8.E: Otras aplicaciones de la trigonometría (ejercicios)

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8.1: Triángulos no rectos: Ley de los senos

Verbal

1) Describir la altitud de un triángulo.

Responder: La altitud se extiende desde cualquier vértice hasta el lado opuesto o hasta la línea que contiene el lado opuesto en$90^{\circ}$ ángulo.

2) Comparar triángulos rectos y triángulos oblicuos.

3) ¿Cuándo se puede utilizar la Ley de los Sinos para encontrar un ángulo faltante?

Responder: Cuando los valores conocidos son el lado opuesto al ángulo faltante y otro lado y su ángulo opuesto.

4) En la Ley de Sines, ¿cuál es la relación entre el ángulo en el numerador y el lado en el denominador?

5) ¿Qué tipo de triángulo resulta en un caso ambiguo?

Responder: Un triángulo con dos lados dados y un ángulo no incluido.

Algebraico

Para los ejercicios 6-10, asumir$\alpha$ es lado opuesto$a$,$\beta$ es lado opuesto$b$, y$\gamma$ es lado opuesto$c$. Resuelve cada triángulo, si es posible. Redondea cada respuesta a la décima más cercana.

6)$\alpha =43^{\circ}, \gamma =69^{\circ}, a=20$

7)$\alpha =35^{\circ}, \gamma =73^{\circ}, c=20$

Responder: $\beta =72^{\circ}, a\approx 12.0, b\approx 19.9$

8)$\alpha =60^{\circ}, \beta =60^{\circ}, \gamma =60^{\circ}$

9)$a=4, \alpha =60^{\circ}, \beta =100^{\circ}$

Responder: $\gamma =20^{\circ}, b\approx 4.5, c\approx 1.6$

10)$b=10, \beta =95^{\circ}, \gamma =30^{\circ}$

11) Encontrar lado$b$ cuando$A=37^{\circ}, B=49^{\circ}, c=5$

Responder: $b\approx 3.78$

12) Encontrar lado$a$ cuando$A=132^{\circ}, C=23^{\circ}, b=10$

13) Encontrar lado$c$ cuando$B=37^{\circ}, C=21^{\circ}, b=23$

Responder: $c\approx 13.70$

Para los ejercicios 14-23, asumir$\alpha $ es lado opuesto$a$,$\beta$ es lado opuesto$b$, y$\gamma $ es lado opuesto$c$. Determina si no hay triángulo, un triángulo o dos triángulos. Entonces resuelve cada triángulo, si es posible. Redondea cada respuesta a la décima más cercana.

14)$\alpha =119^{\circ}, a=14, b=26$

15)$\gamma =113^{\circ}, b=10, c=32$

Responder: un triángulo,$\alpha \approx 50.3^{\circ}, \beta \approx 16.7^{\circ}, a\approx 26.7$

16)$b=3.5, c=5.3, \gamma =80^{\circ}$

17)$a=12, c=17, \alpha =35^{\circ}$

Responder: dos triángulos,$\gamma \approx 54.3^{\circ}, \beta \approx 90.7^{\circ}, b\approx 20.9$ o$\gamma '\approx 125.7^{\circ}, \beta '\approx 19.3^{\circ}, b'\approx 6.9$

18)$a=20.5, b=35.0, \beta =25^{\circ}$

19)$a=7, c=9, \alpha =43^{\circ}$

Responder: dos triángulos,$\beta \approx 75.7^{\circ}, \gamma \approx 61.3^{\circ}, b\approx 9.9$ o$\beta '\approx 18.3^{\circ}, \gamma '\approx 118.7^{\circ}, b'\approx 3.2$

20)$a=7, b=3, \beta =24^{\circ}$

21)$b=13, c=5, \gamma =10^{\circ}$

Responder: dos triángulos,$\alpha \approx 143.2^{\circ}, \beta \approx 26.8^{\circ}, a\approx 17.3$ o$\alpha '\approx 16.8^{\circ}, \beta '\approx 153.2^{\circ}, a'\approx 8.3$

22)$a=2.3, c=1.8, \gamma =28^{\circ}$

23)$\beta =119^{\circ}, b=8.2, a=11.3$

Responder: ningún triángulo posible

Para los ejercicios 24-26, usa la Ley de Sines para resolver, si es posible, el lado o ángulo que falta para cada triángulo o triángulos en el caso ambiguo. Redondea cada respuesta a la décima más cercana.

24) Encontrar ángulo$A$ cuando$a=24, b=5, B=22^{\circ}$

25) Encontrar ángulo$A$ cuando$a=13, b=6, B=20^{\circ}$

Responder: $A\approx 47.8^{\circ}$o$A'\approx 132.2^{\circ}$

26) Encontrar ángulo$B$ cuando$A=12^{\circ}, a=2, b=9$

Para los ejercicios 27-30, encuentra el área del triángulo con las medidas dadas. Redondea cada respuesta a la décima más cercana.

27)$a=5, c=6, \beta =35^{\circ}$

Responder: $8.6$

28)$b=11, c=8, \alpha =28^{\circ}$

29)$a=32, b=24, \gamma =75^{\circ}$

Responder: $370.9$

30)$a=7.2, b=4.5, \gamma =43^{\circ}$

Gráfica

Para los ejercicios 31-36, encuentra la longitud del lado$x$. Redondear a la décima más cercana.

31)

$CNX_Precalc_Figure_08_01_201.jpg$

Responder: $12.3$

32)

$CNX_Precalc_Figure_08_01_202.jpg$

33)

$CNX_Precalc_Figure_08_01_203.jpg$

Responder: $12.2$

34)

$CNX_Precalc_Figure_08_01_204.jpg$

35)

$CNX_Precalc_Figure_08_01_205.jpg$

Responder: $16.0$

36)

$CNX_Precalc_Figure_08_01_206.jpg$

Para los ejercicios 37-,42 encuentra la medida del ángulo$x$, si es posible. Redondear a la décima más cercana.

37)

$CNX_Precalc_Figure_08_01_207.jpg$

Responder: $29.7^{\circ}$

38)

$CNX_Precalc_Figure_08_01_208.jpg$

39)

$CNX_Precalc_Figure_08_01_209.jpg$

Responder: $x=76.9^{\circ}$o$x=103.1^{\circ}$

40)

$CNX_Precalc_Figure_08_01_210.jpg$

41) Observe que$x$ es un ángulo obtuso.

$CNX_Precalc_Figure_08_01_211.jpg$

Responder: $110.6^{\circ}$

42)

$CNX_Precalc_Figure_08_01_212.jpg$

Para los ejercicios 43-49, encuentra el área de cada triángulo. Redondea cada respuesta a la décima más cercana.

43)

$CNX_Precalc_Figure_08_01_214.jpg$

Responder: $A\approx 39.4, C\approx 47.6, BC\approx 20.7$

44)

$CNX_Precalc_Figure_08_01_215.jpg$

45)

$CNX_Precalc_Figure_08_01_216.jpg$

Responder: $57.1$

46)

$CNX_Precalc_Figure_08_01_217.jpg$

47)

$CNX_Precalc_Figure_08_01_218.jpg$

Responder: $42.0$

48)

$CNX_Precalc_Figure_08_01_219.jpg$

49)

$CNX_Precalc_Figure_08_01_220.jpg$

Responder: $430.2$

Extensiones

50) Encuentra el radio del círculo en la figura a continuación. Redondear a la décima más cercana.

51) Encuentra el diámetro del círculo en la Figura a continuación. Redondear a la décima más cercana.

$CNX_Precalc_Figure_08_01_222.jpg$

Responder: $10.1$

52) Encuentre$m\angle ADC$ en la Figura a continuación. Redondear a la décima más cercana.

53) Encuentra lado$ AD$ en la Figura a continuación. Redondear a la décima más cercana.

$CNX_Precalc_Figure_08_01_224.jpg$

Responder: $AD\approx 13.8$

54) Resuelve ambos triángulos en la Figura siguiente. Redondea cada respuesta a la décima más cercana.

55) Encuentra lado$ AB$ en el paralelogramo que se muestra a continuación. Redondear a la décima más cercana.

$CNX_Precalc_Figure_08_01_226.jpg$

Responder: $AB\approx 2.8$

56) Resuelve el triángulo en la Figura a continuación. (Pista: Dibuja una perpendicular de$H$ a$JK$. Redondea cada respuesta a la décima más cercana.

57) Resuelve el triángulo en la Figura a continuación. (Pista: Dibuja una perpendicular de$N$ a$LM$. Redondea cada respuesta a la décima más cercana.

$CNX_Precalc_Figure_08_01_228.jpg$

Responder: $L\approx 49.7 ^{\circ} , N\approx 56.3 ^{\circ} , LN\approx 5.8$

58) En la siguiente figura, no$ABCD$ es un paralelogramo. $\angle m$es obtuso. Resuelve ambos triángulos. Redondea cada respuesta a la décima más cercana.

$CNX_Precalc_Figure_08_01_229.jpg$

Aplicaciones del mundo real

59) Un poste se inclina alejándose del sol en ángulo con respecto$7^{\circ}$ a la vertical, como se muestra en la Figura de abajo. Cuando la elevación del sol es$55^{\circ}$, el poste proyecta una sombra de$42$ pies de largo sobre el suelo llano. ¿Cuánto dura el poste? Redondear la respuesta a la décima más cercana.

$CNX_Precalc_Figure_08_01_231.jpg$

Responder: $51.4$ft

60) Para determinar qué tan lejos está una embarcación de la costa, dos estaciones de radar a$500$ pies de distancia encuentran los ángulos hacia la embarcación, como se muestra en la Figura a continuación. Determinar la distancia del barco desde la estación$A$ y la distancia del barco desde la costa. Redondea tus respuestas al pie entero más cercano.

61) La siguiente figura muestra un satélite orbitando la Tierra. El satélite pasa directamente sobre dos estaciones de rastreo$A$ y$B$, que están$69$ a millas de distancia. Cuando el satélite está en un lado de las dos estaciones, los ángulos de elevación en$A$ y$B$ se miden para ser$86.2^{\circ}$ y$83.9^{\circ}$ respectivamente. ¿A qué distancia está el satélite de la estación$A$ y a qué altura está el satélite sobre el suelo? Respuestas redondas a la milla entera más cercana.

$CNX_Precalc_Figure_08_01_233.jpg$

Responder: La distancia del satélite a la estación$A$ es de aproximadamente$1716$ millas. El satélite se encuentra aproximadamente$1706$ a millas sobre el suelo.

62) Una torre de comunicaciones se ubica en lo alto de un cerro empinado, como se muestra en la Figura a continuación. El ángulo de inclinación del cerro es$67^{\circ}$. Un cable de sujeción se va a unir a la parte superior de la torre y al suelo,$165$ metros cuesta abajo desde la base de la torre. El ángulo formado por el cable de sujeción y el cerro es$16^{\circ}$. Encuentre la longitud del cable requerida para el cable de sujeción al medidor completo más cercano.

63) El techo de una casa está en$20^{\circ}$ ángulo. Un panel solar$8$ de pie debe montarse en el techo y debe estar en ángulo$38^{\circ}$ con relación a la horizontal para obtener resultados óptimos. (Ver la Figura a continuación). ¿Cuánto tiempo necesita ser el soporte vertical que sostiene la parte posterior del panel? Redondear a la décima más cercana.

$CNX_Precalc_Figure_08_01_235.jpg$

Responder: $2.6$ft

64) Similar a un ángulo de elevación, un ángulo de depresión es el ángulo agudo formado por una línea horizontal y una línea de visión del observador hacia un objeto debajo de la horizontal. Un piloto sobrevuela una carretera recta. Determina los ángulos de depresión a dos postes,$6.6$ km de distancia, para ser$37^{\circ}$ y$44^{\circ}$ como se muestra en la Figura a continuación. Encuentra la distancia del avión de punto$A$ a la décima de kilómetro más cercana.

65) Un piloto sobrevuela una carretera recta. Determina los ángulos de depresión a dos postes,$4.3$ km de distancia, para ser$32^{\circ}$ y$56^{\circ}$, como se muestra en la Figura a continuación. Encuentra la distancia del avión de punto$A$ a la décima de kilómetro más cercana.

$CNX_Precalc_Figure_08_01_237.jpg$

Responder: $5.6$km

66) Para estimar la altura de un edificio, dos estudiantes se paran a cierta distancia del edificio a pie de calle. A partir de este punto, encuentran que el ángulo de elevación desde la calle hasta lo alto del edificio es ser$39^{\circ}$. Luego se acercan$300$ los pies al edificio y encuentran que el ángulo de elevación es$50^{\circ}$. Suponiendo que la calle esté nivelada, estime la altura del edificio al pie más cercano.

67) Para estimar la altura de un edificio, dos estudiantes se paran a cierta distancia del edificio a pie de calle. A partir de este punto, encuentran que el ángulo de elevación desde la calle hasta lo alto del edificio es ser$35^{\circ}$. Luego se acercan$250$ los pies al edificio y encuentran que el ángulo de elevación es$53^{\circ}$. Suponiendo que la calle esté nivelada, estime la altura del edificio al pie más cercano.

Responder: $371$ft

68)$A$ Puntas y$B$ están en lados opuestos de un lago. $C$El punto está$97$ a metros de$A$. Se determina$\angle BAC$ que la medida de es$101^{\circ}$, y la medida de$\angle ACB$ se determina que es$53^{\circ}$. ¿Cuál es la distancia de$A$ a$B$, redondeado al metro entero más cercano?

69) Un hombre y una mujer parados$3\dfrac{1}{2}$ a kilómetros de distancia ven un globo aerostático al mismo tiempo. Si el ángulo de elevación del hombre al globo es$27^{\circ}$, y el ángulo de elevación de la mujer al globo es$41^{\circ}$, encuentra la altitud del globo al pie más cercano.

Responder: $5936$ft

70) Dos equipos de búsqueda localizan a un escalador varado en una montaña. El primer equipo de búsqueda está$0.5$ a millas del segundo equipo de búsqueda, y ambos equipos están a una altitud de$1$ milla. El ángulo de elevación desde el primer equipo de búsqueda hasta el escalador varado es$15^{\circ}$. El ángulo de elevación desde el segundo equipo de búsqueda hasta el escalador es$22^{\circ}$. ¿Cuál es la altitud del escalador? Redondear a la décima de milla más cercana.

71) Una luz de la calle está montada en un poste. Un hombre$6$ de un pie de altura está parado en la calle a poca distancia del poste, proyectando una sombra. El ángulo de elevación desde la punta de la sombra del hombre hasta la parte superior de su cabeza de$28^{\circ}$. Una mujer$6$ de un pie de altura se encuentra parada en la misma calle en el lado opuesto del poste al hombre. El ángulo de elevación desde la punta de su sombra hasta la parte superior de su cabeza es$28^{\circ}$. Si el hombre y la mujer están a$20$ pies de distancia, ¿a qué distancia está la luz de la calle de la punta de la sombra de cada persona? Redondea la distancia hasta la décima de pie más cercana.

Responder: $24.1$ft

72) Tres ciudades,,$A$, y$B$$C$, están ubicadas de manera que esa ciudad$A$ se debe al este de la ciudad$B$. Si la ciudad$C$ se encuentra$35^{\circ}$ al oeste del norte de la ciudad$B$ y está$100$ a millas de la ciudad$A$ y$70$ millas de la ciudad$B$, ¿a qué distancia está la ciudad$A$ de la ciudad$B$? Redondea la distancia hasta la décima de milla más cercana.

73) Dos calles se encuentran en$80^{\circ}$ ángulo. En la esquina, se está construyendo un parque en forma de triángulo. Encuentra el área del parque si, a lo largo de una carretera, el parque mide$180$ pies, y a lo largo de la otra carretera, el parque mide$215$ pies.

Responder: $19,056$ft ²

74) La casa de Brian está en un lote de esquina. Encuentre el área del patio delantero si los bordes miden$40$ y$56$ pies, como se muestra en la Figura a continuación.

$Higo 8.1.74.png$

75) El triángulo de las Bermudas es una región del Océano Atlántico que conecta Bermudas, Florida y Puerto Rico. Encuentra el área del triángulo de las Bermudas si la distancia de Florida a Bermudas es de$1030$ millas, la distancia de Puerto Rico a Bermudas es de$980$ millas, y el ángulo creado por las dos distancias es$62^{\circ}$.

Responder: $445,624$millas cuadradas

76) Un letrero de rendimiento mide$30$ pulgadas en los tres lados. ¿Cuál es el área del letrero?

77) Naomi compró una mesa de comedor moderna cuya parte superior tiene forma de triángulo. Encuentre el área del tablero de la mesa si dos de los lados miden$4$ pies y$4.5$ pies, y los ángulos más pequeños miden$32^{\circ}$ y$42^{\circ}$, como se muestra en la Figura a continuación.

$higo 8.1.77.png$

Responder: $8.65$ft ²