7.3: Ejercicios

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Utilice la prueba de línea horizontal para determinar si la función es uno a uno.

1. 
2. 
3. \(f(x)=x^2+2x+5\)
4. \(f(x)=x^2-14 x+29\)
5. \(f(x)=x^3-5x^2\)
6. \(f(x)=\dfrac{x^2}{x^2-3}\)
7. \(f(x)=\sqrt{x+2}\)
8. \(f(x)=\sqrt{|x+2|}\)

Contestar

1. no (es decir: la función no es uno-a-uno)
2. si
3. no
4. no
5. no
6. no
7. si
8. no

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Encuentra la inversa de la función\(f\) y comprueba tu solución.

1. \(f(x)=4x+9\)
2. \(f(x)=-8x-3\)
3. \(f(x)=\sqrt{x+8}\)
4. \(f(x)=\sqrt{3x+7}\)
5. \(f(x)=6\cdot \sqrt{-x-2}\)
6. \(f(x)=x^3\)
7. \(f(x)=(2x+5)^3\)
8. \(f(x)=2\cdot x^3+5\)
9. \(f(x)=\dfrac{1}{x}\)
10. \(f(x)=\dfrac{1}{x-1}\)
11. \(f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x-2}}\)
12. \(f(x)=\dfrac{-5}{4-x}\)
13. \(f(x)=\dfrac{x}{x+2}\)
14. \(f(x)=\dfrac{3x}{x-6}\)
15. \(f(x)=\dfrac{x+2}{x+3}\)
16. \(f(x)=\dfrac{7-x}{x-5}\)
17. \(f\)dado por la tabla:\ (\ begin {array} {|c||c|c|c|c|c|c|c|}
    \ hline x & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12\
    \ hline\ hline\ hline f (x) & 3 & 7 & 1 & 8 & 5 & 2\
    \ hline
    \ end {array}\)

Contestar

1. \(f^{-1}(x)=\dfrac{x-9}{4}\)
2. \(f^{-1}(x)=-\dfrac{x+3}{8}\)
3. \(f^{-1}(x)=x^{2}-8\)
4. \(f^{-1}(x)=\dfrac{x^{2}-7}{3}\)
5. \(f^{-1}(x)=-\left(\dfrac{x}{6}\right)^{2}-2=\dfrac{-x^{2}-72}{36}\)
6. \(f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}\)
7. \(f^{-1}(x)=\dfrac{\sqrt[3]{x}-5}{2}\)
8. \(f^{-1}(x)=\sqrt[3]{\dfrac{x-5}{2}}\)
9. \(f^{-1}(x)=\dfrac{1}{x}+1=\dfrac{1+x}{x}\)
10. \(f^{-1}(x)=\left(\dfrac{1}{x}\right)^{2}+2=\dfrac{1+2 x^{2}}{x^{2}}\)
11. \(f^{-1}(x)=\dfrac{5}{y}+4=\dfrac{5+4 y}{y}\)
12. \(f^{-1}(x)=\dfrac{5}{y}+4=\dfrac{5+4 y}{y}\)
13. \(f^{-1}(x)=\dfrac{2 x}{1-x}\)
14. \(f^{-1}(x)=\dfrac{6 x}{x-3}\)
15. \(f^{-1}(x)=\dfrac{2-3 x}{x-1}\)
16. \(f^{-1}(x)=\dfrac{5 x+7}{x+1}\)
17. \ (\ begin {array} {|c||c|c|c|c|c|c|c|}
    \ hline x & 3 & 7 & 1 & 8 & 5 & 2\
    \ hline\ hline\ hline f^ {-1} (x) & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12\
    \ hline
    \ end {array}\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Restringir el dominio de\(f\) la función de tal manera que\(f\) se convierta en una función uno a uno. Encuentra la inversa de\(f\) con el dominio restringido.

1. \(f(x)=x^2\)
2. \(f(x)=(x+5)^2+1\)
3. \(f(x)=|x|\)
4. \(f(x)=|x-4|-2\)
5. \(f(x)=\dfrac{1}{x^2}\)
6. \(f(x)=\dfrac{-3}{(x+7)^2}\)
7. \(f(x)=x^4\)
8. \(f(x)=\dfrac{(x-3)^4}{10}\)

Contestar

1. restringir al dominio\(D=[0, \infty)\) da la inversa\(f^{-1}(x)=\sqrt{x}\)
2. restringir al dominio\(D=[-5, \infty)\) da la inversa\(f^{-1}(x)=\sqrt{x-1}-5\)
3. restringir al dominio\(D=[0, \infty)\) da la inversa\(f^{-1}(x)=x\)
4. restringir al dominio\(D=[4, \infty)\) da la inversa\(f^{-1}(x)=x+6\)
5. restringir al dominio\(D=[0, \infty)\) da la inversa\(f^{-1}(x)=\sqrt{\dfrac{1}{x}}\)
6. restringir al dominio\(D=[-7, \infty)\) da la inversa\(f^{-1}(x)=\sqrt{-\dfrac{3}{x}}-7\)
7. restringir al dominio\(D=[0, \infty)\) da la inversa\(f^{-1}(x)=\sqrt[4]{x}\)
8. restringir al dominio\(D=[3, \infty)\) da la inversa\(f^{-1}(x)=3+\sqrt[4]{10 x}\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Determinar si las siguientes funciones\(f\) y\(g\) son inversas entre sí.

1. \(f(x)=x+3, \quad g(x)=x-3\),
2. \(f(x)=-x-4, \quad g(x)=4-x\),
3. \(f(x)=2x+3, \quad g(x)=x-\dfrac{3}{2}\),
4. \(f(x)=6x-1, \quad g(x)=\dfrac{x+1}{6}\),
5. \(f(x)=x^3-5, \quad g(x)= 5+\sqrt[3]{x}\),
6. \(f(x)=\dfrac{1}{x-2}, \quad g(x)=\dfrac{1}{x}+2\).

Contestar

1. sí (es decir: las funciones f y g son inversas entre sí)
2. no
3. no
4. si
5. no
6. si

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Dibuja la gráfica de la inversa de la función dada a continuación.

1. 
2. 
3. 
4. \(f(x)=\sqrt{x}\)
5. \(f(x)=x^3-4\)
6. \(f(x)=2x-4\)
7. \(f(x)=2^x\)
8. \(f(x)=\dfrac{1}{x-2}\)para\(x>2\)
9. \(f(x)=\dfrac{1}{x-2}\)para\(x<2\)

Contestar

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9.