3.1: Funciones dadas por fórmulas

La mayoría de las veces discutiremos funciones que toman algunos números reales como entradas, y dan números reales como salidas. Estas funciones se describen comúnmente con una fórmula.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Para la función dada\(f\), calcule las salidas\(f(2)\),\(f(-3)\), y\(f(-1)\).

1. \(f(x)=3x+4\)
2. \(f(x)=\sqrt{x^2-3}\)
3. \ (f (x) =\ left\ {\ begin {array} {cl}
   5 x-6 &,\ text {for}\ quad-1\ leq x\ leq 1\\
   x^ {3} +2 x &,\ text {for}\ quad 1<x\ leq 5
   \ end {array}\ right.\)
4. \(f(x)=\dfrac{x+2}{x+3}\)

Solución

Sustituimos los valores de entrada en la función y simplificamos.

1. \ [\ begin {alineado}
   f (2) &=3\ cdot 2+4=6+4=10\\
   f (-3) &=3\ cdot (-3) +4=-9+4=-5\
   f (-1) &=3\ cdot (-1) +4=-3+4=1
   \ end {alineado}\ nonumber\]
2. Del mismo modo, calculamos\ [\ begin {alineado}
   f (2) &=\ sqrt {2^ {2} -3} =\ sqrt {4-3} =\ sqrt {1} =1\\
   f (-3) &=\ sqrt {(-3) ^ {2} -3} =\ sqrt {9-3} =\ sqrt {6}\\
   f (-1) &=\ sqrt {(-1)) ^ {2} -3} =\ sqrt {1-3} =\ sqrt {-2} =\ texto {indefinido}
   \ final {alineado}\ nonumber\] Para el último paso, estamos asumiendo que solo tratamos con números reales. Por supuesto, como veremos más adelante, se\(\sqrt{-2}\) puede definir como un número complejo. Pero por ahora, sólo vamos a permitir salidas de soluciones reales.
3. La función\ (f (x) =\ left\ {\ begin {array} {cl}
   5 x-6 &,\ text {for}\ quad-1\ leq x\ leq 1\\
   x^ {3} +2 x &,\ text {for}\ quad 1<x\ leq 5
   \ end {array}\ right.\) se da como una función definida por partes. Tenemos que sustituir los valores en la rama correcta:\ [\ begin {aligned}
   f (2) &=2^ {3} +2\ cdot 2=8+4=12,\ text {since} 1<2\ leq 5\\
   f (-3) &=\ text {undefined, ya que} -3\ text {no está en ninguna de las dos ramas}\\
   f (-1) &=5\ cdot (-1) -7=-5-6=-11\ texto {, desde} -1\ leq-1\ leq 1
   \ final {alineado}\ nonumber\]
4. Finalmente para\(f(x)=\dfrac{x+2}{x+3}\), tenemos:\ [\ begin {aligned}
   f (2) &=\ dfrac {2+2} {2+3} =\ dfrac {4} {5}\\
   f (-3) &=\ dfrac {-3+2} {-3+3} =\ dfrac {-1} {0} =\ text {undefined}\\
   f (-1) &=\ dfrac {-1+2} {-1+3} =\ dfrac {1} {2}
   \ fin {alineado}\ nonumber\]

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Dejar\(f\) ser la función dada por\(f(x)=x^2+2x-3\). Encuentra los siguientes valores de función.

1. \(f(5)\)
2. \(f(2)\)
3. \(f(-2)\)
4. \(f(0)\)
5. \(f(\sqrt{5})\)
6. \(f(\sqrt{3}+1)\)
7. \(f(a)\)
8. \(f(a)+5\)
9. \(f(x+h)\)
10. \(f(x+h)-f(x)\)
11. \(\dfrac {f(x+h)-f(x)}{h}\)
12. \(\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\)

Solución

Los primeros cuatro valores de función ((a) - (d)) se pueden calcular directamente:

1. \(f(5)=5^{2}+2 \cdot 5-3=25+10-3=32\)
2. \(f(2)=2^{2}+2 \cdot 2-3=4+4-3=5\)
3. \(f(-2)=(-2)^{2}+2 \cdot(-2)-3=4+-4-3=-3\)
4. \(f(0)=0^{2}+2 \cdot 0-3=0+0-3=-3\)

Los siguientes dos valores ((e) y (f)) son similares, pero la aritmética está un poco más involucrada.

5. \(f(\sqrt{5})=\sqrt{5}^{2}+2 \cdot \sqrt{5}-3=5+2 \cdot \sqrt{5}-3=2+2 \cdot \sqrt{5}\)

6. \ (\ begin {alineado}
   f (\ sqrt {3} +1) & =(\ sqrt {3} +1) ^ {2} +2\ cdot (\ sqrt {3} +1) -3\\
   & =(\ sqrt {3} +1)\ cdot (\ sqrt {3} +1) +2\ cdot (\ sqrt {3} +1) -3\\ &=\ sqrt {3} +1) -3\
   &=\ sqrt {3} +1) -3\ &=\ sqrt {3}}\ cdot\ sqrt {3} +2\ cdot\ sqrt {3} +1\ cdot 1+2\ cdot\ sqrt {3} +2-3\\
   &=3+2\ cdot \ sqrt {3} +1+2\ cdot\ sqrt {3} +2-3\\
   &=3+4\ cdot\ sqrt {3}
   \ end {alineado}\)

Los últimos cinco valores ((g) - (l)) son puramente algebraicos.

7. \(f(a)=a^{2}+2 \cdot a-3\)
8. \(f(a)+5=a^{2}+2 \cdot a-3+5=a^{2}+2 \cdot a+2\)

9. \ (\ begin {alineado}
   f (x+h) & =( x+h) ^ {2} +2\ cdot (x+h) -3\\
   &=x^ {2} +2 x h+h^ {2} +2 x+2 h-3
   \ end {alineado}\)

10. \ (\ begin {alineado}
    f (x+h) -f (x) &=\ izquierda (x^ {2} +2 x h+h^ {2} +2 x+2 h-3\ derecha) -\ izquierda (x^ {2} +2 x-3\ derecha)\\
    &=x^ {2} +2 x h+h^ {2} +2 x+2 h-3-x^ {2} -2 x+3\
    =2 x h+h^ {2} +2 h
    \ final {alineado}\)

11. \ (\ begin {alineado}
    \ dfrac {f (x+h) -f (x)} {h} &=\ dfrac {2 x h+h^ {2} +2 h} {h}\\
    &=\ dfrac {h\ cdot (2 x+h+2)} {h}\\
    &=2 x+h+2
    \ end {alineado}\)

12. \ (\ begin {alineado}
    \ dfrac {f (x) -f (a)} {x-a} &=\ dfrac {\ izquierda (x^ {2} +2 x-3\ derecha) -\ izquierda (a^ {2} +2 a-3\ derecha)} {x-a}\\
    &=\ dfrac {x^ {2} +2 x-3-a^ {2} -2 a+3} {a} =\ dfrac {x^ {2} -a^ {2} +2 x-2 a} {x-a}\\
    &=\ dfrac {(x+a) (x-a) +2 (x-a)} {x-a} =\ dfrac {(x-a) (x+a+2)} {(x-a)} =x+a+2
    \ final {alineado}\)

Los cocientes\(\dfrac{f(x+h)-f(x)} h\) y\(\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\) como en los dos últimos ejemplos Ejemplo\(\PageIndex{2}\) (k) y (l) serán particularmente importantes en el cálculo. Se les llama cocientes de diferencia. Ahora calculamos algunos ejemplos más de cocientes de diferencia.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Calcular el cociente de diferencia\(\dfrac{f(x+h)-f(x)}h\) para

1. \(f(x)=x^3+2\)
2. \(f(x)=\dfrac 1 x\)

Solución

Calculamos primero el cociente de diferencia paso a paso.

1. \[\begin{aligned} f(x+h)&=(x+h)^3+2 =(x+h)\cdot (x+h)\cdot (x+h)+2\\ & = (x^2+2xh+h^2)\cdot (x+h)+2\\ & = x^3+2x^2h+xh^2+x^2h+2xh^2+h^3+2\\ & = x^3+3x^2h+3xh^2+h^3+2\end{aligned} \nonumber \]

Restar\(f(x)\) de\(f(x+h)\) da

\[\begin{aligned} f(x+h)-f(x)&= (x^3+3x^2h+3xh^2+h^3+2)-(x^3+2)\\ &=x^3+3x^2h+3xh^2+h^3+2-x^3-2\\ &=3x^2h+3xh^2+h^3\end{aligned} \nonumber \]

Con esto obtenemos:

\[\begin{aligned} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}&=\dfrac{3x^2h+3xh^2+h^3} h\\ &= \dfrac{h\cdot (3x^2+3xh+h^2)} h=3x^2+3xh+h^2\end{aligned} \nonumber \]

Manejamos la parte (b) de manera similar.

2. \[f(x+h)=\dfrac{1}{x+h} \nonumber \]

para que

\[f(x+h)-f(x)= \dfrac 1 {x+h} - \dfrac 1 x \nonumber \]

Obtenemos la solución después de simplificar la fracción doble:

\[\begin{aligned} \dfrac{f(x+h)-f(x)} h&= \dfrac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h}=\dfrac{\frac{x-(x+h)}{(x+h)\cdot x}}{h}=\dfrac{\frac{x-x-h}{(x+h)\cdot x}}{h}=\dfrac{\frac{-h}{(x+h)\cdot x}}{h}\\ &= \dfrac{-h}{(x+h)\cdot x}\cdot \dfrac 1 h = \dfrac{-1}{(x+h)\cdot x}\end{aligned} \nonumber\]

Hasta el momento, no hemos mencionado el dominio y rango de las funciones definidas anteriormente. En efecto, a menudo no describiremos el dominio explícitamente sino que usaremos la siguiente convención.

Definición: Convención

A menos que se indique lo contrario, una función\(f\) tiene el dominio más grande posible, es decir, el dominio es el conjunto de todos los números reales\(x\) para los cuales\(f(x)\) es un número real bien definido. Nos referimos a esto como la convención estándar del dominio. (En particular, bajo esta convención, cualquier polinomio tiene el dominio\(\mathbb{R}\) de todos los números reales.)

El rango es el conjunto de todas las salidas\(f\) obtenidas por de las entradas (ver también la advertencia.)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Encuentra el dominio de cada una de las siguientes funciones.

1. \(f(x)=4x^3-2x+5\)
2. \(f(x)=|x|\)
3. \(f(x)=\sqrt{x}\)
4. \(f(x)=\sqrt{x-3}\)
5. \(f(x)=\dfrac 1 x\)
6. \(f(x)=\dfrac{x-2}{x^2+8x+15}\)
7. \ (f (x) =\ left\ {\ begin {array} {cl}
   x+1 &,\ text {for} 2<x\ leq 4\\
   2 x-1 &\ text {, for} 5\ leq x
   \ end {array}\ derecha.\)

Solución

1. No hay problema en llevar un número real\(x\) a cualquier potencia (positiva). Por lo tanto,\(f\) se define para todos los números reales\(x\), y el dominio se escribe como\(D=\mathbb{R}\).
2. Nuevamente, podemos tomar el valor absoluto para cualquier número real\(x\). El dominio es todo números reales,\(D=\mathbb{R}\).
3. La raíz cuadrada solo\(\sqrt{x}\) se define para\(x\geq 0\) (¡recuerda que todavía no estamos usando números complejos!). Así, el dominio es\(D=[0,\infty)\).
4. Nuevamente, la raíz cuadrada solo se define para números no negativos. Así, el argumento en la raíz cuadrada tiene que ser mayor o igual a cero:\(x-3\geq 0\). Resolviendo esto para\(x\) da

   \[x-3\geq 0 \quad\quad \stackrel {\text{(add $3$)}}\implies \quad\quad x\geq 3 \nonumber \]

   El dominio es por lo tanto,\(D=[3,\infty)\).

5. Se define una fracción siempre que el denominador no sea cero, de modo que en este caso\(\dfrac 1 x\) se define siempre que sea\(x\neq 0\). Por lo tanto el dominio es todo números reales excepto cero,\(D=\mathbb{R}-\{0\}\).
6. Nuevamente, necesitamos asegurarnos de que el denominador no se convierta en cero; sin embargo, no nos importa el numerador. El denominador es cero exactamente cuándo\(x^2+8x+15=0\). Resolver esto para\(x\) da:

   \[\begin{aligned} x^2+8x+15=0 & \implies & (x+3)\cdot(x+5)=0 \\ & \implies & x+3=0 \text{ or } x+5=0 \\ & \implies & x=-3 \text{ or } x=-5.\end{aligned} \nonumber \]

   El dominio es todo números reales excepto por\(-3\) y\(-5\), es decir\(D=\mathbb{R}-\{-5,-3\}\).

7. La función se define explícitamente para todos\(2<x\leq 4\) y\(5\leq x\). Por lo tanto, el dominio es\(D=(2,4]\cup [5,\infty)\).