10.E: Geometría Analítica (Ejercicios)

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10.1: La elipse

En esta sección, investigaremos la forma de esta sala y sus aplicaciones en el mundo real, incluyendo hasta qué punto de distancia pueden pararse dos personas en el Salón de Estatuas y aún se escuchan susurrar.

Verbal

1) Definir una elipse en términos de sus focos.

Responder: Una elipse es el conjunto de todos los puntos en el plano cuya suma de distancias desde dos puntos fijos, llamados los focos, es una constante.

2) ¿Dónde deben estar los focos de una elipse?

3) ¿Qué caso especial de elipse tenemos cuando los ejes mayor y menor son de la misma longitud?

Responder: Este caso especial sería un círculo.

4) Para el caso especial antes mencionado, ¿qué sería cierto de los focos de esa elipse?

5) ¿Qué se puede decir de la simetría de la gráfica de una elipse con centro en el origen y focos a lo largo del$y$ eje?

Responder: Es simétrico alrededor del$x$ eje -eje,$y$ -eje, y el origen.

Algebraico

Para los ejercicios 6-10, determinar si las ecuaciones dadas representan elipses. En caso afirmativo, escriba en forma estándar.

6)$2x^2 +y=4$

7)$4x^2 + 9y^2=36$

Responder: sí;$\dfrac{x^2}{3^2}+\dfrac{y^2}{2^2}=1$

8)$4x^2 - y^2=4$

9)$4x^2 + 9y^2=1$

Responder: sí;$\dfrac{x^2}{\left (\tfrac{1}{2} \right )^2}+\dfrac{y^2}{\left (\tfrac{1}{2} \right )^2}=1$

10)$4x^2-8x+9y^2-72y+112=0$

Para los ejercicios 11-26, escribir la ecuación de una elipse en forma estándar, e identificar los puntos finales de los ejes mayor y menor así como los focos.

11)$\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{49}=1$

Responder: $\dfrac{x^2}{2^2}+\dfrac{y^2}{7^2}=1$; Puntos finales del eje mayor$(0,7)$ y$(0,-7)$. Puntos finales de eje menor$(2,0)$ y$(-2,0)$. Focos en$(0, 3\sqrt{5})$,$(0, -3\sqrt{5})$.

12)$\dfrac{x^2}{100}+\dfrac{y^2}{64}=1$

13)$x^2 + 9y^2 = 1$

Responder: $\dfrac{x^2}{(1)^2}+\dfrac{y^2}{\left (\tfrac{1}{3} \right )^2}=1$; Puntos finales del eje mayor$(1,0)$ y$(-1,0)$. Puntos finales del eje menor$\left (0, \dfrac{1}{3} \right )$,$\left (0, -\dfrac{1}{3} \right )$. Focos en$\left (\dfrac{2\sqrt{2}}{3}, 0 \right )$,$\left (-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}, 0 \right )$.

14)$4x^2 + 16y^2 = 1$

15)$\dfrac{(x-2)^2}{49}+\dfrac{(y-4)^2}{25}=1$

Responder: $\dfrac{(x-2)^2}{7^2}+\dfrac{(y-4)^2}{5^2}=1$; Puntos finales del eje mayor$(9,4)$,$(-5,4)$. Puntos finales del eje menor$(2,9)$,$(2,-1)$. Focos en$(2+2\sqrt{6}, 4)$,$(2-2\sqrt{6}, 4)$

16)$\dfrac{(x-2)^2}{81}+\dfrac{(y+1)^2}{16}=1$

17)$\dfrac{(x+5)^2}{4}+\dfrac{(y-7)^2}{9}=1$

Responder: $\dfrac{(x+5)^2}{2^2}+\dfrac{(y-7)^2}{3^2}=1$; Puntos finales del eje mayor$(-5,10)$,$(-5,4)$. Puntos finales del eje menor$(-3,7)$,$(-7,7)$. Focos en$(-5, 7+\sqrt{5})$,$(-5, 7-\sqrt{5})$

18)$\dfrac{(x-7)^2}{49}+\dfrac{(y-7)^2}{49}=1$

19)$4x^2-8x+9y^2-72y+112=0$

Responder: $\dfrac{(x-1)^2}{3^2}+\dfrac{(y-4)^2}{2^2}=1$; Puntos finales del eje mayor$(4,4)$,$(-2,4)$. Puntos finales del eje menor$(1,6)$,$(1,2)$. Focos en$(1+\sqrt{5}, 4)$,$(1-\sqrt{5}, 4)$

20)$9x^2-54x+9y^2-54y+81=0$

21)$4x^2-24x+36y^2-360y+864=0$

Responder: $\dfrac{(x-3)^2}{(3\sqrt{2})^2}+\dfrac{(y-5)^2}{\sqrt{2}^2}=1$; Puntos finales del eje mayor$(3+3\sqrt{2}, 5)$,$(3-3\sqrt{2}, 5)$. Puntos finales del eje menor$(3, 5+\sqrt{2})$,$(3, 5-\sqrt{2})$. Focos en$(7,5)$,$(-1,5)$

22)$4x^2+24x+16y^2-128y+228=0$

23)$4x^2+40x+25y^2-100y+100=0$

Responder: $\dfrac{(x+5)^2}{(5)^2}+\dfrac{(y-2)^2}{(2)^2}=1$; Puntos finales del eje mayor$(0,2)$,$(-10,2)$. Puntos finales del eje menor$(-5,4)$,$(-5,0)$. Focos en$(-5+\sqrt{21}, 2)$,$(-5-\sqrt{21}, 2)$

24)$x^2+2x+100y^2-1000y+2401=0$

25)$4x^2+24x+25y^2+200y+336=0$

Responder: $\dfrac{(x+3)^2}{(5)^2}+\dfrac{(y+4)^2}{(2)^2}=1$; Puntos finales del eje mayor$(2,-4)$,$(-8,-4)$. Puntos finales del eje menor$(-3,-2)$,$(-3,-6)$. Focos en$(-3+\sqrt{21}, -4)$,$(-3-\sqrt{21}, -4)$

26)$9x^2+72x+16y^2+16y+4=0$

Para los ejercicios 27-31, encuentra los focos para las elipses dadas.

27)$\dfrac{(x+3)^2}{25}+\dfrac{(y+1)^2}{36}=1$

Responder: Focos$(-3, -1+\sqrt{11})$,$(-3, -1-\sqrt{11})$

28)$\dfrac{(x+1)^2}{100}+\dfrac{(y-2)^2}{4}=1$

29)$x^2+y^2=1$

Responder: Enfoque$(0,0)$

30)$x^2+4y^2+4x+8y=1$

31)$10x^2+y^2+200x=0$

Responder: Focos$(-10,30)$,$(-10,-30)$

Gráfica

Para los ejercicios 32-45, grafica las elipses dadas, señalando el centro, los vértices y los focos.

32)$\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{36}=1$

33)$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1$

Responder

Centro$(0,0)$, Vértices$(4,0)$,$(-4,0)$,$(0,3)$,$(0,-3)$. Focos$(\sqrt{7},0)$,$(-\sqrt{7},0)$

$Ex 10.1.33.png$

34)$4x^2+9y^2=1$

35)$81x^2+49y^2=1$

Responder

Centro$(0,0)$, Vértices$\left ( \dfrac{1}{9}, 0 \right )$,$\left ( -\dfrac{1}{9}, 0 \right )$,$\left ( 0, \dfrac{1}{7} \right )$,$\left ( 0, \dfrac{1}{7} \right )$. Focos$\left ( 0, \dfrac{4\sqrt{2}}{63} \right )$,$\left ( 0, -\dfrac{4\sqrt{2}}{63} \right )$

$Ex 10.1.35.png$

36)$\dfrac{(x-2)^2}{64}+\dfrac{(y-4)^2}{16}=1$

37)$\dfrac{(x+3)^2}{9}+\dfrac{(y-3)^2}{9}=1$

Responder

Centro$(-3,3)$, Vértices$(0,3)$,$(-6,3)$,$(-3,0)$,$(-3,6)$. Enfoque$(-3,3)$

Tenga en cuenta que esta elipse es un círculo. El círculo tiene un solo foco, que coincide con el centro.

$Ex 10.1.37.png$

38)$\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{(y+1)^2}{5}=1$

39)$4x^2-8x+16y^2-32y-44=0$

Responder

Centro$(1,1)$, Vértices$(5,1)$,$(-3,1)$,$(1,3)$,$(1,-1)$. Focos$(1,1+4\sqrt{3})$,$(1,1-4\sqrt{3})$

$Ex 10.1.39.png$

40)$x^2-8x+25y^2-100y+91=0$

41)$x^2+8x+4y^2-40y+112=0$

Responder

Centro$(-4,5)$, Vértices$(-2,5)$,$(-6,4)$,$(-4,6)$,$(-4,4)$. Focos$(-4+\sqrt{3}, 5)$,$(-4-4\sqrt{3}, 5)$

$Ex 10.1.1.png$

42)$64x^2+128x+9y^2-72y-368=0$

43)$16x^2+64x+4y^2-8y+4=0$

Responder

Centro$(-2,1)$, Vértices$(0,1)$,$(-4,1)$,$(-2,5)$,$(-2,-3)$. Focos$(-2,1+2\sqrt{3})$,$(-2,1-2\sqrt{3})$

$Ex 10.1.43.png$

44)$100x^2+1000x+y^2-10y+2425=0$

45)$4x^2+16x+4y^2+16y+16=0$

Responder

Centro$(-2,2)$, Vértices$(0,-2)$,$(-4,-2)$,$(-2,0)$,$(-2,-4)$. Enfoque$(-2,-2)$

$Ex 10.1.45.png$

Para los ejercicios 46-51, utilice la información dada sobre la gráfica de cada elipse para determinar su ecuación.

46) Centrar en el origen, simétrico con respecto a los ejes$x$ - y$y$ -ejes, enfoque$(4,0)$ y punto sobre la gráfica$(0,3)$.

47) Centrar en el origen, simétrico con respecto a los ejes$x$ - y$y$ -ejes, enfoque$(0,-2)$ y punto sobre la gráfica$(5,0)$.

Responder: $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{29}=1$

48) Centrar en el origen, simétrico con respecto a los ejes$x$ - y$y$ -ejes, enfoque en$(3,0)$, y eje mayor es dos veces más largo que el eje menor.

49) Centro$(4,2)$; vértice$(9,2)$; un foco:$(4+2\sqrt{6}, 2)$

Responder: $\dfrac{(x-4)^2}{25}+\dfrac{(y-2)^2}{1}=1$

50) Centro$(3,5)$; vértice$(3,11)$; un foco:$(3, 5+4\sqrt{2})$

51) Centro$(-3,4)$; vértice$(1,4)$; un foco:$(-3+2\sqrt{3}, 4)$

Responder: $\dfrac{(x+3)^2}{16}+\dfrac{(y-4)^2}{4}=1$

Para los ejercicios 52-56, dada la gráfica de la elipse, determinar su ecuación.

52)

$Ex 10.1.52.png$

53)

$Ex 10.1.53.png$

Responder: $\dfrac{x^2}{81}+\dfrac{y^2}{9}=1$

54)

$Ex 10.1.54.png$

55)

$Ex 10.1.55.png$

Responder: $\dfrac{(x+2)^2}{4}+\dfrac{(y-2)^2}{9}=1$

56)

$Ex 10.1.56.png$

Extensiones

Para los ejercicios 57-61, encuentra el área de la elipse. El área de una elipse viene dada por la fórmula$\text {Area}=a\cdot b\cdot \pi$

57)$\dfrac{(x-3)^2}{9}+\dfrac{(y-3)^2}{16}=1$

Responder: $\text {Area} = 12\pi $unidades cuadradas

58)$\dfrac{(x+6)^2}{16}+\dfrac{(y-6)^2}{36}=1$

59)$\dfrac{(x+1)^2}{4}+\dfrac{(y-2)^2}{5}=1$

Responder: $\text {Area} = 2\sqrt{5} \pi $unidades cuadradas

60)$4x^2-8x+9y^2-72y+112=0$

61)$9x^2-54x+9y^2-54y+81=0$

Responder: $\text {Area} = 9\pi $unidades cuadradas

Aplicaciones del mundo real

62) Encuentra la ecuación de la elipse que solo cabrá dentro de una caja que sea$8$ unidades de ancho y$4$ unidades de alto.

63) Encuentra la ecuación de la elipse que solo cabrá dentro de una caja que es cuatro veces más ancha que alta. Expresar en términos de$h$, la altura.

Responder: $\dfrac{x^2}{4h^2}+\dfrac{y^2}{\tfrac{1}{4}h^2}=1$

64) Un arco tiene la forma de una semielipse (la mitad superior de una elipse). El arco tiene una altura de$8$ pies y un lapso de$20$ pies. Encuentra una ecuación para la elipse, y úsala para encontrar la altura al$0.01$ pie más cercano del arco a una distancia de$4$ pies del centro.

65) Un arco tiene la forma de una semielipse. El arco tiene una altura de$12$ pies y un lapso de$40$ pies. Encuentra una ecuación para la elipse, y úsala para encontrar la distancia desde el centro hasta un punto en el que la altura es$6$ pies. Redondear a la centésima más cercana.

Responder: $\dfrac{x^2}{400}+\dfrac{y^2}{144}=1$. Distancia =$17.32$ pies

66) Un puente se va a construir en forma de arco semielíptico y debe tener un tramo de$120$ pies. La altura del arco a una distancia de$40$ pies del centro es ser$8$ pies. Encuentra la altura del arco en su centro.

67) Una persona en una galería susurrante de pie en un foco de la elipse puede susurrar y ser escuchada por una persona parada en el otro foco porque todas las ondas sonoras que llegan al techo se reflejan a la otra persona. Si una galería susurrante tiene una longitud de$120$ pies, y los focos están ubicados a$30$ pies del centro, encuentra la altura del techo en el centro.

Responder: Aproximadamente$51.96$ pies

68) Una persona se encuentra a$8$ pies de la pared más cercana en una galería susurrante. Si esa persona está en un foco, y el otro enfoque está a$80$ pies de distancia, ¿cuál es la longitud y la altura en el centro de la galería?

10.2: La hipérbola

En geometría analítica, una hipérbola es una sección cónica formada por la intersección de un cono circular recto con un plano en un ángulo tal que ambas mitades del cono se intersectan. Esta intersección produce dos curvas independientes y no delimitadas que son imágenes especulares entre sí.