10.2: El teorema fundamental del álgebra
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Hemos visto en Observación (Resto) que cada raízc de un polinomiof(x) da un factor(x−c) def(x). Hay un teorema que dice algo sobre la existencia de raíces y factores pero tendremos que discutir brevemente los números complejos antes de afirmar ese teorema.
Como se indicó anteriormente, sabemos que no hay un número real que satisfagax2=−1. Entoncesi definimos como una solución a esta ecuación. Este noi es un número real sino un nuevo tipo de número llamado número complejo. Podemos pensar eni como√−1. Ahora podemos considerar números de la formaa+ib dondea yb son números reales. Los números de esta forma constituye el conjunto de números complejos, denotados porC. ase llama la parte real yb se llama la parte imaginaria del número complejoa+ib. Podemos sumar dos números complejos sumando sus partes real e imaginaria para formar las partes real e imaginaria de la suma. Podemos multiplicar dos números complejos por distribución ordinaria (FOIL) luego usar la propiedad quei2=−1.
Tenemos
(2−3i)−(4+3i)=(2−4)+(−3−3)i=−2−6i
y
(2−3i)(4+3i)=8+6i−12i−9i2=8−6i−9(−1)=17−6i
Podemos ver escribiendo, por ejemplo,√−6=i√6, que estos números surgen naturalmente como raíces de ecuaciones cuadráticas. ¡Pero hay más! El siguiente teorema fundamental del álgebra garantiza la existencia de raíces de cualquier polinomio.
Dejarf(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0, ser un polinomio no constante. Entonces existe un número complejoc que es una raíz def.
Hagamos dos observaciones sobre el teorema fundamental del álgebra para aclarar la afirmación del teorema.
- En el Teorema anterior no especificamos qué tipo de coeficientesa0,…an se permiten para que el teorema mantenga. De hecho, para ser precisos, el teorema fundamental del álgebra establece que para cualquier número complejoa0,…an, el polinomiof(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0 tiene una raíz.
- En general puede que no exista una raíz realc de un polinomio dado, pero la raíz sóloc puede ser un número complejo. Por ejemplo, considerarf(x)=x2+1, y considerar las raícesc def, es decirc2+1=0. Entonces, para cualquier número realc, siempre lo hemos hechoc2≥0, así quef(c)=c2+1≥1, para que no pueda haber una raíz realc def. No obstante, si nos(x−i)(x+i)=x2+xi−xi−i2=x2+1 multiplicamos vemos quef tiene raíces complejasc=i yc=−i.
Ahora bien, mientras que el teorema fundamental del álgebra garantiza una raízc de un polinomiof, podemos usar el teorema restante de Observación (Resto) para verificar posibles candidatosc para las raíces, y el teorema de factor a factor f(x)=q(x)⋅(x−c).
Encontrar raíces del polinomio dado y utilizar esta información para factorizar el polinomio por completo.
- f(x)=2x3−8x2−6x+36
- f(x)=x4−3x3−36x2+68x+240
- f(x)=x3+1
- f(x)=x4−16
Solución
- Para encontrar una raíz, utilizamos la gráfica para hacer una conjetura para una de las raíces.
La gráfica sugiere que las raíces pueden estar enx=−2 yx=3. Esto también se apoya al mirar la tabla para la función.
Comprobamos que estas son raíces al enchufar los números a la función.
f(−2)=2⋅(−2)3−8⋅(−2)2−6⋅(−2)+36=−16−32+12+36=0f(3)=2⋅33−8⋅32−6⋅3+36=54−72−18+36=0
Por el teorema factorial podemos dividirf(x)=2x3−8x2−6x+36, por ejemplo, por(x−3).
Por lo tanto,f(x)=(2x2−2x−12)(x−3). Para factorizarf completamente, todavía necesitamos factorizar el primer polinomio2x2−2x−12:
f(x)=(2x2−2x−12)(x−3)=2⋅(x2−x−6)⋅(x−3)=2⋅(x−3)⋅(x+2)⋅(x−3)=2⋅(x+2)⋅(x−3)2
- La gráfica def(x)=x4−3x3−36x2+68x+240 en la ventana estándar es la siguiente:
Sospechamos quex=−5x=−2,x=4,, yx=6 son las raíces de la función. Esto se confirma comprobando la tabla en la calculadora, y también por cómputo directo.
f(−5)=(−5)4−3(−5)3−36(−5)2+68(−5)+240=0f(−2)=(−2)4−3(−2)3−36(−2)2+68(−2)+240=0f(4)=44−3⋅43−36⋅42+68⋅4+240=0f(6)=64−3⋅63−36⋅62+68⋅6+240=0
Por lo tanto(x+5), cada(x+2)(x−4),, y(x−6) es un factor def(x), y entonces su producto también es un factor def(x). El producto(x+5)(x+2)(x−4)(x−6) se calcula de la siguiente manera. Desde(x+5)(x+2)=x2+7x+10 y(x−4)(x−6)=x2−10x+24, obtenemos
(x+5)(x+2)(x−4)(x−6)=(x2+7x+10)(x2−10x+24)=x4−10x3+24x2+7x3−70x2+168x+10x2−100x+240=x4−3x3−36x2+68x+240=f(x)
Vemos que esto es precisamentef(x), para que no sea necesaria más división polinómica. La respuesta esf(x)=(x+5)(x+2)(x−4)(x−6).
- Podemos graficar la función, o simplemente hacer una conjetura para una raíz def(x)=x3+1. Una conjetura inmediata sería intentarlox=−1. Esto es efectivamente una raíz, ya quef(−1)=(−1)3+1=−1+1=0, que también es compatible con la gráfica.
Por lo tanto, podemos dividirnosx3+1 porx+1.
Obtenemosf(x)=x3+1=(x2−x+1)(x+1). Ahorax+1 no se puede factorizar más, sin embargo, podemos seguir factorizandox2−x+1=(x−x1)(x−x2). Utilizando la fórmula cuadrática, obtenemos las soluciones dex2−x+1=0 como
x1/2=−(−1)±√(−1)2−4⋅1⋅12⋅1=1±√−32=12±i√32
Por lo tanto,x3+1=(x−(12+i√32))⋅(x−(12−i√32))⋅(x+1).
- Porquef(x)=x4−16 ahí están los dos candidatos obviosx=2 yx=−2 que podemos identificar como raíces, ya sea adivinando (desde24=16) o mirando la gráfica.
Efectivamente el álgebra confirma estas conjeturas.
f(2)=24−16=16−16=0f(−2)=(−2)4−16=16−16=0
Por lo tanto,f(x)=q(x)⋅(x−2)⋅(x+2)=q(x)⋅(x2−4). Para encontrarq(x) realizamos la división larga(x4−16)/(x2−4).
Obtenemosf(x)=(x2+4)(x+2)(x−2). Las raíces dex2+4 están dadas por la fórmula cuadrática como
x1/2=−0±√02−4⋅1⋅42⋅1=±√−162=±4i2=±2i
o alternativamente,x2+4=0⟹x2=−4⟹x=±2i. Obtenemos el polinomio factorizadof(x)=(x+2i)(x−2i)(x+2)(x−2).
Como hemos visto en el último ejemplo, podemos utilizar las raíces para factorizar un polinomio completamente de manera que todos los factores sean polinomios de grado1 solamente. Además, siempre que una raíz complejaa+ib, aparecía, su conjugadaa−ib, también era una raíz. Estas observaciones se mantienen de manera más general, como señalamos ahora.
- Cada polinomiof(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0 de gradon puede ser factorizado comof(x)=m⋅(x−c1)⋅(x−c2)⋅⋯⋅(x−cn)
- En particular, cada polinomio de gradon tiene como máximon raíces. (Sin embargo, estas raíces pueden ser reales o complejas).
- El factor(x−c) para una raízc podría aparecer varias veces en el producto anterior, es decir, podemos tener(x−c)k como factor def. La multiplicidad de una raízc es el número de vecesk que aparece una raíz en la expresión factorizada paraf como en (1).
- Si solof(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0 tiene coeficientes realesa0,…,an, yc=a+bi es una raíz compleja def, entonces el conjugado complejo tambiénˉc=a−bi es una raíz def.
- Prueba: Six hay alguna raíz, entoncesanxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0=0. Aplicando el complejo conjugado a esto y usando eso¯u⋅v=ˉu⋅ˉv da¯anˉxn+¯an−1ˉxn−1+⋯+¯a1ˉx+¯a0=0. Ya que los coeficientesaj son reales, tenemos eso¯aj=aj, así que esoanˉxn+an−1ˉxn−1+⋯+a1ˉx+a0=0. Esto demuestra que el conjugado complejo tambiénˉx es unaf raíz de.
Encuentra las raíces del polinomio y dibuja su gráfica incluyendo todas las raíces.
- f(x)=x3+2x2−14x−3
- f(x)=x4−7x3+11x2−7x+10
Solución
- Para encontrar una raíz, primero graficamos la funciónf(x)=x3+2x2−14x−3 con la calculadora. La gráfica y la tabla sugieren que tenemos una raíz enx=3.
Por lo tanto dividimosf(x) por(x−3). Obtenemos:
Esto demuestra quef(x)=(x−3)(x2+5x+1). Para encontrar las raíces def, también tenemos que encontrar las raíces del segundo factorx2+5x+1, es decir, las soluciones ax2+5x+1=0. La fórmula cuadrática da:
x=−5±√52−4⋅1⋅12⋅1=−5±√212
Por lo tanto, las raíces son:
x=3,x=−5+√212≈−0.2,x=−5−√212≈−4.8
Juntamos estas raíces con la gráfica en una ventana apropiada.
La gráfica que incluye las raíces se muestra a continuación.
- La gráfica def(x)=x4−7x3+11x2−7x+10 en una ventana apropiada sugiere las raícesx=2 yx=5.
Dividirf(x) por(x−2)(x−5)=x2−7x+10 da:
Dado que las raíces dex2+1 son todas complejas, vemos que las únicas raíces def sonx=2 yx=5. La gráfica incluyendo sus raíces se muestra a continuación.
Encuentra un polinomiof con las siguientes propiedades.
- ftiene grado3, las raíces def son precisamente4,5,6, y el coeficiente principal def es7
- ftiene grado3 con coeficientes reales,f tiene raíces3i,−5 (y posiblemente otras raíces también), yf(0)=90
- ftiene grado4 con coeficientes complejos,f tiene raícesi+12i,3
- ftiene grado5 con coeficientes reales, el coeficiente principal es 1, y las raíces están determinadas por su gráfica:
Solución
- En general un polinomiof de grado3 es de la formaf(x)=m⋅(x−c1)⋅(x−c2)⋅(x−c3). Identificando las raíces y el coeficiente principal, obtenemos el polinomiof(x)=7⋅(x−4)⋅(x−5)⋅(x−6)
- Un polinomiof de grado3 es de la formaf(x)=m⋅(x−c1)⋅(x−c2)⋅(x−c3). Raíces def son3i y−5, y dado que los coeficientes def son reales se deduce de la Observación Polinómica General (4), que el conjugado complejo−3i es también una raíz de f. Por lo tanto,f(x)=m⋅(x+5)⋅(x−3i)⋅(x+3i). Para identificarm, utilizamos la última condiciónf(0)=90. 90=m⋅(0+5)⋅(0−3i)⋅(0+3i)=m⋅5⋅(−9)i2=m⋅5⋅9=45mDividiendo por45, obtenemosm=2, de manera quef(x)=2⋅(x+5)⋅(x−3i)⋅(x+3i)=2⋅(x+5)⋅(x2+9) aquello que claramente tenga coeficientes reales.
- Ya quef es de grado4 se puede escribir comof(x)=m⋅(x−c1)⋅(x−c2)⋅(x−c3)⋅(x−c4). Tres de las raíces se identifican comoi+1,2i, y3:f(x)=m⋅(x−(1+i))⋅(x−2i)⋅(x−3)⋅(x−c4) Sin embargo, no tenemos más información sobre la cuarta raízc4 o el coeficiente principalm. (Obsérvese que la Observación Polinómica General (4) no se puede utilizar aquí, ya que no estamos asumiendo que el polinomio tenga coeficientes reales. En efecto, no puede tener coeficientes reales ya que eso significaría que tendríamos también los complejos conjugados de1+i y2i además de los tres que se nos dan, dándonos un total de 5 raíces que no pueden ser acomodadas por un polinomio de grado 4.) Por lo tanto, podemos elegir cualquier número para estas variables restantes. Por ejemplo, se da una posible solución del problema eligiendom=3 yc4=2, para lo cual obtenemos:f(x)=3⋅(x−(1+i))⋅(x−2i)⋅(x−3)⋅(x−2)
- fes de grado5, y sabemos que el coeficiente principal es1. La gráfica es cero enx=1,2,3, y4, para que las raíces sean1,2,3, y4. Además, dado que la gráfica apenas toca la raízx=4, ésta debe ser una raíz múltiple, es decir, debe ocurrir más de una vez (ver Sección 9.3 para una discusión de múltiples raíces y sus consecuencias gráficas). Obtenemos la siguiente solución:f(x)=(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)2 Obsérvese que la raízx=4 es una raíz de multiplicidad2.
Tenga en cuenta que para ver que un polinomio tiene coeficientes reales, puede ser necesario multiplicar factores como(x−(2+3i))(x−(2−3i)). Sugerimos una forma de hacer esto para lo cual utilizamos el hecho de quea2−b2=(a+b)(a−b). Tenemos(x−(2+3i))(x−(2−3i))=((x−2)−3i)((x−2)+3i)=(x−2)2+9 lo que claramente tiene coeficientes reales.