9.1: Gráficas de polinomios
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\[f(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\dots +a_2 x^2+ a_1 x + a_0 \nonumber \]
Ya sabemos por la Sección 2.1, que las gráficas de polinomios\(f(x)=ax+b\) de grado\(1\) son líneas rectas.
Los polinomios de grado\(1\) tienen una sola raíz.
También es fácil bosquejar las gráficas de funciones\(f(x)=x^n\).
Graficando\(y=x^2\),\(y=x^3\)\(y=x^4\),\(y=x^5\),, obtenemos:
A partir de esto, vemos que la forma de la gráfica de\(f(x)=x^n\) depende de\(n\) ser par o impar.
Ahora hacemos algunas observaciones sobre gráficas de polinomios generales de grados\(2\),\(3\),\(4\)\(5\), y, más generalmente, de cualquier grado\(n\). En particular, nos interesará el número de raíces y el número de extrema (es decir, el número de máximos o mínimos) de la gráfica de un polinomio\(f\).
Dejar\(f(x)=ax^2+bx+c\) ser un polinomio de grado\(2\). La gráfica de\(f\) es una parábola.
- \(f\)tiene como máximo\(2\) raíces. \(f\)tiene un extremo (es decir, un máximo o mínimo).
- Si\(a>0\) entonces\(f\) se abre hacia arriba, si\(a<0\) entonces\(f\) se abre hacia abajo.
Dejar\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) ser un polinomio de grado\(3\). La gráfica puede cambiar su dirección como máximo dos veces.
- \(f\)tiene como máximo\(3\) raíces. \(f\)tiene a lo sumo\(2\) extrema.
- Si\(a>0\) entonces\(+\infty\) se\(f(x)\) acerca cuando se\(x\) acerca\(+\infty\) (es decir,\(f(x)\) se hace grande cuando\(x\) se hace grande), y\(f(x)\) se acerca\(-\infty\) cuando se\(x\) acerca\(-\infty\). Si\(a<0\) entonces se\(f(x)\) acerca\(-\infty\) cuando se\(x\) acerca\(+\infty\), y\(+\infty\) se\(f(x)\) acerca cuando se\(x\) acerca\(-\infty\).
Arriba, tenemos una primera instancia de un polinomio de grado\(n\) que “cambia su dirección” una vez más que un polinomio de un grado menor\(n-1\). A continuación, damos ejemplos de este fenómeno para grados superiores también.
Dejar\(f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\) ser un polinomio de grado\(4\).
- \(f\)tiene como máximo\(4\) raíces. \(f\)tiene a lo sumo\(3\) extrema. Si\(a>0\) entonces\(f\) se abre hacia arriba, si\(a<0\) entonces\(f\) se abre hacia abajo.
Dejar\(f\) ser un polinomio de grado\(5\).
- \(f\)tiene como máximo\(5\) raíces. \(f\)tiene a lo sumo\(4\) extrema. Si\(a>0\) entonces se\(f(x)\) acerca\(+\infty\) cuando se\(x\) acerca\(+\infty\), y\(-\infty\) se\(f(x)\) acerca cuando se\(x\) acerca\(-\infty\). Si\(a<0\) entonces se\(f(x)\) acerca\(-\infty\) cuando se\(x\) acerca\(+\infty\), y\(+\infty\) se\(f(x)\) acerca cuando se\(x\) acerca\(-\infty\).
- Dejar\(f(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\dots +a_2 x^2+ a_1 x + a_0\) ser un polinomio de grado\(n\). Entonces\(f\) tiene como máximo\(n\) raíces, y como mucho\(n-1\) extrema.
- Asumir que el grado de\(f\) es parejo\(n=2, 4, 6, \dots\). Si\(a_n>0\), entonces el polinomio se abre hacia arriba. Si\(a_n<0\) entonces el polinomio se abre hacia abajo.
- Supongamos que el grado de\(f\) es impar,\(n=1, 3, 5, \dots\). Si\(a_n>0\), entonces se\(f(x)\) acerca\(+\infty\) cuando se\(x\) acerca\(+\infty\), y\(f(x)\) se acerca\(-\infty\) como\(x\) enfoques\(-\infty\). Si\(a_n<0\), entonces se\(f(x)\) acerca\(-\infty\) cuando se\(x\) acerca\(+\infty\), y\(f(x)\) se acerca\(+\infty\) como\(x\) enfoques\(-\infty\).
- El dominio de un polinomio\(f\) es todo números reales, y\(f\) es continuo para todos los números reales (no hay saltos en la gráfica). La gráfica de no\(f\) tiene asíntotas horizontales ni verticales, ni discontinuidades (saltos en la gráfica), ni esquinas. Además,\(f(x)\) se acerca\(\pm \infty\) cuando se\(x\) acerca\(\pm \infty\). Por lo tanto, las siguientes gráficas no pueden ser gráficas de polinomios.
¿Cuáles de las siguientes gráficas podrían ser las gráficas de un polinomio? Si la gráfica pudiera ser efectivamente una gráfica de un polinomio entonces determinar un posible grado del polinomio.
Solución
- Sí, esto podría ser un polinomio. El grado podría ser, por ejemplo,\(4\).
- No, ya que la gráfica tiene un poste.
- Sí, esto podría ser un polinomio. Un posible grado sería grado\(3\).
- No, ya que la gráfica tiene una esquina.
- No, ya que\(f(x)\) no se acerca\(\infty\) ni\(-\infty\) como\(x\) enfoques\(\infty\). (De hecho\(f(x)\) se aproxima\(0\) como\(x\) enfoques\(\pm\infty\) y decimos que la función (o grafo) tiene una asíntota horizontal\(y=0\).)
Identificar las gráficas de los polinomios en (a), (b) y (c) con las funciones (i), (ii) y (iii).
- \(f(x)=-x^3+9x^2-27x+29\)
- \(f(x)=-x^2+6x-7\)
- \(f(x)=x^4-12x^3+54x^2-108x+83\)
Solución
La única función de grado impar es (i) y por lo tanto debe corresponder a la gráfica (c). Para (ii), dado que el coeficiente inicial es negativo, sabemos que la función se abre hacia abajo, de manera que corresponde a la gráfica (a). Finalmente (iii) se abre hacia arriba, ya que el coeficiente principal es positivo, de manera que su gráfica es (b).
Al graficar una función, necesitamos asegurarnos de dibujar la función en una ventana que exprese todas las características interesantes de la gráfica. Más precisamente, debemos asegurarnos de que la gráfica incluya todas las partes esenciales de la gráfica, como todas las intercepciones (tanto\(x\) -intercepciones como\(y\) -interceptar), todas las raíces, todas las asíntotas (esto se discutirá en la siguiente parte), y el comportamiento a largo plazo de la función (así es como se comporta la función cuando se\(x\) acerca\(\pm \infty\)). También queremos incluir todos los extremos (es decir, todos los máximos y mínimos) de la función.
Gráfica de la función dada con el TI-84. Incluye todos los extremos e intercepciones de la gráfica en tu ventana de visualización.
- \(f(x)=-x^3+26x^2-129x+175\)
- \(f(x)=.1x^4-2.4x^2+6.4x-35\)
- \(f(x)=-5x^3+75x^2-374.998x+630\)
- \(f(x)=-.01x^4+.4x^3+.0025x^2-160x+1600\)
Solución
- El gráfico en la ventana estándar se ve de la siguiente manera:
No obstante, dado que la función es de grado\(3\), ésta no puede ser la gráfica completa, como\(f(x)\) tiene que acercarse\(-\infty\) cuando se\(x\) acerca\(\infty\). Alejar el zoom y volver a escalar apropiadamente para la siguiente configuración de la siguiente gráfica.
- El gráfico en la ventana estándar se dibuja a la izquierda de abajo. Después de reescalar a\(-10\leq x\leq 10\) y\(-100 \leq y\leq 30\) obtenemos la gráfica de la derecha.
- El gráfico en la ventana estándar se dibuja a la izquierda. Acercando a la parte interesante de la gráfica, obtenemos la gráfica de la derecha. (Abajo, hemos elegido una ventana de\(4.94\leq x\leq 5.06\) y\(5.00995 \leq y\leq 5.01005\).)
- La ventana estándar (ver gráfica izquierda) muestra un sistema de coordenadas vacío sin ninguna parte de la gráfica. Sin embargo, alejando\(-30\leq x\leq 40\) y\(-1000 \leq y\leq 4000\), obtenemos la gráfica media. Hay otra parte interesante de la gráfica que se muestra a la derecha, proveniente del zoom a la meseta de la derecha (aquí se muestra en\(19.2\leq x\leq 20.8\) y\(0.9 \leq y\leq 1.1\)).
