10.1: Sección opcional- El teorema de la raíz racional

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Considera la ecuación$10x^3-6x^2+5x-3=0$. $x$Sea una solución racional de esta ecuación,$x=\dfrac p q$ es decir, un número racional tal que

$$10\cdot\Big(\dfrac p q\Big)^3-6\cdot\Big(\dfrac p q\Big)^2+5\cdot\dfrac p q-3=0 \nonumber$$

Suponemos que$x=\dfrac p q$ está completamente reducido, es decir,$p$ y no$q$ tenemos factores comunes que puedan utilizarse para cancelar el numerador y denominador de la fracción$\dfrac p q$. Ahora, simplificando la ecuación anterior, y combinando términos, obtenemos:

$$\begin{aligned} && 10\cdot\dfrac {p^3} {q^3}-6\cdot\dfrac {p^2} {q^2}+5\cdot\dfrac p q-3 = 0\\ \text{(multiply by $q^3$)} &\implies & 10 p^3-6p^2q+5pq^2-3q^3 =0\\ \text{(add $3q^3$)} &\implies & 10 p^3-6p^2q+5pq^2=3q^3 \\ \text{(factor $p$ on the left)} &\implies & p\cdot(10 p^2-6pq+5q^2)=3q^3 \end{aligned} \nonumber$$

Por lo tanto,$p$ es un factor de$3q^3$ (siendo el otro factor$(10 p^2-6pq+5q^2)$). Ya que$p$ y no$q$ tienen factores comunes,$p$ debe ser un factor de$3$. Es decir,$p$ es uno de los siguientes enteros:$p=+1, +3, -1, -3$

Del mismo modo a partir de$10 p^3-6p^2q+5pq^2-3q^3 =0$, podemos escribir

$$\begin{aligned} \text{(add $+6p^2q-5pq^2+3q^3 $)} &\implies & 10 p^3=6p^2q-5pq^2+3q^3 \\ \text{(factor $q$ on the right)} &\implies & 10 p^3=(6p^2-5pq+3q^2)\cdot q \end{aligned}$$

Ahora,$q$ debe ser un factor de$10p^3$. Ya que$q$ y no$p$ tienen factores comunes,$q$ debe ser un factor de$10$. En otras palabras,$q$ es uno de los siguientes números:$q=\pm1, \pm 2, \pm 5, \pm 10$. Armando esto con las posibilidades para$p=\pm 1, \pm 3$, vemos que todas las raíces racionales posibles son las siguientes:

$$\pm\dfrac{1}{1},\quad \pm\dfrac{1}{2},\quad \pm\dfrac{1}{5},\quad \pm\dfrac{1}{10},\quad \pm\dfrac{3}{1},\quad \pm\dfrac{3}{2},\quad \pm\dfrac{3}{5},\quad \pm\dfrac{3}{10} \nonumber$$

La observación en el ejemplo anterior se mantiene para una ecuación polinómica general con coeficientes enteros.

Observación: Teorema de Raíz Racional

Considera la ecuación $$a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots + a_1 x + a_0=0 \label{EQnthorder}$$

donde cada coeficiente$a_n, a_{n-1},\dots, a_0$ es un número entero y$a_0\neq 0$,$a_n\neq 0$. Supongamos que$x=\dfrac p q$ es una solución de$\ref {EQnthorder}$ y la fracción$x=\dfrac p q$ se reduce por completo. Entonces$a_0$ es un múltiplo entero de$p$, y$a_n$ es un múltiplo entero de$q$.

Por lo tanto, todas las posibles soluciones racionales de$\ref {EQnthorder}$ son fracciones$x=\dfrac p q$ donde$p$ es un factor de$a_0$ y$q$ es un factor de$a_n$.

Podemos usar esta observación para encontrar buenos candidatos para las raíces de un polinomio dado.

Ejemplo$\PageIndex{2}$

1. Encuentra todas las raíces racionales de$f(x)=7x^3+x^2+7x+1$.
2. Encuentra todas las raíces reales de$f(x)=2x^3+11x^2-2x-2$.
3. Encuentra todas las raíces reales de$f(x)=4x^4-23x^3-2x^2-23x-6$.

Solución

1. Si$x=\dfrac p q$ es una raíz racional, entonces$p$ es un factor de$1$, es decir$p=\pm1$, y$q$ es un factor de$7$, es decir$q=\pm 1, \pm 7$. Por lo tanto, los candidatos a las raíces racionales son$x=\pm \dfrac 1 1, \pm \dfrac 1 7$. Para ver cuáles de estos candidatos son efectivamente raíces de$f$ conectamos estos números a$f$ través de la calculadora. Obtenemos lo siguiente:

Tenga en cuenta que ingresamos el$x$ -valor como una fracción “$(-)1/7$” a la derecha. La única raíz entre$\pm 1, \pm \dfrac 1 7$ es$x=-\dfrac 1 7$.

2. Necesitamos identificar todas las raíces reales de$f(x)=2x^3+11x^2-2x-2$. En general, es una tarea bastante difícil encontrar una raíz de un polinomio de grado$3$, de manera que será útil si podemos encontrar primero las raíces racionales. Si$x=\dfrac p q$ es una raíz racional entonces$p$ es un factor de$-2$, es decir$p=\pm 1, \pm 2$, y$q$ es un factor de$2$, es decir$q=\pm 1, \pm 2$. Las posibles raíces racionales$x=\dfrac p q$ de$f$ son: $$\pm 1, \quad \pm 2, \quad \pm \dfrac 1 2 \nonumber$$ Usando la calculadora, vemos que la única raíz racional es$x=\dfrac 1 2$.

Por lo tanto, por el teorema factorial (Observación Resto), vemos que$\left (x-\dfrac 1 2 \right )$ es un factor de$f$, es decir$f(x)=q(x)\cdot \left (x-\dfrac 1 2 \right )$. Para evitar fracciones en la división larga, reescribimos esto $$f(x)=q(x)\cdot \left (x-\dfrac 1 2 \right )=q(x)\cdot \dfrac{2x-1}{2}=\dfrac{q(x)}2 \cdot(2x-1) \nonumber$$ para que podamos dividir$f(x)$ por$(2x-1)$ en lugar de$\left (x-\dfrac 1 2 \right )$ (tenga en cuenta que esto no se puede hacer con división sintética). Obtenemos el siguiente cociente.

Por lo tanto$f(x)=(x^2+6x+2)(2x-1)$,, y cualquier raíz de$f$ es una raíz de$x^2+6x+2$ o de$2x-1$. Sabemos que la raíz de$2x-1$ es$x=\dfrac 1 2$, y eso no$x^2+6x+2$ tiene otras raíces racionales. Sin embargo, podemos identificar todas las demás raíces reales de$x^2+6x+2$ vía la fórmula cuadrática, (ver Teorema para la Fórmula Cuadrática).

$$\begin{aligned} x^2+6x+2=0 \quad \implies \quad x_{1/2} & = & \dfrac{-6\pm\sqrt{6^2-4\cdot 1\cdot 2}}{2}\\ &=& \dfrac{-6\pm\sqrt{36-8}}{2}=\dfrac{-6\pm\sqrt{28}}{2}\\ &=& \dfrac{-6\pm\sqrt{4\cdot 7}}{2}=\dfrac{-6\pm2\sqrt{7}}{2}\\ &=& -3\pm\sqrt{7}\end{aligned} \nonumber$$

Por lo tanto, las raíces de$f$ son precisamente las siguientes $$x_1=-3+\sqrt{7}, \quad x_2=-3-\sqrt{7}, \quad x_3=\dfrac 1 2 \nonumber$$

3. Primero encontramos las raíces racionales$x=\dfrac p q$ de$f(x)=4x^4-23x^3-2x^2-23x-6$. Ya que$p$ es un factor de$-6$ ello debe ser$p=\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$, y ya que$q$ es un factor de$4$ ello debe ser$q=\pm 1, \pm 2, \pm 4$. Todos los candidatos a las raíces racionales$x=\dfrac p q$ son los siguientes (donde excluimos las formas repetidas de escritura$x$): $$\pm 1,\quad \pm 2,\quad \pm 3,\quad \pm 6,\quad \pm \dfrac 1 2,\quad \pm \dfrac 3 2,\quad \pm \dfrac 1 4,\quad \pm \dfrac 3 4 \nonumber$$ Comprobando a todos estos candidatos con la calculadora produce exactamente dos raíces racionales:$x=6$ y$x=-\dfrac 1 4$. Por lo tanto, podemos dividir$f(x)$ por ambos$(x-6)$ y por$\left(x+\dfrac 1 4 \right)$ sin resto. Para evitar fracciones, usamos el término$4\cdot \left(x+\dfrac 1 4 \right)=(4x+1)$ en lugar de$\left(x+\dfrac 1 4 \right)$ para nuestro factor de$f$. Por lo tanto,$f(x)=q(x)\cdot (x-6)\cdot (4x+1)$. El cociente$q(x)$ se determina realizando una división larga por$(x-6)$ y luego otra división larga por$(4x+1)$, o alternativamente por solo una división larga $$(x-6)\cdot (4x+1)=4x^2+x-24x-6=4x^2-23x-6 \nonumber$$ Dividiendo$f(x)=4x^4-23x^3-2x^2-23x-6$ por$4x^2-23x-6$ produce el cociente$q(x)$:

Obtenemos la expresión factorizada para$f(x)$ as$f(x)= (x^2+1)(4x+1)(x-6)$. Las únicas raíces reales que nos quedan son las de$x^2+1$. Sin embargo, no $$x^2+1=0 \quad\implies \quad x^2=-1 \nonumber$$ tiene una solución real. En otras palabras, solo hay soluciones complejas de$x^2=-1$, que son$x=i$ y$x=-i$ (discutiremos soluciones complejas con más detalle en la siguiente sección). Dado que el problema requiere que encontremos las raíces reales de$f$, nuestra respuesta es que las únicas raíces reales son$x_1=6$ y$x_2=-\dfrac 1 4$.