado en un intervalo de\(20\) -año. Su población puede ser modelada por la siguiente función:\(y=12,000+8,000\sin(0.628x)\), donde el dominio es los años desde 1980 y el rango es la población de la ciudad.

    11) ¿Cuál es la población más grande y más pequeña que pueda tener la ciudad?

    Contestar

    mayor:\(20,000\); más pequeño:\(4,000\)

    12) Graficar la función en el dominio de\([0,40]\).

    13) ¿Cuáles son la amplitud, el periodo y el desplazamiento de fase para la función?

    Contestar

    amplitud:\(8,000\); periodo:\(10\); desplazamiento de fase:\(0\)

    14) Sobre este dominio, ¿cuándo llega la población\(18,000\)? \(13,000\)?

    15) ¿Cuál es la población pronosticada en 2007? ¿2010?

    Contestar

    En 2007, la población pronosticada es\(4,413\). En 2010, la población será\(11,924\).

    Para los ejercicios 16a-16d, supongamos que se une un peso a un resorte y se desplaza hacia arriba y hacia abajo, exhibiendo simetría.

    16) Supongamos que la gráfica de la función de desplazamiento se muestra en la Figura siguiente, donde los valores en el\(x\) eje -representan el tiempo en segundos y el\(y\) eje -representa el desplazamiento en pulgadas.

    6R6.2.16.png

    1. Dar la ecuación que modela el desplazamiento vertical del peso en el muelle.
    2. En\(\text{time} = 0\), ¿cuál es el desplazamiento del peso?
    Contestar

    \(5\)en.

    1. ¿En qué momento el desplazamiento desde el punto de equilibrio es igual a cero?
    2. ¿Cuál es el tiempo requerido para que el peso vuelva a su altura inicial de\(5\) pulgadas? Es decir, ¿cuál es el periodo para la función de desplazamiento?
    Contestar

    \(10\)segundos

    6.3: Funciones trigonométricas inversas

    Para los ejercicios 1-11, encuentra el valor exacto sin la ayuda de una calculadora.

    1)\(\sin ^{-1}(1)\)

    2)\(\cos ^{-1}\left ( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right )\)

    Contestar

    \(\dfrac{\pi }{6}\)

    3)\(\tan ^{-1}(-1)\)

    4)\(\cos ^{-1}\left ( \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right )\)

    Contestar

    \(\dfrac{\pi }{4}\)

    5)\(\sin ^{-1}\left ( \dfrac{-\sqrt{3}}{2} \right )\)

    6)\(\sin ^{-1}\left (\cos \left (\dfrac{\pi }{6} \right ) \right )\)

    Contestar

    \(\dfrac{\pi }{3}\)

    7)\(\cos ^{-1}\left (\tan \left (\dfrac{3\pi }{4} \right ) \right )\)

    8)\(\sin \left (\sec^{-1} \left (\dfrac{3}{5} \right ) \right )\)

    Contestar

    Sin solución

    9)\(\cot \left (\sin^{-1} \left (\dfrac{3}{5} \right ) \right )\)

    10)\(\tan \left (\cos^{-1} \left (\dfrac{5}{13} \right ) \right )\)

    Contestar

    \(\dfrac{12}{5}\)

    11)\(\sin \left (\cos^{-1} \left (\dfrac{x}{x+1} \right ) \right )\)

    12) Gráfica\(f(x)=\cos x\) y\(f(x)=\sec x\) sobre el intervalo\([0,2\pi )\) y explica cualquier observación.

    Contestar

    Las gráficas no son simétricas con respecto a la línea\(y=x\).Son simétricos con respecto al\(y\) eje.

    6R6.3.12.png

    13) Graficar\(f(x)=\sin x\)\(f(x)=\csc x\) y explicar cualquier observación.

    14) Graficar la función\(f(x)=\dfrac{x}{1}-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}\) en el intervalo\([-1,1]\) y comparar la gráfica con la gráfica de\(f(x)=\sin x\) en el mismo intervalo. Describir cualquier observación.

    Contestar

    Las gráficas parecen ser idénticas.

    6R6.3.14.png

    Prueba de práctica

    Para los ejercicios 1-13, bosquejar la gráfica de cada función durante dos periodos completos. Determinar la amplitud, el periodo y la ecuación para la línea media.

    1)\(f(x)=0.5\sin x\)

    Contestar

    amplitud:\(0.5\); periodo:\(2\pi \);línea media\(y=0\)

    6RP 1.png y=0 y=0" role="presentation" style="background-color:transparent;border-bottom-color:rgb(85, 85, 85);border-bottom-style:none;border-bottom-width:0px;border-image-outset:0;border-image-repeat:stretch;border-image-slice:100%;border-image-source:none;border-image-width:1;border-left-color:rgb(85, 85, 85);border-left-style:none;border-left-width:0px;border-right-color:rgb(85, 85, 85);border-right-style:none;border-right-width:0px;border-top-color:rgb(85, 85, 85);border-top-style:none;border-top-width:0px;box-sizing:border-box;direction:ltr;display:inline;float:none;font-family:Helvetica Neue,Helvetica,Arial,sans-serif;font-size-adjust:none;font-style:normal;font-variant:normal;font-weight:400;letter-spacing:normal;line-height:normal;margin-bottom:0px;margin-left:0px;margin-right:0px;margin-top:0px;max-height:none;max-width:none;min-height:0px;min-width:0px;orphans:2;padding-bottom:0px;padding-left:0px;padding-right:0px;padding-top:0px;position:relative;text-align:left;text-decoration:none;text-indent:0px;text-transform:none;-webkit-text-stroke-width:0px;white-space:nowrap;word-spacing:0px;word-wrap:normal;" tabindex="0">y = 0y=0y=0

    2)\(f(x)=5\cos x\)

    3)\(f(x)=5\sin x\)

    Contestar

    amplitud:\(0.5\); periodo:\(2\pi \); línea media\(y=0\)

    6RP 3.png

    4)\(f(x)=\sin (3x)\)

    5)\(f(x)=-\cos \left ( x+\dfrac{\pi }{3} \right )+1\)

    Contestar

    amplitud:\(1\); periodo:\(2\pi \); línea media\(y=1\)

    6RP 5.png

    6)\(f(x)=5\sin \left (3\left ( x-\dfrac{\pi }{6} \right ) \right )+4\)

    7)\(f(x)=3\cos \left ( \dfrac{1}{3}x-\dfrac{5\pi }{6} \right )\)

    Contestar

    amplitud:\(3\); periodo:\(6\pi \); línea media\(y=0\)

    6RP 7.png

    8)\(f(x)=\tan (4x)\)

    9)\(f(x)=-2\tan \left ( x-\dfrac{7\pi }{6} \right )+2\)

    Contestar

    amplitud: ninguna; periodo:\(\pi \); línea media\(y=0\), asíntotas:\(x=\dfrac{2\pi }{3}+\pi k\),donde\(k\) es un entero

    6RP 9.png

    10)\(f(x)=\pi \cos(3x+\pi)\)

    11)\(f(x)=5\csc(3x)\)

    Contestar

    amplitud: ninguna; periodo:\(\dfrac{2\pi }{3}\); línea media\(y=0\), asíntotas:\(x=\dfrac{\pi }{3}k\),donde\(k\) es un entero

    6RP 11.png

    12)\(f(x)=\pi \sec \left ( \dfrac{\pi }{2}x \right )\)

    13)\(f(x)=2\csc \left ( x+\dfrac{\pi }{4} \right )-3\)

    Contestar

    amplitud: ninguna; periodo:\(2\pi \); línea media\(y=-3\)

    6RP 13.png

    Para los ejercicios 14-16, determine la amplitud, el punto y la línea media de la gráfica, y luego busque una fórmula para la función.

    14) Dar en términos de una función sinusoidal.

    6RP 14.png

    15) Dar en términos de una función sinusoidal.

    6RP 15.png

    Contestar

    amplitud:\(2\); periodo:\(2\); línea media:\(y=0\);\(f(x)=2\sin(\pi (x-1))\)

    16) Dar en términos de una función tangente.

    6RP 16.png

    Para los ejercicios 17-20, encuentra la amplitud, el periodo, el desplazamiento de fase y la línea media.

    17)\(y=\sin\left(\dfrac{\pi}{6}x+\pi \right)-3\)

    Contestar

    amplitud:\(1\); periodo:\(12\); desplazamiento de fase:\(-6\); línea media:\(y=-3\)

    18)\(y=8\sin\left(\dfrac{7\pi}{6}x+\dfrac{7\pi}{2} \right)+6\)

    19) La temperatura exterior en el transcurso de un día se puede modelar como una función sinusoidal. Supongamos que sabe que la temperatura es\(68^{\circ}\) F a medianoche y las temperaturas altas y bajas durante el día son\(80^{\circ}\) F y\(56^{\circ}\) F, respectivamente. Asumiendo\(t\) es el número de horas desde la medianoche, encontrar una función para la temperatura\(D\),, en términos de\(t\).

    Contestar

    \(D(t)=68-12\sin\left(\dfrac{\pi}{12}x \right)\)

    20) El agua se bombea a un contenedor de almacenamiento y se vacía de acuerdo a una tasa periódica. La profundidad del agua es\(3\) pies en su punto más bajo a las 2:00 a.m. y\(71\) pies en su nivel más alto, lo que ocurre cada\(5\) hora. Escribe una función coseno que modele la profundidad del agua en función del tiempo, y luego grafica la función por un periodo.

    Para los ejercicios 21-25, encuentra el periodo y el desplazamiento horizontal de cada función.

    21)\(g(x)=3\tan(6x+42)\)

    Contestar

    periodo:\(\dfrac{\pi}{6}\); desplazamiento horizontal:\(-7\)

    22)\(n(x)=4\csc \left(\dfrac{5\pi }{3}x-\dfrac{20\pi }{3} \right)\)

    23) Escribir la ecuación para la gráfica en la Figura siguiente en términos de la función secante y dar el periodo y el desplazamiento de fase.

    6RP 23.png

    Contestar

    \(f(x)=\sec(\pi x)\); periodo:\(2\); desplazamiento de fase:\(0\)

    24) Si\(\tan x=3\),encontrar\(\tan (-x)\).

    25) Si\(\sec x=4\), encuentra\(\sec (-x)\).

    Contestar

    \(4\)

    Para los ejercicios 26-28, grafica las funciones en la ventana especificada y responde las preguntas.

    26) Gráfica\(m(x)=\sin(2x)+\cos(3x)\) en la ventana de visualización\([-10,10]\) por\([-3,3]\).Aproximar el periodo de la gráfica.

    27) Gráfica\(n(x)=0.02\sin(50\pi x)\) sobre los siguientes dominios en\(x:[0,1]\) y\([0,3]\).Supongamos que esta función modela ondas sonoras. ¿Por qué estas vistas se verían tan diferentes?

    Contestar

    Las vistas son diferentes porque el periodo de la ola es\(125\).Sobre un dominio más grande, habrá más ciclos de la gráfica.

    6RP 27.png

    28)\(f(x)=\dfrac{\sin x}{x}\) Grafique\([-0.5,0.5]\) y explique cualquier observación.

    Para los ejercicios 29-31, vamos\(f(x)=\dfrac{3}{5}\cos(6x)\).

    29) ¿Cuál es el mayor valor posible\(f(x)\)?

    Contestar

    \(\dfrac{3}{5}\)

    30) ¿Cuál es el valor más pequeño posible\(f(x)\)?

    31) ¿Dónde aumenta la función en el intervalo\([0,2\pi ]\)?

    Contestar

    En los intervalos aproximados\((0.5,1),(1.6,2.1),(2.6,3.1),(3.7,4.2),(4.7,5.2),(5.6,6.28)\)

    Para los ejercicios 32-33, busque y grafique un periodo de la función periódica con la amplitud, periodo y desplazamiento de fase dados.

    32) Curva sinusoidal con amplitud\(3\), periodo\(\dfrac{\pi }{3}\),y desplazamiento de fase\((h,k)=\left(\dfrac{\pi }{4},2\right)\)

    33) Curva coseno con amplitud\(2\), periodo\(\dfrac{\pi }{6}\),y desplazamiento de fase\((h,k)=\left(-\dfrac{\pi }{4},3\right)\)

    Contestar

    \(f(x)=2\cos\left ( 12\left ( x+\dfrac{\pi }{4} \right ) \right )+3\)

    6RP 33.png

    Para los ejercicios 34-35, grafica la función. Describir la gráfica y, en su caso, cualquier comportamiento periódico, amplitud, asíntotas o puntos indefinidos.

    34)\(f(x)=5\cos(3x)+4\sin(2x)\)

    35)\(f(x)=e^{(sint)}\)

    Contestar

    Esta gráfica es periódica con un periodo de\(2\pi \)

    6RP 35.png

    Para los ejercicios 36-43, encuentra el valor exacto.

    36)\(\sin^{-1}\left ( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right )\)

    37)\(\tan^{-1}\left ( \sqrt{3} \right )\)

    Contestar

    \(\dfrac{\pi }{3}\)

    38)\(\cos^{-1}\left ( -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right )\)

    39)\(\cos^{-1}\left ( \sin(\pi) \right )\)

    Contestar

    \(\dfrac{\pi }{2}\)

    40)\(\cos^{-1}\left ( \tan \left (\dfrac{7\pi}{4} \right ) \right )\)

    41)\(\cos(\sin^{-1}(1-2x))\)

    Contestar

    \(\sqrt{1-(1-2x)^2}\)

    42)\(\cos^{-1}(-0.4)\)

    43)\(\cos \left (\tan^{-1}\left(x^2\right) \right )\)

    Contestar

    \(\dfrac{1}{\sqrt{1+x^4}}\)

    Para los ejercicios 44-46, supongamos\(\sin t=\dfrac{x}{x+1}\). Evalúe las siguientes expresiones.

    44)\(\tan t\)

    45)\(csc t\)

    Contestar

    \(\dfrac{x+1}{x}\)

    46) Dada la Figura, encontrar la medida del ángulo\(\theta \) a tres decimales. Contesta en radianes.

    6RP 46.png

    Para los ejercicios 47-49, determinar si la ecuación es verdadera o falsa.

    47)\(\arcsin\left(\sin\left(\dfrac{5\pi }{6}\right)\right)=\dfrac{5\pi }{6}\)

    Contestar

    Falso

    48)\(\arccos\left(\cos\left(\dfrac{5\pi }{6}\right)\right)=\dfrac{5\pi }{6}\)

    49) El grado de una carretera es\(7\%\). Esto significa que por cada distancia horizontal de\(100\) pies en la carretera, el ascenso vertical es\(7\) pies. Encuentra el ángulo que hace la carretera con la horizontal en radianes.

    Contestar

    aproximadamente\(0.07\) radianes


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