4.2: Encontrar ceros, máximos y mínimos

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Thomas Tradler and Holly Carley
CUNY New York City College of Technology via New York City College of Technology at CUNY Academic Works

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

En esta sección, mostraremos cómo ubicar los máximos y mínimos locales de una función (picos y valles de su gráfica), y los puntos de intersección de dos gráficas. Además podremos usar la calculadora para encontrar las$x$ -intercepciones de una gráfica. Las$x$ -intercepciones se denominan comúnmente ceros o raíces de la función$f$. En otras palabras, un cero de una función$f$ es un número$x$ para el cual$f(x)=0$.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Grafica la ecuación$y=x^3-2x^2-4x+4$.

Encuentra puntos en la gráfica a través de la función de rastreo, y usando el menú de la tabla.
Aproximar los ceros de la función a través del menú calcular, es decir,$x-$ aproximar la (s) coordenada (s) del punto (s) donde la gráfica cruza el$x-$ eje.
Aproximar el máximo y mínimo (local) a través del menú de cálculo. (Un máximo o mínimo (local) también se llama extremo (local).)

Solución

Graficando la función en la ventana estándar da la siguiente gráfica:

$clipboard_e8f315044ef4b12c6e84693cc85e10cc3.png$

Presionando$\boxed {\text{trace} }$, podemos mover un cursor a la derecha e izquierda vía$\boxed {\triangleright }$ y$\boxed {\triangleleft }$. Podemos ver varios valores de función como se muestra a continuación:

$clipboard_eaf83cdbe77364835d37ffe6709487755.png$

Para la gráfica de la izquierda hemos mostrado el punto$(x,y)\approx$$(-.638,5.478)$, y para la gráfica de la derecha, hemos mostrado el punto$(x,y)\approx (2.128,-3.933)$.

Otra forma de encontrar valores de función es mirar el menú de la tabla presionando$\boxed {2\text{nd} }$$\boxed {\text{graph} }$:

$clipboard_e1f9e2872df0a35472d58c0c66d4a322a.png$

Vemos que se muestran$y$ los valores$x$ -para valores -específicos. Se pueden mostrar más valores pulsando$\boxed {\bigtriangleup }$ y$\boxed {\bigtriangledown }$. Además, los ajustes de la mesa se pueden cambiar en el menú de mesa pulsando. En particular, cambiando la configuración del “Indpnt” en el menú table-set de “Auto” a “Preguntar”, podemos tener valores específicos calculados en el menú de la tabla. Por ejemplo, a continuación, hemos calculado el valor de$y$ para la variable independiente$x$ establecida en$x=4$.

$clipboard_ee7bec29e95e0768e664ab12f99fd64ff.png$

Tenga en cuenta que la función$f$ tiene tres$x$ -intercepciones (los lugares en una gráfica se cruzan con el$x$ eje -eje). Se llaman los ceros de la función y se pueden aproximar con el TI-84. Tenemos que encontrar cada cero, uno a la vez. Para ello, necesitamos cambiar el menú de calcular$\boxed {2\text{nd} }$$\boxed {\text{trace} }$:

$clipboard_ed5946d1eeae91f9d08d8e95d52b2384c.png$

Presiona$\boxed {2}$ para encontrar un cero. Necesitamos especificar un límite izquierdo (usando las claves$\boxed {\triangleleft }$,$\boxed {\triangleright }$ y$\boxed {\text{enter} }$), es decir, un punto en la gráfica que está un poco a la izquierda del cero que buscamos. A continuación, también necesitamos especificar un límite derecho para nuestro cero, y también una “conjetura” que esté cerca del cero:

$clipboard_e4dc16f0e934c3de7474c3dd2cf40afbe.png$

El cero mostrado es aproximadamente en$x\approx -1.709$ (redondeado a la milésima más cercana).

De igual manera, también podemos aproximar los otros ceros usando el menú calcular$\boxed {2\text{nd} }$$\boxed {\text{trace} }$. Después de elegir límites inferiores, límites superiores y conjeturas, obtenemos:

$clipboard_e2bf7841d025be9536b2897884b7cb73a.png$

Los ceros están aproximadamente en$x\approx 0.806$ y$x\approx 2.903$.

El TI-84 también puede aproximar el máximo y mínimo de la función (los lugares en una gráfica donde hay un 'pico' o un 'valle'). Esto se hace nuevamente en el menú de calcular$\boxed {2\text{nd} }$$\boxed {\text{trace} }$:

$clipboard_e10cb23e1509dc03e0eb8c9a89b6b41c2.png$

Ahora, presiona$\boxed {3}$ para el mínimo. Después de especificar un límite izquierdo, un encuadernado a la derecha y una suposición, obtenemos la siguiente respuesta para nuestro mínimo:

$clipboard_e3d56472d31536b4440b59be66e3c2601.png$

El mínimo que se muestra es en$(1.9999985,-4)$. La respuesta real en tu calculadora puede ser diferente, dependiendo de los límites y la suposición elegida. Sin embargo, es importante tener en cuenta que el mínimo exacto está en$(x,y)=(2,-4)$, mientras que la calculadora solo proporciona una aproximación del mínimo!

De igual manera, también podemos aproximar el máximo en el menú de calcular$\boxed {2\text{nd} }$$\boxed {\text{trace} }$$\boxed {4}$. Después de elegir el límite inferior y superior, obtenemos:

$clipboard_ee7330b628d8fdb09fc2f7c3fe456a731.png$

Por lo tanto, el máximo es aproximadamente a$(x,y)\approx (-0.667, 5.481)$, después de redondear a la milésima más cercana.

Con esto concluye el ejemplo.

Nota

Siempre podemos volver a la pantalla de inicio pulsando salir, es decir$\boxed {2\text{nd} }$$\boxed {\text{mode} }$.

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Grafica la ecuación$y=x^4-x^3-4x^2+4x$.

Aproximar los ceros de la función a través del menú calcular.
Aproximar los máximos (locales) y los mínimos a través del menú calcular.
Calcular los ceros de la función a través de la función solve.

Solución

Primero, presione$\boxed {y= }$ e ingrese la función$y=x^4-x^3-4x^2+4x$. Encontramos los ceros usando ítem$2$ del menú calcular. Aquí están dos de los cuatro ceros:

$clipboard_e9e5e7025067ee0abb1ab679db1c19ebb.png$

Obsérvese, en particular, que el cero izquierdo tiene un$y$ valor de “$1.6$E”$-12$, es decir$y=1.6\cdot 10^{-12}=0.0000000000016$. El valor$x=-2$ es un cero real como se puede ver por cálculo directo, ¡mientras que la calculadora solo obtiene una aproximación!

Desde el menú de calcular$\boxed {2\text{nd} }$$\boxed {\text{trace} }$,, elementos$3$ y se$4$ puede utilizar para aproximar el máximo y los dos mínimos, (eligiendo un límite inferior, límite superior, y una conjetura cada vez):

$clipboard_e31de4c9e12563f8b1ee0925e88c73d11.png$

También hay un procedimiento no gráfico para calcular los ceros de la función$y=x^4-x^3-4x^2+4x$. Álgebraicamente, queremos encontrar un número$x$ para que$y=0$. En otras palabras:
\[0=x^4-x^3-4x^2+4x \nonumber \]

Presione el$\boxed {\text{math} }$ botón, desplácese hacia abajo hasta “Solver...” y presione la$\boxed {\text{enter} }$ tecla. Terminarás en una de las siguientes dos pantallas:

$clipboard_e2f1980a7bd1ea4be498764e5a87bb0e5.png$

Si obtuviste la pantalla a la derecha, presiona$\boxed {\bigtriangleup }$ para llegar a la pantalla de la izquierda. Ingresa la ecuación y presiona$\boxed {\text{enter} }$.

$clipboard_e9fef5f50b4c8dbf585e2f427715df740.png$

Ahora necesitamos especificar un número$X$ que es nuestra “suposición” para el cero. En otras palabras, la calculadora intentará identificar un cero que esté cerca de un número especificado$X$. Por ejemplo, podemos entrar$x=3$. Entonces, el comando solve se ejecuta pulsando$\boxed {\text{alpha} }$$\boxed {\text{enter} }$; (la$\boxed {\text{alpha} }$ tecla -da acceso a los comandos escritos en verde). Obtenemos el siguiente cero:

$clipboard_e3b2839b08d18e5f95fd855ef487bc46d.png$

Elegir otros valores para$x$ (por ejemplo$x=1.2$,$x=0.2$ y$x=-3$) produce los otros tres ceros después de presionar$\boxed {\text{alpha} }$$\boxed {\text{enter} }$.

$clipboard_e4bd2053d2305b46a9c74fcb3d47be741.png$

Tenga en cuenta que los ceros exactos son$x=2$,$x=1$,$x=0$, y$x=-2$, mientras que nuevamente la calculadora solo suministró una aproximación!

El solucionador de ecuaciones utilizado en el último ejemplo (parte (c)) es un método ligeramente más rápido para encontrar ceros que usar la gráfica y el menú calcular. No obstante, la desventaja es que primero necesitamos tener algunos conocimientos sobre los ceros (¡como cuántos ceros hay!) antes de que podamos usar efectivamente esta herramienta. Generalmente, la gráfica y el menú de cálculo nos darán una idea mucho mejor de dónde se encuentran los ceros. Por esta razón, recomendamos utilizar el menú de calcular como método principal para encontrar ceros.

Ejemplo$\PageIndex{3}$

Resuelve la ecuación. Aproxime su respuesta a la centésima más cercana.

$x^{4}+3 x^{2}-5 x-7=0$
$x^{3}-4=7 x-3^{x}$

Solución

Tenemos que encontrar todos los números$x$ para que$x^4+3x^2-5x-7=0$. Tenga en cuenta, que estos son precisamente los ceros de la función$f(x)=x^4+3x^2-5x-7$, ya que los ceros son los valores$x$ para los cuales$f(x)=0$. Graficando la función$f(x)=x^4+3x^2-5x-7$ muestra que hay dos ceros.

$clipboard_e87308ce23bae4ac3f5761b462a0a58e5.png$

Usando el menú de calcular, podemos identificar ambos ceros.

$clipboard_e884c34956f8c0ccc00b9debb14a94a29.png$

La respuesta es por lo tanto,$x\approx -0.85$ y$x\approx 1.64$ (redondeada a la centésima más cercana).

Utilizamos el mismo método que en la parte (a). Para ello reescribimos la ecuación para que un lado se convierta en cero: Ahora\[x^3-4-7x+3^x=0 \nonumber \] podemos graficar la función$f(x)=x^3-4-7x+3^x$ y encontrar sus ceros.

$clipboard_e47466212c4f71cdc0d4bcb0bc39194c8.png$

Vemos que hay tres soluciones,$x\approx -2.30$,$x\approx -0.51$, y$x\approx 2.06$.

Por un método similar al anterior, también podemos encontrar los puntos de intersección de dos gráficas dadas.

Ejemplo$\PageIndex{4}$

Grafica las ecuaciones:$y=x^2-3x+2$ y$y=x^3+2x^2-1$.

Aproximar el punto de intersección de las dos gráficas a través del menú Calcular.
Calcular el punto de intersección de las dos gráficas a través de la función solve.

Solución

Primero, ingrese las dos ecuaciones para Y1 e Y2 después de presionar$\boxed {y= }$ la tecla. Ambas gráficas se muestran en la ventana gráfica.

$clipboard_e847baba2f5608fa404fc8888caedb66d.png$

El procedimiento para encontrar la intersección de las gráficas para Y1 e Y2 es similar a encontrar mínimos, máximos o ceros. En el menú calcular,$\boxed {2\text{nd} }$$\boxed {\text{trace} }$, elija intersectar (ítem 5). Elija la primera curva Y1 (con$\boxed {\bigtriangleup }$,$\boxed {\bigtriangledown }$ y$\boxed {\text{enter} }$)) y la segunda curva Y2. Finalmente elija una suposición del punto de intersección (con$\boxed {\triangleleft }$,$\boxed {\triangleright }$ y$\boxed {\text{enter} }$)). La intersección se aproxima como$(x,y)\approx (.71134574,.37197554)$:

$clipboard_eb3efd78a0008df9b7758c9e4ba23d05a.png$

La intersección es el punto donde$y=x^3+2x^2-1$ coinciden los dos$y$ valores$y=x^2-3x+2$ y. Por lo tanto, queremos encontrar un$x$ con

\[x^2-3x+2=x^3+2x^2-1 \nonumber \]

El solucionador de ecuaciones TI-84 requiere una ecuación con cero a la izquierda. Por lo tanto, restamos el lado izquierdo, y obtenemos:

\[\begin{aligned} \text{(subtract $(x^2-3x+2)$)} & \implies & 0 = (x^3+2x^2-1)-(x^2-3x+2) \\ & \implies & 0 = \,\, x^3+2x^2-1\,\,\, -\,\, x^2+3x-2 \\ & \implies & 0 = x^3+x^2+3x-3\end{aligned} \nonumber \]

$0=x^3+x^2+3x-3$Entrando en el solucionador de ecuaciones, y eligiendo una aproximación$x=1$ para X, la calculadora resuelve esta ecuación (usando$\boxed {\text{alpha} }$$\boxed {\text{enter} }$) de la siguiente manera:

$clipboard_e2b83c4d751207d4bd6f7d952fe92e9aa.png$

La aproximación proporcionada por la calculadora es$x\approx .71134573927\dots$.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Nota

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)