3.3: Ejercicios

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Thomas Tradler and Holly Carley
CUNY New York City College of Technology via New York City College of Technology at CUNY Academic Works

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Para cada una de las siguientes funciones,

$f(x)=3x+1$
$f(x)=x^2-x$
$f(x)=\sqrt{x^2-9}$
$f(x)=\frac{1}{x}$
$f(x)=\frac{x-5}{x+2}$
$f(x)=-x^3$

calcular los valores de la función

$f(3)$
$f(5)$
$f(-2)$
$f(0)$
$f(\sqrt{13})$
$f(\sqrt{2}+3)$
$f(-x)$
$f(x+2)$
$f(x)+h$
$f(x+h)$

Contestar

1. $10$
2. $16$
3. $-5$
4. $1$
5. $3 \sqrt{13}+1$
6. $3 \sqrt{2}+10$
7. $-3 x+1$
8. $3 x+7$
9. $3 x+1+h$
10. $3 x+3 h+1$
1. $6$
2. $20$
3. $6$
4. $0$
5. $13-\sqrt{13}$
6. $8+5 \sqrt{2}$
7. $x^{2}+x$
8. $x^{2}+3 x+2$
9. $x^{2}-x+h$
10. $x^{2}+2 x h+h^{2}-x-h$
1. $0$
2. $4$
3. undefined
4. undefined
5. $2$
6. $\sqrt{2+6 \sqrt{2}}$
7. $\sqrt{x^{2}-9}$
8. $\sqrt{x^{2}+4 x-5}$
9. $\sqrt{x^{2}-9}+h$
10. $\sqrt{x^{2}+2 x h+h^{2}-9}$
1. $\dfrac{1}{3}$
2. $\dfrac{1}{5}$
3. $-\dfrac{1}{2}$
4. undefined
5. $\dfrac{\sqrt{13}}{13}$
6. $\dfrac{3-\sqrt{2}}{7}$
7. $-\dfrac{1}{x}$
8. $\dfrac{1}{x+2}$
9. $\dfrac{1+x h}{x}$
10. $\dfrac{1}{x+h}$
1. $\dfrac{-2}{5}$
2. $0$
3. undefined
4. $\dfrac{-5}{2}$
5. $\dfrac{\sqrt{13}-5}{\sqrt{13}+2}=\dfrac{23-7 \sqrt{13}}{9}$
6. $\dfrac{\sqrt{2}-2}{\sqrt{2}+5}=\dfrac{-12+7 \sqrt{2}}{23}$
7. $\dfrac{-x-5}{-x+2}$
8. $\dfrac{x-3}{x+4}$
9. $\dfrac{x-5+h x+2 h}{x+2}$
10. $\dfrac{x+h-5}{x+h+2}$
1. $-27$
2. $-125$
3. $8$
4. $0$
5. $-\sqrt{2197}$
6. $-45-29 \sqrt{2}$
7. $x^{3}$
8. $f(x+2)=-(x+2)^{3}$o en orden descendente$f(x+2)=-x^{3}-6 x^{2}-12 x-8$
9. $-x^{3}+h$
10. $-(x+h)^{3}$o$-x^{3}-3 x^{2} h-3 x h^{2}-h^{3}$

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Dejar$f$ ser la función definida por partes

\[f(x)=\left\{ \begin{matrix} x-5 & \text{, for}& -4<x< 3 \\ x^2 & \text{, for}& 3\leq x\leq 6 \end{matrix} \right. \nonumber \]

Declarar el dominio de la función.

Encuentra los valores de las funciones

$f(2)$
$f(5)$
$f(-3)$
$f(3)$

Contestar

$D=(-4,6]$
$-3$
$25$
$-8$
$9$

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Dejar$f$ ser la función definida por partes

\[f(x)=\left\{ \begin{matrix} |x|-x^2 & \text{, for}& x< 2 \\ 7 & \text{, for}& 2\leq x< 5 \\ x^2-4x+1 & \text{, for} & 5< x \end{matrix} \right. \nonumber \]

Declarar el dominio de la función.

Encuentra los valores de las funciones

$f(1)$
$f(-2)$
$f(3)$
$f(2)$
$f(5)$
$f(7)$

Contestar

$D=(-\infty, 5) \cup(5, \infty)$, o, alternativamente,$D=\mathbb{R}-\{5\}$
$0$
$-2$
$7$
$7$
undefined
$22$

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Encuentra el cociente de diferencia$\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ para las siguientes funciones:

$f(x)=5x$
$f(x)=2x-6$
$f(x)=x^2$
$f(x)=x^2+5x$
$f(x)=x^2+3x+4$
$f(x)=3-x^2$
$f(x)=x^2+4x-9$
$f(x)=3x^2-2x+7$
$f(x)=x^3$

Contestar

$5$
$2$
$2 x+h$
$2 x+5+h$
$2 x+3+h$
$-2 x-h$
$2 x+4+h$
$6 x-2+3 h$
$3 x^{2}+3 x h+h^{2}$

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Encuentra el cociente de diferencia$\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ para las siguientes funciones:

$f(x)=3x$
$f(x)=4x-7$
$f(x)=x^2-3x$
$f(x)=\dfrac{1}{x}$

Contestar

$3$
$4$
$x+a-3$
$\dfrac{-1}{a x}$

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Encuentra los dominios de las siguientes funciones.

$f(x)=x^2+3x+5$
$f(x)=|x-2|$
$f(x)=\sqrt{x-2}$
$f(x)=\sqrt{8-2x}$
$f(x)=\sqrt{|x+3|}$
$f(x)=\dfrac{1}{x+6}$
$f(x)=\dfrac{x-5}{x-7}$
$f(x)=\dfrac{x+1}{x^2-7x+10}$
$f(x)=\dfrac{x}{|x-2|}$
$f(x)= \begin{cases}|x| & \text { for } 1<x<2 \\ 2 x & \text { for } 3 \leq x\end{cases}$
$f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x-9}$
$f(x)=\dfrac{5}{\sqrt{x+4}}$

Contestar

$D=\mathbb{R}$todos los números reales
$D=\mathbb{R}$
$D=[2, \infty)$
$D=(-\infty, 4]$
$D=\mathbb{R}$
$D=\mathbb{R}-\{-6\}$
$D=\mathbb{R}-\{7\}$
$D=\mathbb{R}-\{2,5\}$
$D=\mathbb{R}-\{2\}$
$D=(1,2) \cup[3, \infty)$
$D=[0,9) \cup(9, \infty)$
$D=(-4, \infty)$

Ejercicio$\PageIndex{7}$

A continuación se presentan tres gráficas para las funciones$f$,$g$, y$h$.

$clipboard_e357281d7371539d367611eb6f194860f.png$

Encuentra el dominio y la gama de$f$.
Encuentra el dominio y la gama de$g$.
Encuentra el dominio y la gama de$h$.

Encuentre los siguientes valores de función:

$f(1)$
$f(2)$
$f(3)$
$f(4)$
$f(5)$
$f(6)$
$f(7)$
$g(0)$
$g(1)$
$g(2)$
$g(3)$
$g(4)$
$g(6)$
$g(13.2)$
$h(-2)$
$h(-1)$
$h(0)$
$h(1)$
$h(2)$
$h(3)$
$h(\sqrt{2})$

Contestar

dominio$D_{f}=[1,3) \cup[4,6]$ y rango$R_{f}=[1,3]$
$D_{g}=\mathbb{R}$y$R_{g}=[2,3]$
$D_{h}=(-2,0) \cup(0,2) \cup(2,3)$y$R_{h}=\{-1\} \cup(0,1]$
$1$
$3$
undefined
$2$
$2$
$3$
undefined
$2$
$2$
$3$
$2.5$
$2$
$2$
$2$
undefined
$1$
undefined
$-1$
undefined
undefined
$-1$

Ejercicio$\PageIndex{8}$

Utilice la prueba de línea vertical para determinar cuáles de las siguientes gráficas son las gráficas de funciones?

$clipboard_e01c9b5cdc69b21e91ca337e91789cd95.png$
$clipboard_e55e0164990bb9c8429617ddde82f6553.png$
$clipboard_edb2b720df9b9f9ae9f1c89e8ed9cfbb1.png$
$clipboard_e855824720648b8780cf7eee010c0b111.png$

Contestar

no es una función
esta es una función
no es una función
no es una función

Ejercicio$\PageIndex{9}$

Dejar$f$ ser la función dada por la siguiente gráfica.

$clipboard_e255b5a52aafa856630204e40870c3073.png$

¿De qué es el dominio$f$?
¿Cuál es el rango de$f$?
¿Para cuál$x$ es$f(x)=0$?
¿Para cuál$x$ es$f(x)=2$?
¿Para cuál$x$ es$f(x)\leq 1$?
¿Para cuál$x$ es$f(x)> 0$?
Encontrar$f(2)$ y$f(5)$.
Encuentra$f(2)+f(5)$.
Encuentra$f(2)+5$.
Encuentra$f(2+5)$.

Contestar

$D=(-3,4) \cup(4,7]$
$R=(-2,2]$
$x=-2$o$x=0$ o$x=7$
$x \in(4,5]$
$x \in(-3,-1] \cup[0,4) \cup[6,7]$
$x \in(-2,0) \cup(4,7)$
$f(2)=-1$,$f(5)=2$
$f(2)+f(5)=1$
$f(2)+5=4$
$f(2+5)=0$

Ejercicio$\PageIndex{10}$

El siguiente gráfico muestra el número de alumnos admitidos en una universidad durante los años 1995 a 2007.

$clipboard_e06ef0d4fc3ad4b62b1f05cc7a61b8e87.png$

¿Cuántos estudiantes fueron admitidos en el año 2000?
¿En qué años se admitieron más estudiantes?
¿En qué años subió más rápido el número de alumnos admitidos?
¿En qué año (s) disminuyó el número de alumnos admitidos?

Contestar

Aproximadamente 3,900 estudiantes fueron admitidos en el año 2000
La mayor cantidad de estudiantes ingresaron en 2007
En el año 2000, el número de alumnos admitidos subió más rápido.
En 2003 disminuyó el número de alumnos admitidos.

Ejercicio$\PageIndex{11}$

Considere la función descrita por la siguiente fórmula:

\[f(x)=\left\{ \begin{matrix} x^2+1 & \text{, for}& -2< x\leq 0 \\ x-1 & \text{, for}& 0<x\leq 2 \\ -x+4 & \text{, for} & 2<x\leq 5 \end{matrix} \right. \nonumber \]

¿Cuál es el dominio de la función$f$? Grafica la función$f$.

Contestar

dominio$D=(-2,5]$

gráfico:

$clipboard_eb3e7986e38bd1172af3b9fa33a35092d.png$

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)