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LibreTexts Español

11.3: La Solubilidad

  • Page ID
    1888
    • Contribuido por

    habilidades para desarrollar

    • Describir los efectos de la temperatura y la presión en la solubilidad.
    • Establecer la ley de Henry y usarla en los cálculos que involucren la solubilidad de un gas en un líquido
    • Explicar los grados de solubilidad posibles para soluciones de líquido-líquido.

    Imagine agregando una pequeña cantidad de sal a un vaso de agua, revolviendo la solución hasta que toda la sal se haya disuelto, y luego agregando un poco más sal. Puede repetir este proceso hasta que la concentración de sal en la solución alcance su límite natural, un límite determinado principalmente por las fuerzas relativas de las fuerzas atractivas de soluto-soluto, soluto-solvente y solvente-solvente discutidas en los dos módulos anteriores de este capítulo. Puede estar seguro de que ha alcanzado este límite porque, sin importar cuánto tiempo agite la solución, la sal no se disuelve permanentemente. La concentración de sal en la solución en este punto se conoce como su solubilidad.

    La solubilidad de un soluto en un solvente particular es la concentración máxima que se puede lograr bajo condiciones dadas cuando el proceso de disolución está en equilibrio. Refiriéndose al ejemplo de sal en el agua:

    \[\ce{NaCl}(s)⇌\ce{Na+}(aq)+\ce{Cl-}(aq) \label{11.4.1}\]

    Cuando la concentración de un soluto es igual a su solubilidad, se dice que la solución está saturada con ese soluto. Si la concentración del soluto es menor que su solubilidad, se dice que la solución es insaturada. Una solución que contiene una concentración relativamente baja de soluto se llama diluida, y una con una concentración relativamente alta se llama concentrada.

    Si agregamos más sal a una solución saturada de sal, vemos que cae al fondo y no parece que se disuelva más. De hecho, la sal añadida se disuelve, como se representa por la dirección hacia adelante de la ecuación de disolución. Acompañando a este proceso, la sal disuelta se precipitará, como se muestra en la dirección inversa de la ecuación. Se dice que el sistema está en equilibrio cuando estos dos procesos recíprocos ocurren a velocidades iguales, por lo que la cantidad de sal no disuelta y disuelta permanece constante. El apoyo para la ocurrencia simultánea de los procesos de disolución y precipitación se proporciona al observar que el número y los tamaños de los cristales de sal no disueltos cambiarán con el tiempo, aunque su masa combinada seguirá siendo la misma.

    Video \(\PageIndex{1}\): Mire este impresionante vídeo que muestra la precipitación del acetato de sodio de una solución sobresaturada.

    Se pueden preparar soluciones en las que una concentración de soluto excede su solubilidad. Se dice que estas soluciones están sobresaturadas, y son ejemplos interesantes de estados de no equilibrio. Por ejemplo, la bebida carbonatada en un recipiente abierto que aún tiene gas está sobresaturada con gas de dióxido de carbono; tiempo dado, la concentración de CO2 disminuirá hasta que alcance su valor de equilibrio.

    Soluciones de gases en líquidos

    En un módulo anterior de este capítulo, se discutió el efecto de las fuerzas de atracción intermoleculares en la formación de la solución. Las estructuras químicas del soluto y el disolvente dictan los tipos de fuerzas posibles y, en consecuencia, son factores importantes para determinar la solubilidad. Por ejemplo, en condiciones similares, la solubilidad en agua del oxígeno es aproximadamente tres veces mayor que la del helio, pero 100 veces menor que la solubilidad del clorometano, CHCl3. Teniendo en cuenta el papel de la estructura química del disolvente, tenga en cuenta que la solubilidad del oxígeno en el hexano hidrocarbonado líquido, C6H14, es aproximadamente 20 veces mayor que en el agua.

    Otros factores también afectan la solubilidad de una sustancia dada en un disolvente dado. La temperatura es uno de esos factores, y la solubilidad del gas generalmente disminuye a medida que aumenta la temperatura (Figura \(\PageIndex{1}\)). Este es uno de los principales impactos resultantes de la contaminación térmica de los cuerpos de agua naturales.

    CNX_Chem_11_03_gasdissolv 2.jpg

    Figura \(\PageIndex{1}\): Las solubilidades de estos gases en el agua disminuyen a medida que aumenta la temperatura. Todas las solubilidades se midieron con una presión constante de 101.3 kPa (1 atm) de gas por encima de las soluciones.

    Cuando la temperatura de un río, lago o arroyo se eleva de manera anormal, generalmente debido a la descarga de agua caliente de algún proceso industrial, la solubilidad del oxígeno en el agua disminuye. La disminución de los niveles de oxígeno disuelto puede tener serias consecuencias para la salud de los ecosistemas del agua y, en casos graves, puede provocar la muerte de peces a gran escala (Figura \(\PageIndex{2}\)).

    Figura \(\PageIndex{2}\): (a) Las pequeñas burbujas de aire en este vaso de agua fría se formaron cuando el agua se calentó a temperatura ambiente y disminuyó la solubilidad de su aire disuelto. (b) La disminución de la solubilidad del oxígeno en aguas naturales sometidas a contaminación térmica puede provocar la muerte de peces a gran escala. (crédito a: modificación del trabajo de Liz West; crédito b: modificación del trabajo del Servicio de Pesca y Vida Silvestre de EE. UU.)

    La solubilidad de un soluto gaseoso también es afectada por la presión parcial del soluto en el gas al que está expuesta la solución. La solubilidad del gas aumenta a medida que aumenta la presión del gas. Las bebidas carbonatadas proporcionan una buena ilustración de esta relación. El proceso de carbonatación involucra exponer la bebida a una presión relativamente alta de dióxido de carbono y luego sellar el recipiente de la bebida, saturando la bebida con CO2 a esta presión. Cuando se abre el recipiente de la bebida, se escucha un siseo familiar cuando se libera la presión del gas de dióxido de carbono, y se ve que parte del dióxido de carbono disuelto deja la solución en forma de pequeñas burbujas (Figura \(\PageIndex{3}\)). En este punto, la bebida está sobresaturada con dióxido de carbono y, con el tiempo, la concentración de dióxido de carbono disuelto disminuirá a su valor de equilibrio y la bebida no tendrá gas de dióxido de carbono.

    A dark brown liquid is shown in a clear, colorless container. A thick layer of beige bubbles appear at the surface of the liquid. In the liquid, thirteen small clusters of single black spheres with two red spheres attached to the left and right are shown. Red spheres represent oxygen atoms and black represent carbon atoms. Seven white arrows point upward in the container from these clusters to the bubble layer at the top of the liquid.

    Figura \(\PageIndex{3}\): Abrir la botella de una bebida carbonatada reduce la presión del dióxido de carbono gaseoso sobre la bebida. La solubilidad del CO2 se reduce así, y se puede ver algo de dióxido de carbono disuelto dejando la solución como pequeñas burbujas de gas. (crédito: modificación del trabajo por Derrick Coetzee)

    Para muchos solutos gaseosos, la relación entre la solubilidad, Cg y la presión parcial, Pg, es proporcional:

    \[C_\ce{g}=kP_\ce{g}\]

    donde k es una constante de proporcionalidad que depende de las identidades del soluto y el solvente gaseoso, y de la temperatura de la solución. Esta es una declaración matemática de la ley de Henry: la cantidad de un gas ideal que se disuelve en un volumen definido de líquido es directamente proporcional a la presión del gas.

    Ejemplo \(\PageIndex{1}\): APLICACIÓN DE LA LEY DE HENRY

    A 20 °C, la concentración del oxígeno disuelto en el agua expuesta al oxígeno gaseoso a una presión parcial de 101.3 kPa (760 torr) es 1.38 × 10−3 mol L− 1. Use la ley de Henry para determinar la solubilidad del oxígeno cuando su presión parcial es de 20.7 kPa (155 torr), la presión aproximada del oxígeno en la atmósfera de la tierra.

    Solución

    Según la ley de Henry, para una solución ideal, la solubilidad, Cg, de un gas (1.38 × 10−3 mol L− 1, en este caso) es directamente proporcional a la presión, Pg, del gas no disuelto sobre la solución (101.3 kPa, o 760 torr, en este caso). Porque ya sabemos Cg y Pg, podemos reorganizar esta expresión para resolver para k.

    \[\begin{align*}
    C_\ce{g}&=kP_\ce{g}\\[5pt]
    k&=\dfrac{C_\ce{g}}{P_\ce{g}}\\[5pt]
    &=\mathrm{\dfrac{1.38×10^{−3}\:mol\:L^{−1}}{101.3\:kPa}}\\[5pt]
    &=\mathrm{1.36×10^{−5}\:mol\:L^{−1}\:kPa^{−1}}\\[5pt]
    &\hspace{15px}\mathrm{(1.82×10^{−6}\:mol\:L^{−1}\:torr^{−1})}
    \end{align*}\]

    Ahora podemos usar k para encontrar la solubilidad a la presión más baja.

    \[C_\ce{g}=kP_\ce{g}\]

    \[\mathrm{1.36×10^{−5}\:mol\:L^{−1}\:kPa^{−1}×20.7\:kPa\\[5pt]
    (or\:1.82×10^{−6}\:mol\:L^{−1}\:torr^{−1}×155\:torr)\\[5pt]
    =2.82×10^{−4}\:mol\:L^{−1}}\]

    Tenga en cuenta que se pueden usar varias unidades para expresar las cantidades involucradas en este tipo de cálculos. Cualquier combinación de unidades que cedan ante las restricciones del análisis dimensional son aceptables.

    Ejercicio \(\PageIndex{1}\)

    La exposición de una muestra de agua de 100.0 mL a 0 °C a una atmósfera que contenía un soluto gaseoso a 20.26 kPa (152 torr) resultó en la disolución de 1.45 × 10−3 g del soluto. Use la ley de Henry para determinar la solubilidad de este soluto gaseoso cuando su presión es de 101.3 kPa (760 torr).

    Respuesta

    7.25 × 10−3 g in 100.0 mL or 0.0725 g/L

    ESTUDIO DE CASO: ENFERMEDAD DE DESCOMPRESIÓN

    La enfermedad de descompresión (DCS), es un efecto causado por el aumento de la presión del aire inhalado por los buzos cuando nadan bajo del agua a profundidades considerables. Además de la presión ejercida por la atmósfera, los buzos experimentan una presión adicional debido al agua sobre ellos, experimentando un aumento de aproximadamente 1 atm por cada 10 m de profundidad. Por lo tanto, el aire inhalado por un buzo mientras está sumergido contiene gases a la presión ambiental más alta correspondiente, y las concentraciones de los gases disueltos en la sangre del buzo son proporcionalmente más altas según la ley de Henry.

    Two photos are shown. The first shows two people seated in a steel chamber on benches that run length of the chamber on each side. The chamber has a couple of small circular windows and an open hatch-type door. One of the two people is giving a thumbs up gesture. The second image provides a view through a small, circular window. Inside the two people can be seen with masks over their mouths and noses. The people appear to be reading.

    Figura \(\PageIndex{4}\): (a) Los buzos de la Marina de los EE. UU. reciben capacitación en una cámara de recompresión. (b) Los buzos reciben oxigenoterapia hiperbárica.

    A medida que el buzo asciende a la superficie del agua, la presión ambiental disminuye y los gases disueltos se vuelven menos solubles. Si el ascenso es demasiado rápido, los gases que escapan de la sangre del buzo pueden formar burbujas que pueden causar una variedad de síntomas que van desde erupciones cutáneas y dolor en las articulaciones hasta parálisis y muerte. Para evitar DCS, los buzos deben ascender desde profundidades a velocidades relativamente lentas (10 o 20 m/min) o de lo contrario hacer varias paradas de descompresión, deteniéndose durante varios minutos a profundidades determinadas durante el ascenso. Cuando estas medidas preventivas no tienen éxito, los buzos con DCS a menudo reciben terapia de oxígeno hiperbárico en vasos presurizados llamados cámaras de descompresión (o recompresión) (Figura \(\PageIndex{4}\)).

    Se observan desviaciones de la ley de Henry cuando se produce una reacción química entre el soluto gaseoso y el solvente. Así, por ejemplo, la solubilidad del amoníaco en el agua no aumenta tan rápidamente con el aumento de la presión como lo predice la ley porque el amoníaco, como base, reacciona en cierta medida con el agua para formar iones de amonio e iones de hidróxido.

    <div data-mt-source="1"><span><img alt="This reaction diagram shows three H atoms bonded to an N atom above, below, and two the left of the N. A single pair of dots is present on the right side of the N. This is followed by a plus, then two H atoms bonded to an O atom to the left and below the O. Two pairs of dots are present on the O, one above and the other to the right of the O. A double arrow, with a top arrow pointing right and a bottom arrow pointing left follows. To the right of the double arrow, four H atoms are shown bonded to a central N atom. These 5 atoms are enclosed in brackets with a superscript plus outside. A plus follows, then an O atom linked by a bond to an H atom on its right. The O atom has pairs of dots above, to the left, and below the atom. The linked O and H are enclosed in brackets with superscript minus outside." data-cke-saved-src="http://cnx.org/resources/d037f2cdf75d06927bb56513fdde68f47318daf1/CNX_Chem_11_02_ammonia1_img.jpg" src="http://cnx.org/resources/d037f2cdf75d06927bb56513fdde68f47318daf1/CNX_Chem_11_02_ammonia1_img.jpg"> </span></div>

    Los gases pueden formar soluciones sobresaturadas. Si se prepara una solución de un gas en un líquido a baja temperatura o baja presión (o ambas), entonces a medida que la solución se calienta o la presión del gas se reduce, la solución puede sobresaturarse. En 1986, más de 1700 personas en Camerún fueron asesinadas cuando una nube de gas, casi seguramente dióxido de carbono, burbujeó desde el lago Nyos (Figura \(\PageIndex{5}\)), un lago profundo en un cráter volcánico. El agua en el fondo del lago Nyos está saturada de dióxido de carbono por la actividad volcánica debajo del lago. Se cree que el lago experimentó una renovación debido al calentamiento gradual desde debajo del lago, y el agua más cálida y menos densa saturada con dióxido de carbono llegó a la superficie. En consecuencia, se liberaron enormes cantidades de CO2 disuelto, y el gas incoloro, que es más denso que el aire, fluyó por el valle debajo del lago y asfixió a los humanos y animales que viven en el valle.

    Two photos are shown. The first is an aerial view of a lake surrounded by green hills. The second shows a large body of water with a fountain sending liquid up into the air several yards or meters above the surface of the water.

    Figura \(\PageIndex{5}\): (a) Se cree que el desastre de 1986 que mató a más de 1700 personas cerca del lago Nyos en Camerún se produjo cuando se liberó un gran volumen de dióxido de carbono del lago. (b) Desde entonces, se ha instalado un respiradero de CO2 para ayudar a desgasificar el lago de manera lenta y controlada y evitar que ocurra una catástrofe similar en el futuro. (crédito a: modificación del trabajo de Jack Lockwood; crédito b: modificación del trabajo de Bill Evans)

    Soluciones de líquidos en líquidos

    Sabemos que algunos líquidos se mezclan entre sí en todas las proporciones; en otras palabras, tienen una solubilidad mutua infinita y se dice que son miscibles. El etanol, el ácido sulfúrico y el etilenglicol (popular para su uso como anticongelante), ilustrado en la Figura \(\PageIndex{6}\)) son ejemplos de líquidos que son completamente miscibles con el agua. El aceite de motor de dos ciclos es miscible con la gasolina.

    This is a photo of a 1 gallon yellow plastic jug of Preston 50/50 Prediluted Antifreeze/Coolant.

    Figura \(\PageIndex{6}\): El agua y el anticongelante son miscibles; las mezclas de los dos son homogéneas en todas las proporciones. (crédito: "dno1967" / Wikimedia commons)

    Los líquidos que se mezclan con el agua en todas las proporciones suelen ser sustancias polares o sustancias que forman enlaces de hidrógeno. Para tales líquidos, las atracciones de dipolo-dipolo (o enlace de hidrógeno) de las moléculas de soluto con las moléculas de disolvente son al menos tan fuertes como las que existen entre las moléculas en el soluto puro o en el disolvente puro. Por lo tanto, los dos tipos de moléculas se mezclan fácilmente. Del mismo modo, los líquidos no polares son miscibles entre sí porque no hay una diferencia apreciable en las fuerzas de las atracciones intermoleculares soluto-soluto, solvente-solvente y soluto-solvente. La solubilidad de las moléculas polares en solventes polares y de las moléculas no polares en solventes no polares es, nuevamente, una ilustración del axioma químico "lo similar se disuelve como".

    Dos líquidos que no se mezclan en un grado apreciable se llaman inmiscibles. Las capas se forman cuando vertimos líquidos inmiscibles en el mismo recipiente. La gasolina, el aceite (Figura \(\PageIndex{7}\)), el benceno, el tetracloruro de carbono, algunas pinturas y muchos otros líquidos no polares son inmiscibles con el agua. La atracción entre las moléculas de tales líquidos no polares y las moléculas del agua que es polar es ineficazmente débil. Las únicas atracciones fuertes en una mezcla de este tipo son las moléculas del agua, por lo que efectivamente excluyen las moléculas del líquido no polar. La distinción entre inmiscibilidad y miscibilidad es realmente de grados, de modo que los líquidos miscibles tienen una solubilidad mutua infinita, mientras que los líquidos que se dice que son inmiscibles tienen una solubilidad mutua muy baja (aunque no cero).

    This is a photo of a clear, colorless martini glass containing a golden colored liquid layer resting on top of a clear, colorless liquid.

    Figura \(\PageIndex{7}\): El agua y el aceite son inmiscibles. Las mezclas de estas dos sustancias formarán dos capas separadas con el aceite menos denso flotando sobre el agua. (crédito: "Yortw"/Flickr)

    Se dice que dos líquidos, como el bromo y el agua, que son de solubilidad mutua moderada son parcialmente miscibles. Dos líquidos parcialmente miscibles generalmente forman dos capas cuando se mezclan. En el caso de la mezcla del bromo y el agua, la capa superior es el agua saturada con el bromo y la capa inferior es el bromo saturado con el agua. Como el bromo no es polar y, por lo tanto, no es muy soluble en el agua, la capa del agua se discolora

    un poco por el bromo naranja brillante disuelto en el agua. Dado que la solubilidad del agua en bromo es muy baja, no hay un efecto notable en el color oscuro de la capa de bromo (Figura \(\PageIndex{8}\)).

    This figure shows three test tubes. The first test tube holds a dark orange-brown substance. The second test tube holds a clear substance. The amount of substance in both test tubes is the same. The third test tube holds a dark orange-brown substance on the bottom with a lighter orange substance on top. The amount of substance in the third test tube is almost double of the first two.

    Figura \(\PageIndex{8}\): El bromo (el líquido naranja intenso a la izquierda) y el agua (el líquido transparente en el medio) son parcialmente miscibles. La capa superior de la mezcla de la derecha es una solución saturada del bromo en el agua; la capa inferior es una solución saturada del agua en el bromo. (crédito: Paul Flowers)

    Soluciones de sólidos en líquidos

    Las curvas de solubilidad en la Figura \(\PageIndex{9}\) muestran la dependencia de la solubilidad de la temperatura para una serie de sólidos inorgánicos en el agua. La revisión de estos datos indica una tendencia general de aumento de la solubilidad con la temperatura, aunque hay excepciones, como lo ilustra el compuesto iónico de sulfato de cerio.

    This shows a graph of the solubility of sugar C subscript 12 H subscript 22 O subscript 11, K N O subscript 3, N a N O subscript 3, N a B r, K B r, N a subscript 2 S O subscript 4, K C l, and C e subscript 2 left parenthesis S O subscript 4 right parenthesis subscript 3 in g solute per 100 g H subscript 2 O at temperatures ranging from 0 degrees Celsius to 100 degrees Celsius. At 0 degrees Celsius, solubilities are approximately 180 for sugar C subscript 12 H subscript 22 O subscript 11, 115 for K N O subscript 3, 75 for N a N O subscript 3, 115 for N a B r, 55 for K B r, 7 for N a subscript 2 S O subscript 4, 25 for K C l, and 20 for C e subscript 2 left parenthesis S O subscript 4 right parenthesis subscript 3. At 0 degrees Celsius, solubilities are approximately 180 for sugar C subscript 12 H subscript 22 O subscript 11, 115 for K N O subscript 3, 75 for N a N O subscript 3, 115 for N a B r, 55 for K B r, 7 for N a subscript 2 S O subscript 4, 25 for K C l, and 20 for C e subscript 2 left parenthesis S O subscript 4 right parenthesis subscript 3. At 100 degrees Celsius, sugar C subscript 12 H subscript 22 O subscript 11 has exceeded the upper limit of solubility indicated on the graph, 240 for K N O subscript 3, 178 for N a N O subscript 3, 123 for N a B r, 105 for K B r, 52 for N a subscript 2 S O subscript 4, 58 for K C l, and the graph for C e subscript 2 left parenthesis S O subscript 4 right parenthesis subscript 3 stops at about 92 degrees Celsius where the solubility is nearly zero. The graph for N a subscript 2 S O subscript 4 is shown in red. All others substances are shown in blue. The solubility of this substance increases until about 30 degrees Celsius and declines beyond that point with increasing temperature.

    Figura \(\PageIndex{9}\): Este gráfico muestra cómo la solubilidad de varios sólidos cambia con la temperatura.

    La dependencia de la temperatura de la solubilidad puede aprovecharse para preparar soluciones sobresaturadas de ciertos compuestos. Una solución se puede saturar con un compuesto a una temperatura elevada (donde el soluto es más soluble) y posteriormente enfriarse a una temperatura más baja sin precipitar el soluto. La solución resultante contiene soluto a una concentración mayor que su solubilidad de equilibrio a la temperatura más baja (es decir, está sobresaturada) y es relativamente estable. La precipitación del exceso de soluto puede iniciarse por agregando un cristal semilla (vea el video en el Enlace al Aprendizaje que se vio anteriormente en este módulo) o agitando mecánicamente la solución. Algunos calentadores de manos, como el que se muestra en la Figura \(\PageIndex{10}\), aprovechan de este comportamiento.

    Three photos of hand warmers are shown side by side with an arrow pointing from the first photo to the second, and another arrow pointing from the second photo to the third. The first packet contains a clear colorless liquid and a small metal disc can be seen. In the second packet, the disc can’t be seen and a dispersion of white liquid is beginning. In the third packet, all of the liquid is white.

    Figura \(\PageIndex{10}\): Este calentador de manos produce calor cuando el acetato de sodio en una solución sobresaturada precipita. La precipitación del soluto se inicia por una onda de choque mecánica generada cuando se “hace chasquear” en el disco metálico flexible dentro de la solución (crédito: modificación del trabajo de “Velela” / Wikimedia Commons)

    Video \(\PageIndex{2}\): Este video muestra el proceso de cristalización que ocurre en un calentador de manos.

    Resumen

    La medida en que una sustancia se disolverá en otra sustancia está determinada por varios factores, incluidos los tipos y las fuerzas relativas de las fuerzas de atracción intermoleculares que pueden existir entre los átomos, los iones o las moléculas de las sustancias. Esta tendencia a disolverse se cuantifica como la solubilidad de la sustancia, su concentración máxima en una solución en equilibrio bajo condiciones específicas. Una solución saturada contiene soluto a una concentración igual a su solubilidad. Una solución sobresaturada es aquella en la que la concentración de un soluto excede su solubilidad, una condición de no equilibrio (inestable) que dará como resultado la precipitación del soluto cuando la solución se perturbe adecuadamente. Los líquidos miscibles son solubles en todas las proporciones, y los líquidos inmiscibles exhiben una solubilidad mutua muy baja. Las solubilidades para los solutos gaseosos disminuyen con el aumento de la temperatura, mientras que las de la mayoría, pero no todos, los solutos sólidos aumentan con la temperatura. La concentración de un soluto gaseoso en una solución es proporcional a la presión parcial del gas al que está expuesta la solución, una relación conocida como la ley de Henry.

    Ecuaciones Clave

    • \(C_\ce{g}=kP_\ce{g}\)

    Glosario

    ley de Henry
    Ley que establece la relación proporcional entre la concentración de gas disuelto en una solución y la presión parcial del gas en contacto con la solución.
    inmiscible
    de insignificante solubilidad mutua; típicamente se refiere a sustancias líquidas
    miscible
    mutuamente solubles en todas las proporciones; típicamente se refiere a sustancias líquidas
    parcialmente miscible
    de moderada solubilidad mutua; típicamente se refiere a sustancias líquidas
    saturado
    de concentración igual a solubilidad; que contiene la concentración máxima de soluto posible para una temperatura y presión dada
    solubilidad
    medida en que se puede disolver un soluto en agua o cualquier solvente
    sobresaturada
    de concentración que excede la solubilidad; un estado de no equilibrio
    insaturado
    de concentración menor que la solubilidad

    Contribuyentes

    • Paul Flowers (Universidad de Carolina del Norte - Pembroke), Klaus Theopold (Universidad de Delaware) y Richard Langley (Stephen F. Austin Universidad del Estado) con autores contribuyentes. Contenido del libro de texto producido por la Universidad de OpenStax tiene licencia de Atribución de Creative Commons Licencia 4.0 licencia. Descarge gratis en http://cnx.org/contents/85abf193-2bd...a7ac8df6@9.110)."

    • Ana Martinez (amartinez02@saintmarys.edu) contribuyó a la traducción de este texto.