8: Dividir polinomios
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Comenzamos ahora nuestra discusión de clases específicas de ejemplos de funciones. La primera clase de funciones que discutimos son polinomios y funciones racionales. Recordemos primero la definición de polinomios y funciones racionales.
Un monomio es un número, una variable o un producto de números y variables. Un polinomio es una suma (o diferencia) de monomios.
Ejemplos de monomios y polinomios.
Solución
Los siguientes son ejemplos de monomios:
\[5,\quad x,\quad 7x^2 y,\quad -12 x^3y^2 z^4, \quad\sqrt{2}\cdot a^3 n^2 x y \nonumber \]
Los siguientes son ejemplos de polinomios:
\[x^2+3x-7,\quad 4x^2y^3+2x+z^3+4mn^2,\quad -5x^3-x^2-4x-9, \quad 5x^2y^4 \nonumber \]
En particular, cada monomio es también un polinomio.
Nos interesan principalmente los polinomios en una variable\(x\), y los consideramos como funciones. Por ejemplo,\(f(x)=x^2+3x-7\) es tal función.
Un polinomio es una función\(f\) de la forma
\[f(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\dots +a_2 x^2+ a_1 x + a_0 \nonumber \]
para algunos números reales (o complejos)\(a_0, a_1,\dots, a_n\). El dominio de un polinomio\(f\) es todo números reales (vea nuestra definición estándar de convención).
Los números\(a_0, a_1,\dots, a_n\) se llaman coeficientes. Para cada uno\(k\), el número\(a_k\) es el coeficiente de\(x^k\). El número\(a_n\) se llama coeficiente principal y\(n\) es el grado del polinomio.
Los ceros de un polinomio suelen denominarse raíces. Por lo tanto\(x\) es una raíz de un polinomio\(f\) precisamente cuando\(f(x)=0\).
Una función racional es una fracción de dos polinomios\(f(x)=\dfrac{g(x)}{h(x)}\), donde\(g(x)\) y\(h(x)\) son ambos polinomios. El dominio de\(f\) es todos los números reales para los que el denominador no\(h(x)\) es cero:
\[D_f\,\,=\,\,\{\,\, x \,\,| \,\, h(x)\neq 0 \,\, \} \nonumber \]
Los siguientes son ejemplos de funciones racionales:
\[f(x)=\dfrac{-3x^2+7x-5}{2x^3+4x^2+3x+1}, \quad f(x)=\dfrac{1}{x}, \quad f(x)=-x^2+3x+5 \nonumber \]
- 8.1: División larga
- Ahora mostramos cómo dividir dos polinomios. El método es similar a la división larga de los números naturales.