2.5: Completando la Plaza

En esta sección, discutiremos otra forma de escribir una función cuadrática a través de un proceso llamado completar el cuadrado. Completar el cuadrado nos permite escribir cualquier función cuadrática en el formulario\((x+a)^2+b\). Esta forma en particular es bastante útil; esto no solo hará que graficar cuadráticas sea más fácil, ya que nos permite usar transformaciones gráficas, también es una forma comúnmente utilizada en el cálculo. En el cálculo integral, hay reglas especiales que nos permiten integrar más fácilmente funciones racionales si su denominador está en la forma, pero no siempre se nos da la función en esa forma. También se utiliza cuando se trabaja con Transformaciones de Laplace en ecuaciones diferenciales. Como aparece con tanta frecuencia en cursos posteriores, es una buena idea dominar esta habilidad ahora.

Las ideas detrás de las técnicas que usaremos para completar el cuadrado se construyen a partir de nuestras ideas desde la expansión. Observamos patrones comunes, y uno de los que discutimos fue

\[(u+v)^2 = u^2+2uv+v^2\]

Utilizaremos este patrón para ayudarnos a cambiar las funciones cuadráticas de\(x\) a la forma\((x+a)^2 +b\). Si usamos este patrón de expansión, vemos que

\[(x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2\label{square}\]

Utilizaremos el coeficiente sobre el\(x\) término de nuestra función cuadrática para ayudarnos a encontrar\(a\). Una vez que tenemos\(a\), podemos calcularlo\(a^2\) y usarlo para ayudarnos a determinar lo que\(b\) debe ser para escribir nuestra cuadrática en la forma\((x+a)^2 + b\). Vamos a darle una oportunidad.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Completing the Square

Escribe\(f(x)=x^2+4x+6\) en el formulario\((x+a)^2+b\).

Solución

Vimos en la ecuación\(\eqref{square}\) eso\((x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2\). Usaremos el coeficiente on\(x\) de nuestra función para determinar\(a\).

En\(f(x)\),\(x\) tiene un coeficiente de\(4\) y en el patrón expandido\(x\) tiene un coeficiente de\(2a\). Queremos que estos coincidan, así conseguimos\(4=2a\), o\(a=2\). Veamos cómo se ve nuestro patrón con\(a=2\):

\[(x+2)^2=x^2+4x+4\]

Esto está bastante cerca de lo que\(f(x)\) parece; la única diferencia es el término constante. Recuerda, nuestro objetivo final es escribir\(f(x)\) en el formulario\((x+a)^2+b\). Ya lo hemos averiguado\(a\); ahora tenemos que averiguarlo\(b\). Con la adición de\(b\), podemos ampliar nuestra forma de meta para obtener

\[(x+a)^2+b = x^2 + 2ax + a^2 +b\]

Esto nos dice que\(b\) influye en nuestro término constante. Queremos que los términos constantes coincidan, así que tenemos\(6=a^2+b\). Sabemos\(a=2\), así que realmente tenemos\(6=4+b\), dándonos eso\(b=2\). Eso significa que tenemos

\[f(x)=(x+2)^{2}+2\]

Este ejemplo muestra la línea de pensamiento que usamos con este problema, pero es una explicación bastante prolija. A los matemáticos les gusta mantener las cosas concisas, así que veamos cómo podríamos mostrar este trabajo matemáticamente, sin usar mucha descripción verbal. Por lo general, verás trabajos como este:

\[\begin{align}\begin{aligned} f(x) & = x^2 + 4x + 6 \\ & = x^2 + 2(2x) +6 \\ & = x^2 + 2(2x)+ (2^2) - (2^2) + 6 \\ & = (x+2)^2 -(2^2) + 6 \\ & = (x+2)^2 -4 + 6 \\ & = (x+2)^2 +2 \end{aligned}\end{align}\]

Esta obra muestra los mismos pasos que hicimos anteriormente, pero de una forma diferente, y sin decir explícitamente qué\(a\) y\(b\) son. Sin embargo, puedes ver que estos pasos están trabajando hacia la forma que queremos usando nuestro patrón. En la segunda línea, escribimos\(2(2x)\) en lugar de\(4x\) averiguarlo\(a\). Entonces, como sabemos que tenemos\(a^2\) como parte de nuestra constante, sumamos\(2^2\) y restamos\(2^2\) en un mismo paso. ¿Por qué? Bueno, esto asegura que sumemos cero, que no cambiemos el significado de la función, solo la forma en que está escrita. Entonces, tenemos el patrón correcto para escribir los tres primeros términos como\((x+2)^2\). Por último, simplificamos las constantes fuera de los paréntesis para encontrar\(b\).

En la práctica, la mayoría de los matemáticos pueden combinar un par de los pasos en uno, pero hasta que realmente te pongas cómodo con esta línea de pensamiento lo mejor es escribir todos los pasos.

La mayoría de la gente aprende a completar el cuadrado como un algoritmo, un conjunto de pasos que deben realizarse exactamente como se describe y en el orden correcto para obtener la respuesta final. Estamos evitando intencionalmente tal algoritmo aquí; los algoritmos pueden ser difíciles de memorizar, pero son fáciles de olvidar. Si en cambio piensas en esto como un rompecabezas donde descubres una parte a la vez, es más probable que aún puedas completar con precisión el cuadrado en cursos posteriores.

Hemos visto un ejemplo de completar el cuadrado que tenía todos los números “bonitos” en ella, ahora echemos un vistazo a uno que es un poco más desordenado.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Completing the Square

Completa el cuadrado para\(g(t) = t^2 -7t + 10\).

Solución

Hay una gran diferencia entre este problema y nuestro ejemplo anterior: nuestra variable de entrada ha cambiado. Eso significa que en lugar de que nuestro objetivo se vea como\((x+a)^2+b\), nuestro objetivo se ve así\((t+a)^2+b\). Independientemente, seguiremos el mismo proceso de pensamiento que usamos en el ejemplo anterior. Sabemos que si ampliamos nuestra forma de meta, obtenemos\((t+a)^2+b = t^2+2at+a^2+b\). Como antes, averiguaremos un valor para\(a\) primero, y luego un valor para\(b\). Para encontrar\(a\), usaremos el\(t\) término. La forma de meta ampliada tiene\(2at\) y\(g(t)\) tiene\(-7t\). Esto nos dice que\(2a=-7\), o\(a=-\frac{7}{2}\). En la forma de meta ampliada, el término constante es\(a^2+b\); sabemos\(a\) ahora, así que realmente tenemos\(\frac{49}{4}+b\). Tenga en cuenta que cuando\(a\) cuadramos obtenemos un número positivo (piense en los paréntesis invisibles de los que hablamos antes). En\(g(t)\), nuestro término constante es\(10\). Coincidir con nuestros términos constantes nos da la igualdad\(\frac{49}{4} + b = 10\). Si restamos\(\frac{49}{4}\) de ambos lados, obtenemos\(b=-\frac{9}{4}\).

En total, tenemos\(a=-\frac{7}{2}\) y\(b=-\frac{9}{4}\), así tenemos

\[g(t)=\left(t-\frac{7}{2}\right)^{2}-\frac{9}{4}\]

2.5.1: Una variación al completar el cuadrado

En todos los ejemplos que hemos comentado en esta sección, el término cuadrado tiene un coeficiente de 1. No obstante, a veces nos encontraremos con situaciones en las que este coeficiente no sea 1, y tendremos que poder trabajar con estas situaciones. Cuando una cuadrática in\(x\) (es decir, una función cuadrática que tiene\(x\) como variable) tiene un coeficiente principal (el coeficiente en el término de mayor potencia) distinto de 1, podemos escribirlo como\(c(x+a)^2 +b\). Esto significa que tendremos tres parámetros que necesitamos encontrar:\(a\),\(b\), y\(c\). En nuestros ejemplos anteriores encontramos\(a\) primero porque sólo se presentó en el\(x\) término, y el\(x^2\) término ya estaba atendido ya que automáticamente tenía un coeficiente de 1. Aquí, vamos a querer encontrar\(c\) primero ya que aparece en el término cuadrático y afecta al término lineal y al término constante. Esta es una técnica de solución común en matemáticas: comenzar por trabajar primero con los términos de mayor poder, y luego pasar a los términos de grado inferior. Antes de ver un problema de ejemplo, veamos cómo se ve esta forma modificada después de la expansión. Tenemos

\[\begin{align}\begin{aligned} c(x+a)^2 + b & = c(x^2 + 2ax + a^2) + b \\  & = cx^2 + 2acx + ca^2 +b  \end{aligned}\label{var}\end{align}\]

Hay algunas características clave que debemos tener en cuenta que serán útiles a la hora de tratar con este tipo de cuadráticas. En esta forma\(c\) impacta los términos\(x^2\)\(x\),, y constantes. Para esta forma, comenzaremos por “emparejar” los coeficientes con el\(x^2\) término, luego con el\(x\) término, y luego con el término constante. Echemos un vistazo:

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Completing the Square - Variation

Escribir\(f(x) = 4x^2+12x-3\) en el formulario\(c(x+a)^2 +b\)

Solución

Ya que queremos nuestra respuesta en la forma\(c(x+a)^2+b\), usaremos ecuación\(\eqref{var}\). En la ecuación\(\eqref{var}\), vemos que el coeficiente on\(x^2\) en la forma expandida es\(c\). Porque\(f(x)\), el\(x^2\) coeficiente es\(4\), así que tenemos\(c=4\).

A continuación, trabajaremos con el\(x\) término. En ecuación\(\eqref{var}\), el\(x\) término tiene un coeficiente de\(2ac\). Estamos usando\(c=4\), así que realmente este coeficiente lo es\(2a(4)=8a\). Porque\(f(x)\), el\(x\) coeficiente es\(12\), así obtenemos\(8a=12\), o\(a=\frac{3}{2}\).

Por último, trabajaremos con los términos constantes. En la ecuación\(\eqref{var}\), la constante es\(ca^2+b\). Ya que tenemos\(a=\frac{3}{2}\) y\(c=4\), esta constante realmente lo es\(4(\frac{3}{2})^2+b=9+b\). En\(f(x)\), la constante es\(-3\), así tenemos\(9+b=-3\), o\(b=-12\).

Ahora hemos encontrado los tres parámetros, así que terminamos y tenemos eso

\[f(x)=4\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}-12\]

También podríamos resolver este problema de manera un poco diferente. Podríamos comenzar factorizando el coeficiente en el\(x^2\) término y luego completando el cuadrado sobre lo que queda. Echemos un vistazo:

Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Completing the Square - Variation

Escribe\(f(x) = 4x^2+12x-3\) en el formulario\(c(x+a)^2 +b\).

Solución

Comenzaremos factorizando 4 de la ecuación y completando el cuadrado en el factor cuadrático restante. Al factorizar el 4,\(x^2\) tendremos un coeficiente de 1 y podremos trabajar como lo hicimos en nuestros ejemplos anteriores. \[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} f(x) = 4x^2+12x-3 & = 4 \Bigg[x^2 + 3x-\frac{3}{4} \Bigg] \\ & = 4 \Bigg[x^2 + 2\bigg( \frac{3}{2} \bigg)x + \bigg( \frac{3}{2} \bigg)^2 - \bigg( \frac{3}{2} \bigg)^2 -\frac{3}{4} \Bigg] \\ & = 4 \Bigg[ \bigg( x + \frac{3}{2} \bigg)^2 - \frac{9}{4} - \frac{3}{4} \Bigg] \\ & = 4 \Bigg[\bigg( x + \frac{3}{2} \bigg)^2 - \frac{12}{4}\Bigg] \\ & = 4 \Bigg[\bigg( x + \frac{3}{2} \bigg)^2 - 3\Bigg] \end{split}\end{aligned}\end{align}\]

Estamos cerca de la forma que queremos, pero tenemos un conjunto extra de paréntesis. Tendremos que redistribuir el 4 al resto de la declaración para estar en la forma correcta. Esto nos da

\[f(x)=4\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}-12\]

Como puedes ver, terminamos con la misma respuesta exacta de cualquier manera, pero usamos un método diferente. Con el primer método, ampliamos la forma general que queríamos y encontramos los valores de a, b y c uno por uno. Con el segundo método, comenzamos con nuestra función específica\(f(x)\), y la reorganizamos para que se pareciera a la forma que queremos. Con el segundo método, los valores de a, b y c se pueden identificar a partir de nuestra respuesta final.

Al intentar reescribir una función en una forma diferente, es muy importante prestar mucha atención a cómo se escribe el formulario, particularmente si ese formulario se usa como parte de una regla que necesitas para resolver completamente el problema en el que estás trabajando. Es posible que los parámetros no siempre estén en orden alfabético y mezclar los valores de los parámetros podría cambiar drásticamente su respuesta final. Adicionalmente, algunos libros no siempre usan las mismas letras en las mismas posiciones, aunque sea la misma regla. Muchas reglas reutilizarán las mismas letras como parámetros, pero muy a menudo están llenando diferentes roles.