11.3: Explicar el valor temporal del dinero y calcular los valores presentes y futuros de las sumas a tanto alzado y anualidades
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Tu madre te da\(\$100\) dinero en efectivo por un regalo de cumpleaños y dice: “Gasta sabiamente”. Quieres adquirir el último celular del mercado pero te preguntas si este es realmente el mejor uso de tu dinero. Tienes una opción: Puedes gastar el dinero ahora o gastarlo en el futuro. ¿Qué debes hacer? ¿Hay algún beneficio en gastarlo ahora en lugar de ahorrar para su uso posterior? ¿El tiempo tiene un impacto en el valor de tu dinero en el futuro? Las empresas se enfrentan a estas preguntas y más a la hora de decidir cómo asignar el dinero de inversión. Un factor importante que afecta sus decisiones de inversión es el concepto del valor temporal del dinero.
Fundamentos del valor del dinero en el tiempo
El concepto del valor temporal del dinero afirma que el valor de un dólar hoy vale más que el valor de un dólar en el futuro. Esto suele deberse a que un dólar de hoy se puede usar ahora para ganar más dinero en el futuro. También existe, típicamente, la posibilidad de una inflación futura, que disminuye el valor de un dólar con el tiempo y podría llevar a una reducción del poder adquisitivo económico.
En este punto, los efectos potenciales de la inflación probablemente se puedan demostrar mejor con un par de ejemplos. El primer ejemplo es el Ford Mustang. El primer Ford Mustang se vendió en 1964 para\(\$2,368\). El Mustang más barato de hoy comienza a un precio de lista de\(\$25,680\). Si bien una parte significativa de este aumento se debe a características adicionales en los modelos más nuevos, gran parte del aumento se debe a la inflación que se produjo entre 1964 y 2019.
Características similares de inflación se pueden demostrar con los precios de la vivienda. Después de la Segunda Guerra Mundial, una típica casa pequeña a menudo se vende por entre\(\$16,000\) y\(\$30,000\). Muchas de estas mismas casas hoy en día se están vendiendo por cientos de miles de dólares. Gran parte del incremento se debe a la ubicación del inmueble, pero una parte significativa también se atribuye a la inflación. La tasa de inflación anual para el Mustang entre 1964 y 2019 fue aproximadamente\(4.5\%\). Si asumimos que la vivienda vendida\(\$16,500\) en 1948 y el precio de la vivienda en 2019 era sobre\(\$500,000\), esa es una tasa de apreciación anual de casi\(5\%\).
El dólar de hoy también es más valioso porque hay menos riesgo que si el dólar estuviera en una inversión a largo plazo, lo que puede o no arrojar los resultados esperados. Por otro lado, retrasar el pago de una inversión puede ser beneficioso si existe la oportunidad de ganar intereses. Cuanto más tiempo se retrase el pago, más potencial de ingresos disponible hay. Esto puede ser tentador para las empresas y puede persuadirlas para que asuman el riesgo de aplazamiento.
Las empresas consideran el valor temporal del dinero antes de tomar una decisión de inversión. Necesitan saber cuál es el valor futuro de su inversión en comparación con el valor actual actual y qué ganancias potenciales podrían ver debido al retraso en el pago. Estas consideraciones incluyen valores presentes y futuros.
Antes de conocer los valores presentes y futuros, es importante examinar dos tipos de flujos de efectivo: las sumas a tanto plazo y las anualidades.
Sumas a tanto Plazo y Anualidades
Una suma global es un pago único o reembolso de fondos en un momento determinado. Una suma global puede ser un valor presente o un valor futuro. Para una suma global, el valor presente es el valor de una cantidad dada hoy. Por ejemplo, si hoy depositó\(\$5,000\) en una cuenta de ahorro a una tasa de interés determinada\(6\%\), digamos, con el objetivo de sacarla en exactamente tres años, el\(\$5,000\) hoy sería una suma global de valor presente. Supongamos por simplicidad que la cuenta paga\(6\%\) al final de cada año, y también agrava los intereses sobre los intereses devengados en años anteriores.
En nuestro ejemplo actual, los intereses se calculan una vez al año. Sin embargo, el interés también se puede calcular de numerosas maneras. Algunos de los cálculos de interés más comunes son diarios, mensuales, trimestrales o anuales. Un concepto importante de entender en los cálculos de intereses es el de la composición. La capitalización es el proceso de obtención de intereses sobre intereses anteriores devengados, junto con los intereses devengados sobre la inversión original.
Volviendo a nuestro ejemplo, si\(\$5,000\) se deposita en una cuenta de ahorro por tres años ganando 6% de interés compuesto anualmente, la cantidad que valdría la\(\$5,000\) inversión al término de tres años es\(\$5,955.08 (\$5,000 × 1.06 – \$5,300 × 1.06 – \$5,618 × 1.06 – \$5,955.08)\). El\(\$5,955.08\) es el valor futuro de\(\$5,000\) invertido durante tres años en\(6\%\). De manera más formal, el valor futuro es la cantidad a la que una sola inversión o una serie de inversiones crecerán durante un tiempo determinado a una tasa o tasas de interés determinadas. La\(\$5,000\) inversión inicial es el valor presente. Nuevamente, de manera más formal, el valor presente es el valor actual de una sola inversión futura o de una serie de inversiones para un tiempo determinado a una tasa o tasas de interés determinadas. Otra forma de expresar esto es decir que el\(\$5,000\) es el valor presente de\(\$5,955.08\) cuando se invirtió el monto inicial en\(6\%\) tres años. Los intereses devengados durante el trienio serían\(\$955.08\), y el restante\(\$5,000\) sería el depósito original de\(\$5,000\).
Como se muestra en el ejemplo el valor futuro de una suma global es el valor de la inversión dada en algún momento en el futuro. También es posible tener una serie de pagos que constituyen una serie de sumas a tanto plazo. Supongamos que una empresa recibe los siguientes cuatro flujos de efectivo. Constituyen una serie de sumas a tanto plazo porque no todas son la misma cantidad.
La compañía estaría recibiendo un flujo de cuatro flujos de efectivo que son todos sumas a tanto tiempo. En algunas situaciones, los flujos de efectivo que ocurren cada periodo de tiempo son la misma cantidad; es decir, los flujos de efectivo son pares en cada periodo. Este tipo de flujos de efectivo pares que ocurren a intervalos pares, como una vez al año, se conocen como anualidad. En la siguiente figura se muestra una anualidad que consta de cuatro pagos\(\$12,000\) realizados al término de cada uno de cuatro años.
La naturaleza de los flujos de efectivo (flujos de efectivo de suma única, incluso series de flujos de efectivo o series desiguales de flujos de efectivo) tienen diferentes efectos en la capitalización.
Compounding
La capitalización se puede aplicar en muchos tipos de transacciones financieras, como financiar una cuenta de retiro o una cuenta de ahorros universitarios. Supongamos que un individuo invierte\(\$10,000\) en una cuenta de certificado de depósito de cuatro años que paga\(10\%\) intereses al final de cada año (en este caso 12/31). Cualquier interés ganado durante el año se conservará hasta el final del período de cuatro años y también ganará\(10\%\) intereses anualmente.
A través de los efectos de componer, ganar intereses sobre los intereses, el inversionista obtuvo\(\$4,641\) intereses de la inversión a cuatro años. Si el inversionista hubiera quitado los intereses devengados en lugar de reinvertirlos en la cuenta, el inversionista habría ganado\(\$1,000\) un año durante cuatro años, o\(\$4,000\) intereses (\(\$10,000 × 10\% = \$1,000\)por año\(× 4\) años interés\(= \$4,000\) total). La composición es un concepto que se utiliza para determinar el valor futuro (más adelante en esta sección se tratarán cálculos más detallados del valor futuro). Pero ¿qué pasa con el valor presente? ¿La composición juega un papel en la determinación del valor presente? El término aplicado a la búsqueda del valor presente se denomina descuento.
Descontando
El descuento es el procedimiento utilizado para calcular el valor presente de un pago individual o una serie de pagos que se recibirán en el futuro con base en una tasa de interés asumida o retorno de la inversión. Veamos un ejemplo sencillo para explicar el concepto de descuento.
Supongamos que quieres acumular fondos suficientes para comprar un auto nuevo y que necesitarás\(\$5,000\) en tres años. Además, asuma que tus fondos invertidos ganarán\(8\%\) un año por los tres años, y reinviertes cualquier interés ganado durante el periodo de tres años. Si quisieras sacar fondos adecuados de tu cuenta de ahorros para financiar la inversión de tres años, tendrías que invertir\(\$3,969.16\) hoy e invertirla en la cuenta ganando\(8\%\) durante tres años. Después de tres años, los\(\$3,969.16\) ganarían\(\$1,030.84\) y crecerían exactamente a lo\(\$5,000\) que necesitarás. Este es un ejemplo de descuento. El descuento es el método por el cual tomamos un valor futuro y determinamos su valor actual, o presente. Una comprensión de las aplicaciones y cálculos de valor futuros ayudará en la comprensión de los usos y cálculos del valor actual.
Valor futuro
Hay beneficios al invertir dinero ahora con la esperanza de un mayor rendimiento en el futuro. Estas ganancias futuras son posibles debido a los pagos de intereses recibidos como incentivo para amarrar dinero a largo plazo. Saber cuáles serán estas ganancias futuras puede ayudar a una empresa a decidir si la inversión actual vale la pena el potencial a largo plazo. Recordemos, el valor futuro (FV) como el valor de una inversión después de cierto periodo de tiempo. El valor futuro considera el monto inicial invertido, el período de tiempo de las ganancias y la tasa de interés de las ganancias en el cálculo. Por ejemplo, un banco consideraría el valor futuro de un préstamo en función de si un cliente de mucho tiempo cumple con cierto rendimiento de tasa de interés al determinar si aprueba el préstamo.
Para determinar el valor futuro, el banco necesitaría algunos medios para determinar el valor futuro del préstamo. El banco podría usar fórmulas, tablas de valores futuros, una calculadora financiera o una aplicación de hoja de cálculo. Lo mismo es cierto para los cálculos del valor actual. Debido a la variedad de calculadoras y aplicaciones de hojas de cálculo, presentaremos la determinación de valores presentes y futuros usando tablas. En muchos cursos universitarios hoy en día, estas tablas se utilizan principalmente porque son relativamente simples de entender a la vez que demuestran el material. Para quienes prefieren fórmulas, las diferentes fórmulas utilizadas para crear cada tabla se imprimen en la parte superior de la tabla correspondiente. En muchas clases de finanzas, aprenderás a utilizar las fórmulas. En cuanto al uso de una calculadora financiera, si bien todas son similares, el manual del usuario o una búsqueda rápida en Internet proporcionará indicaciones específicas para cada calculadora financiera. En cuanto a una aplicación de hoja de cálculo como Microsoft Excel, existen algunas fórmulas comunes, que se muestran en Tabla\(\PageIndex{1}\). Además, el Apéndice 14.3 proporciona enlaces a videos y tutoriales sobre el uso de aspectos específicos de Excel, como las técnicas de valor futuro y presente.
| Componente de valor de tiempo | Fórmula de Excel | Fórmula Excel Detallada |
|---|---|---|
| Valor Presente Suma Única | =PV | =PV (Tasa, N, Pago, FV) |
| Valor Futuro Suma Única | +FV | =FV (Tasa, N, Pago, PV) |
| Valor Presente Anualidad | =PV | =PV (Tasa, N, Pago, FV, Tipo) |
| Valor Futuro Anualidad | =FV | =FV (Tasa, N, Pago, PV, Tipo) |
| Valor Presente Neto | =NPV | =VAN (Tasa, CF2, CF3, CF4) + CF1 |
| Tasa Interna de Retorno | =IRR | =TIR (Invertir, CF1, CF2, CF3) |
| Tasa = tasa de interés anual | ||
| N = número de periodos | ||
| Pago = monto de pago anual, ingresado como número negativo, use 0 al calcular tanto el valor presente de una sola suma como el valor futuro de una sola suma | ||
| FV = valor futuro | ||
| PV = valor actual o actual | ||
| Tipo = 0 para anualidad regular, 1 para anualidad vencida | ||
| CF = flujo de caja para un periodo, por lo tanto CF1 — periodo de flujo de efectivo 1, CF2 — periodo de flujo de caja 2, etc. | ||
| Invertir = inversión inicial ingresada como número negativo | ||
Ya que estaremos usando las tablas en los ejemplos en el cuerpo del capítulo, es importante saber que hay cuatro tablas posibles, cada una utilizada bajo condiciones específicas (Tabla\(\PageIndex{2}\).
| Situación | Encabezado de mesa |
|---|---|
| Valor futuro — Suma global | Valor futuro de $1 |
| Valor futuro — Anualidad (flujo de pago uniforme) | Valor futuro de una anualidad |
| Valor Presente — Suma global | Valor Presente de $1 |
| Valor Presente — Anualidad (flujo de pago uniforme) | Valor Presente de una Anualidad |
En la situación anterior, el banco utilizaría ya sea el Valor Futuro de la\(\$1\) tabla o Valor Futuro de una tabla de Anualidad Ordinaria, muestras de las cuales se proporcionan en el Apéndice 14.2. Para utilizar la tabla correcta, el banco necesita determinar si el cliente los devolverá al final del plazo del préstamo o periódicamente a lo largo del plazo del préstamo. El Valor Futuro de la\(\$1\) tabla se utiliza si el cliente va a pagar al final del periodo; si los pagos se realizarán periódicamente a lo largo del plazo del préstamo, utilizará la tabla Valor Futuro de una Anualidad. Elegir la tabla correcta para usar es fundamental para la determinación precisa del valor futuro. La aplicación en otros asuntos empresariales es la misma: una empresa también necesita considerar si está realizando una inversión con un reembolso en una suma global o en una estructura de anualidades antes de elegir una tabla y hacer el cálculo. En las tablas, las columnas muestran las tasas de interés (\(i\)) y las filas muestran periodos (\(n\)). Las columnas de interés representan el pago anticipado de la tasa de interés para esa inversión. Las tasas de interés pueden basarse en la experiencia, los estándares de la industria, las expectativas de política fiscal federal y la inversión de riesgo. Los periodos representan el número de años hasta que se reciba el pago. La intersección de los años de pago esperados y la tasa de interés es un número llamado factor de valor futuro. El factor de valor futuro se multiplica por el costo de inversión inicial para producir el valor futuro de los flujos de efectivo esperados (o retorno de la inversión).
Valor futuro de\(\$1\)
Un pago global es el valor presente de una inversión cuando el retorno se producirá al final del periodo en una sola cuota. Para determinar este retorno, se utiliza el Valor Futuro de\(\$1\) la tabla.
Por ejemplo, estás ahorrando para unas vacaciones que planeas tomar en\(6\) años y quieres saber cuánto producirán tus ahorros iniciales en el futuro. Usted decide colocar\(\$4,500\) en una cuenta de inversión ahora que arroje un retorno anual anticipado de\(8\%\). Mirando la tabla FV,\(n = 6\) años, y\(i = 8\%\), que devuelven un factor de valor futuro de\(1.587\). Multiplicando este factor por el monto de inversión inicial de\(\$4,500\) produce\(\$7,141.50\). Esto significa que sus ahorros iniciales de\(\$4,500\) valdrán aproximadamente\(\$7,141.50\) en\(6\) años.
Valor futuro de una anualidad ordinaria
Una anualidad ordinaria es aquella en la que los pagos se realizan al final de cada periodo en cuotas iguales. Una anualidad ordinaria de valor futuro analiza el valor de la inversión actual en el futuro, si se realizaron pagos periódicos a lo largo de la vida de la serie.
Por ejemplo, estás ahorrando para la jubilación y esperas contribuir\(\$10,000\) por año para los próximos\(15\) años a un plan de retiro 401 (k). El plan anticipa un rendimiento de interés periódico de\(12\%\). ¿Cuánto valdría su inversión en el futuro cumpliendo estos criterios? En este caso, utilizaría la tabla Valor Futuro de una Anualidad Ordinaria. El factor relevante donde\(n = 15\) y\(i = 12\%\) es\(37.280\). Multiplicar el factor por el monto del flujo de caja arroja un valor futuro de estos ahorros a plazos de (\(37.280 × \$10,000\))\(\$372,800\). Por lo tanto, podría esperar que su inversión valga\(\$372,800\) al final de los\(15\) años, dados los parámetros.
Examinemos ahora en qué se diferencia el valor presente del valor futuro en uso y cálculo.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Determining Future Value
Determinar el valor futuro para cada una de las siguientes situaciones. Utilice las tablas de valores futuros proporcionadas en el Apéndice 14.2 cuando sea necesario, y redondee las respuestas al centavo más cercano cuando sea necesario.
- Estás ahorrando para un auto y guardas\(\$5,000\) en una cuenta de ahorros. Quieres saber cuánto valdrá tu ahorro inicial en\(7\) años si tienes una tasa de interés anual anticipada de\(5\%\).
- Estás ahorrando para el retiro y haces aportaciones\(\$11,500\) anuales para los próximos\(14\) años a tu plan 403 (b) de retiro. El rendimiento de la tasa de interés es\(8\%\).
Solución
- Use FV de\(\$1\) mesa. Factor de valor futuro donde\(n = 7\) y\(i = 5\) es\(1.407. 1.407 × 5,000 = \$7,035\).
- Usar FV de una tabla de anualidades ordinarias. Factor de valor futuro donde\(n = 14\) y\(i = 8\) es\(24.215. 24.215 × 11,500 = \$278,472.50\).
Valor Presente
Es imposible comparar el valor o poder adquisitivo potencial del dólar futuro con el dólar actual; existen en diferentes tiempos y tienen valores diferentes. El valor presente (PV) considera el valor futuro de una inversión expresado en el valor actual. Esto permite a una empresa ver si el costo inicial de la inversión es mayor o menor que el rendimiento futuro. Por ejemplo, un banco podría considerar el valor actual de otorgar un préstamo a un cliente antes de extender fondos para asegurar que el riesgo y los intereses devengados valen el desembolso inicial de efectivo.
Similar a las tablas Valor Futuro, las columnas muestran las tasas de interés (\(i\)) y las filas muestran periodos (\(n\)) en las tablas Valor Presente. Los períodos representan la frecuencia con la que los intereses se componen (pagan); es decir, los períodos podrían representar días, semanas, meses, trimestres, años o cualquier período de interés. Para nuestros ejemplos y valoraciones, el periodo (\(n\)) casi siempre será en años. La intersección de los años de pago esperados (\(n\)) y la tasa de interés (\(i\)) es un número llamado factor de valor presente. El factor de valor presente se multiplica por el costo de inversión inicial para producir el valor presente de los flujos de efectivo esperados (o retorno de la inversión).
\[\text { Present Value }=\text { Present Value Factor } \times \text { Initial Investment cost }\]
Las dos tablas proporcionadas en el Apéndice 14.2 para el valor presente son el Valor Presente\(\$1\) y el Valor Presente de una Anualidad Ordinaria. Al igual que con las tablas de valores futuros, elegir la tabla correcta para usar es fundamental para la determinación precisa del valor presente.
Valor Presente de\(\$1\)
Al referirse al valor presente, el retorno de la suma global se produce al final de un periodo. Un negocio debe determinar si este reembolso retrasado, con intereses, vale lo mismo que, más o menos que el costo inicial de inversión. Si el pago diferido es mayor que la inversión inicial, la compañía consideraría una inversión.
Para calcular el valor presente de una suma global, debemos usar el Valor Presente de la\(\$1\) tabla. Por ejemplo, te interesa ahorrar dinero para la universidad y quieres calcular cuánto necesitarías poner en el banco hoy para devolver una suma de\(\$40,000\) en\(10\) años. El banco devuelve una tasa de interés\(3\%\) anual durante estos\(10\) años. Mirando la tabla PV,\(n = 10\) años y\(i = 3\%\) retornos un factor de valor presente de\(0.744\). Multiplicando este factor por la cantidad de retorno de\(\$40,000\) produce\(\$29,760\). Esto significa que tendrías que poner en el banco ahora aproximadamente\(\$29,760\) para tener\(\$40,000\) en\(10\) años.
Como se mencionó, para determinar el valor presente o futuro de los flujos de efectivo, se debe utilizar una calculadora financiera, un programa como Excel, conocimiento de las fórmulas apropiadas, o un conjunto de tablas. Aunque ilustramos ejemplos en el texto usando tablas, reconocemos el valor de estos otros instrumentos de cálculo y hemos incluido evaluaciones de capítulos que utilizan múltiples enfoques para determinar el valor presente y futuro. El conocimiento de diferentes enfoques para determinar el valor presente y futuro es útil ya que existen situaciones, como tener tasas de interés fraccionarias,\(8.45\%\) por ejemplo, en las que se necesitaría una calculadora financiera o un programa como Excel para determinar con precisión el valor presente o futuro.
Tabla de anualidades
Como se discutió anteriormente, las anualidades son una serie de pagos iguales realizados a lo largo del tiempo, y las anualidades ordinarias pagan la misma cuota al final de cada período de pago dentro de la serie. Esto puede ayudar a una empresa a comprender cómo sus rendimientos periódicos se traducen en el valor actual.
Por ejemplo, supongamos que Sam necesita pedir prestado dinero para la universidad y anticipa que podrá reembolsar el préstamo en pagos\(\$1,200\) anuales por cada uno de los\(5\) años. Si el prestamista cobra\(5\%\) por año por préstamos similares, ¿cuánto efectivo estaría dispuesto el banco a prestar a Sam hoy? En este caso, utilizaría la tabla Valor Presente de una Anualidad Ordinaria en el Apéndice 14.2, donde\(n = 5\) y\(i = 5\%\). Esto produce un factor de valor presente de\(4.329\). El valor actual del flujo de caja de cada periodo se calcula como\(4.329 × \$1,200 = \$5,194.80\). Por lo tanto, Sam podría pedir prestado\(\$5,194.80\) ahora dados los parámetros de reembolso.
Nuestro enfoque ha estado en ejemplos de anualidades ordinarias (anualidades vencidas y otros ejemplos de anualidades más complicados se abordan en cursos avanzados de contabilidad). Con anualidades vencidas, el flujo de caja se produce al inicio del periodo. Por ejemplo, si quisieras depositar una suma global de dinero en una cuenta y realizar pagos mensuales de renta a partir de hoy, el primer pago se realizaría el mismo día en que hiciste el depósito en la cuenta de financiamiento. Debido a esta diferencia de tiempo en los retiros de la anualidad adeudada, el proceso de cálculo de la anualidad adeudada es algo diferente de los métodos que ha cubierto para las anualidades ordinarias.
Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Determining Present Value
Determinar el valor presente para cada una de las siguientes situaciones. Utilice las tablas de valores actuales proporcionadas en el Apéndice 14.2[1] cuando sea necesario, y redondee las respuestas al centavo más cercano cuando sea necesario.
- Estás ahorrando para la universidad y quieres devolver una suma de\(\$100,000\) en\(12\) años. El banco devuelve una tasa de interés\(5\%\) posterior a estos\(12\) años.
- Necesitas pedir prestado dinero para la universidad y puedes pagar un pago anual a la institución crediticia de\(\$1,000\) por año para los próximos\(8\) años. La tasa de interés que cobra la institución crediticia es\(3\%\) por año.
Solución
- Utilice PV de\(\$1\) mesa. Presentar factor de valor donde\(n = 12\) y\(i = 5\) es\(0.557. 0.557 × \$100,000 = \$55,700\).
- Utilizar PV de una tabla de anualidades ordinarias. Presentar factor de valor donde\(n = 8\) y\(i = 3\) es\(7.020. 7.020 × \$1,000 = \$7,020\).
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