16.16: Separaciones a contracorriente

En 1949, Lyman Craig introdujo un método mejorado para separar analitos con proporciones de distribución similares [Craig, L. C. J. Biol. Chem. 1944, 155, 519—534]. La técnica, que se conoce como extracción líquido-líquido a contracorriente, se describe en la Figura 16.16.1 y se discute en detalle a continuación. En contraste con una extracción líquido-líquido secuencial, en la que extraemos repetidamente la muestra que contiene el analito, una extracción a contracorriente utiliza una extracción en serie tanto de la muestra como de las fases de extracción. Aunque las separaciones a contracorriente ya no son comunes, las separaciones cromatográficas son mucho más eficientes en términos de resolución, tiempo y facilidad de uso, la teoría detrás de una extracción en contracorriente sigue siendo útil como introducción a la teoría de las separaciones cromatográficas.

Para rastrear el progreso de una extracción líquido-líquido en contracorriente necesitamos adoptar una convención de etiquetado. Como se muestra en la Figura 16.16.1 , en cada paso de una extracción a contracorriente primero completamos la extracción y luego transferimos la fase superior a un nuevo tubo que contiene una porción de la fase inferior fresca. Los pasos se etiquetan secuencialmente comenzando con cero. Las extracciones se realizan en una serie de tubos que también se etiquetan secuencialmente, comenzando con cero. Las fases superior e inferior de cada tubo se identifican por una letra y un número, representando las letras U y L, respectivamente, la fase superior y la fase inferior, y el número indica el paso en la extracción a contracorriente en la que se introdujo por primera vez la fase. Por ejemplo, U ₀ es la fase superior introducida en la etapa 0 (durante la primera extracción), y L ₂ es la fase inferior introducida en la etapa 2 (durante la tercera extracción). Finalmente, la partición del analito en cualquier tubo de extracción da como resultado una fracción p que permanece en la fase superior y una fracción q restante en la fase inferior. Los valores de q se calculan usando la Ecuación\ ref {16.1}, que es idéntica a la Ecuación 7.7.6 del Capítulo 7.

\[(q_\text{aq})_1 = \frac {(\text{mol aq})_1} {(\text{mol aq})_0} = \frac {V_\text{aq}} {D V_\text{org} + V_\text{aq}} \label{16.1}\]

La fracción p, por supuesto es igual a 1 — q. Típicamente V _aq y V _org son iguales en una extracción a contracorriente, aunque esto no es un requisito.

Figura 16.16.1 . Esquema para una extracción a contracorriente: (a) La muestra que contiene el analito comienza en L ₀ y se extrae con una porción fresca de la fase superior, o móvil; (b) Se realiza la extracción, transfiriendo una fracción p de analito a la fase superior y dejando una fracción q de analito en la fase inferior, o estacionaria; (c) Cuando se completa la extracción, la fase superior se transfiere al siguiente tubo, que contiene una porción fresca del disolvente de la muestra, y una porción nueva de la fase superior se agrega al tubo 0. En (d) a (g), el proceso continúa, con la adición de dos tubos más.

Supongamos que el analito que deseamos aislar está presente en una fase acuosa de HCl 1 M, y que la fase orgánica es benceno. Debido a que el benceno tiene la densidad más pequeña, es la fase superior, y HCl 1 M es la fase inferior. Para iniciar la extracción a contracorriente colocamos la muestra acuosa que contiene el analito en el tubo 0 junto con un volumen igual de benceno. Como se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\text{a}\), antes de la extracción todo el analito está presente en la fase L ₀. Cuando se completa la extracción, como se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\text{b}\), una fracción p del analito está presente en la fase U ₀, y una fracción q está en la fase L ₀. Esto completa el paso 0 de la extracción a contracorriente. Si nos detenemos aquí, no hay diferencia entre una simple extracción líquido-líquido y una extracción a contracorriente.

Después de completar el paso 0, retiramos la fase U ₀ y agregamos una porción fresca de benceno, U ₁, al tubo 0 (ver Figura\(\PageIndex{1}\text{c}\)). Esto, también, es idéntico a una simple extracción líquido-líquido. Aquí es donde comienza la potencia de la extracción a contracorriente, en lugar de dejar a un lado la fase U ₀, la colocamos en el tubo 1 junto con una porción de HCl 1 M acuoso libre de analito como fase L ₁ (ver Figura\(\PageIndex{1}\text{c}\)). El tubo 0 ahora contiene una fracción q del analito, y el tubo 1 contiene una fracción p del analito. Completar la extracción en tubo 0 da como resultado que una fracción p de su contenido permanezca en la fase superior, y una fracción q permanezca en la fase inferior. Así, las fases U ₁ y L ₀ contienen ahora, respectivamente, las fracciones pq y q ² de la cantidad original de analito. Siguiendo la misma lógica, es fácil demostrar que las fases U ₀ y L ₁ en el tubo 1 contienen, respectivamente, las fracciones p ² y pq de analito. Esto completa el paso 1 de la extracción (ver Figura\(\PageIndex{1}\text{d}\)). Como se muestra en el resto de la Figura 16.16.1 , la extracción a contracorriente continúa con este ciclo de transferencias de fase y extracciones.

En una extracción líquido-líquido a contracorriente, la fase inferior en cada tubo permanece en su lugar, y la fase superior se mueve del tubo 0 a tubos sucesivamente con números más altos. Reconocemos esta diferencia en el movimiento de las dos fases al referirnos a la fase inferior como fase estacionaria y a la fase superior como fase móvil. Con cada transferencia parte del analito en el tubo r se mueve al tubo\(r + 1\), mientras que una porción del analito en el tubo\(r - 1\) se mueve al tubo r. El analito introducido en el tubo 0 se mueve con la fase móvil, pero a una velocidad que es más lenta que la fase móvil porque, en cada etapa, una porción del analito se transfiere a la fase estacionaria. Un analito que extrae preferentemente en la fase estacionaria pasa proporcionalmente menos tiempo en la fase móvil y se mueve a una velocidad más lenta. A medida que aumenta el número de pasos, los analitos con diferentes valores de q finalmente se separan en conjuntos completamente diferentes de tubos de extracción.

Podemos juzgar la efectividad de una extracción a contracorriente utilizando un histograma que muestra la fracción de analito presente en cada tubo. Para determinar la cantidad total de analito en un tubo de extracción, sumamos la fracción de analito presente en las fases superior e inferior del tubo después de cada transferencia. Por ejemplo, al inicio de la etapa 3 (ver Figura\(\PageIndex{1}\text{g}\)) las fases superior e inferior del tubo 1 contienen las fracciones pq ² y 2 pq ² del analito, respectivamente; así, la fracción total de analito en el tubo es de 3 pq ². Table 16.16.1 resume esto para los pasos descritos en la Figura 16.16.1 . Un histograma típico, calculado asumiendo relaciones de distribución de 5.0 para el analito A y 0.5 para el analito B, se muestra en la Figura 16.16.2 . Si bien cuatro pasos no son suficientes para separar los analitos en esta instancia, es claro que si extendemos la extracción a contracorriente a tubos adicionales, eventualmente separaremos los analitos.

Figura 16.16.2 . Avance de una extracción a contracorriente para la separación de analitos A y B mostrando la fracción de analito en cada tubo después de (a) paso 0, (b) paso 1, (c) paso 2, y (d) paso 3. La relación de distribución, D, es 5.0 para el analito A y 0.5 para el analito B. Los volúmenes de las dos fases son idénticos.

Tabla 16.16.1 . Fracción de analito restante en el tubo r después de la extracción Etapa n para una extracción a contracorriente

\(\ce{n} \ce{v} \ce{r} \ce{->} \)	0	1	2	3
\ (\ ce {n}\ ce {v}\ ce {r}\ ce {-">}\) ">0	1	—	—	—
\ (\ ce {n}\ ce {v}\ ce {r}\ ce {-">}\) ">1	q	p	—	—
\ (\ ce {n}\ ce {v}\ ce {r}\ ce {-">}\) ">2	q ^2	2 pq	p ^2	—
\ (\ ce {n}\ ce {v}\ ce {r}\ ce {-">}\) ">3	q ^3	3 pq	3 p ^2 q	p ^3

La Figura 16.16.1 y la Tabla 16.16.1 muestran cómo cambia la distribución de un analito durante los primeros cuatro pasos de una extracción en contracorriente. Ahora consideramos cómo podemos generalizar estos resultados para calcular la cantidad de analito en cualquier tubo, en cualquier paso durante la extracción. Puede reconocer el patrón de entradas en la Tabla 16.16.1 siguiendo la distribución binomial

\[f(r, n) = \frac {n!} {(n - r)! r!} p^{r} q^{n - r} \label{16.2}\]

donde f (r, n) es la fracción de analito presente en el tubo r en la etapa n de la extracción a contracorriente, conteniendo la fase superior una fracción\(p \times f(r, n)\) de analito y conteniendo la fase inferior una fracción\(q \times f(r, n)\) del analito.

Ejemplo 16.16.1

La extracción a contracorriente mostrada en la Figura 16.16.2 se realiza a través del paso 30. Calcular la fracción de analitos A y B en los tubos 5, 10, 15, 20, 25 y 30.

Solución

Para calcular la fracción, q, para cada analito en la fase inferior utilizamos la Ecuación\ ref {16.1}. Debido a que los volúmenes de las fases inferior y superior son iguales, obtenemos

\[q_\text{A} = \frac {1} {D_\text{A} + 1} = \frac {1} {5 + 1} = 0.167 \quad \quad q_\text{B} = \frac {1} {D_\text{B} + 1} = \frac {1} {0.5 + 1} = 0.667 \nonumber\]

Porque lo sabemos\(p + q = 1 \), también sabemos que p _A es 0.833 y que p _B es 0.333. Para el analito A, la fracción en los tubos 5, 10, 15, 20, 25 y 30 después de la etapa 30 son

\[f(5,30) = \frac {30!} {(30 - 5)! 5!} (0.833)^{5} (0.167)^{30 - 5} = 2.1 \times 10^{-15} \approx 0 \nonumber\]

\[f(10,30) = \frac {30!} {(30 - 10)! 10!} (0.833)^{10} (0.167)^{30 - 10} = 1.4 \times 10^{-9} \approx 0 \nonumber\]

\[f(15,30) = \frac {30!} {(30 - 15)! 5!} (0.833)^{15} (0.167)^{30 - 15} = 2.2 \times 10^{-5} \approx 0 \nonumber\]

\[f(20,30) = \frac {30!} {(30 - 20)! 20!} (0.833)^{20} (0.167)^{30 - 20} = 0.013 \nonumber\]

\[f(25,30) = \frac {30!} {(30 - 25)! 25!} (0.833)^{25} (0.167)^{30 - 25} = 0.192 \nonumber\]

\[f(30,30) = \frac {30!} {(30 - 30)! 30!} (0.833)^{30} (0.167)^{30 - 30} = 0.004 \nonumber\]

La fracción del analito B en los tubos 5, 10, 15, 20, 25 y 30 se calcula de la misma manera, produciendo valores respectivos de 0.023, 0.153, 0.025, 0, 0 y 0. La Figura 16.16.3 , que proporciona el histograma completo para la distribución de los analitos A y B, muestra que 30 pasos son suficientes para separar los dos analitos.

Figura 16.16.3 . Avance de una extracción a contracorriente para la separación del analito A y B mostrando la fracción de analito en cada tubo después de 30 pasos. La relación de distribución, D, es 5.0 para el analito A y 0.5 para el analito B. Los volúmenes de las dos fases son idénticos.

Construir un histograma usando la ecuación\ ref {16.2} es tedioso, particularmente cuando el número de pasos es grande. Debido a que la fracción de analito en la mayoría de los tubos es aproximadamente cero, podemos simplificar la construcción del histograma resolviendo la Ecuación\ ref {16.2} solo para aquellos tubos que contienen una cantidad de analito que excede un valor umbral. Para una distribución binomial, podemos usar la media y la desviación estándar para determinar qué tubos contienen una fracción significativa de analito. Las propiedades de una distribución binomial fueron cubiertas en el Capítulo 4, con la media\(\mu\), y la desviación estándar\(\sigma\), dadas como

\[\mu = np \nonumber\]

\[\sigma = \sqrt{np(1 - p)} = \sqrt{npq} \nonumber\]

Además, si ambos np y nq son mayores que 5, entonces una distribución binomial se aproxima estrechamente a una distribución normal y podemos usar las propiedades de una distribución normal para determinar la ubicación del analito y su recuperación [ver Mark, H.; Workman, J. Spectroscopy 1990, 5 (3), 55—56].

Ejemplo 16.16.2

Dos analitos, A y B, con relaciones de distribución de 9 y 4, respectivamente, se separan mediante una extracción a contracorriente en la que los volúmenes de las fases superior e inferior son iguales. Después de 100 pasos se determina el intervalo de confianza del 99% para la ubicación de cada analito.

Solución

La fracción, q, de cada analito que permanece en la fase inferior se calcula usando la Ecuación\ ref {16.1}. Debido a que los volúmenes de las fases inferior y superior son iguales, encontramos que

\[q_\text{A} = \frac {1} {D_\text{A} + 1} = \frac {1} {9 + 1} = 0.10 \quad \quad q_\text{B} = \frac {1} {D_\text{B} + 1} = \frac {1} {4 + 1} = 0.20 \nonumber\]

Porque lo sabemos\(p + q = 1 \), también sabemos que p _A es 0.90 y p _B es 0.80. Después de 100 pasos, la media y la desviación estándar para la distribución de los analitos A y B son

\[\mu_\text{A} = np_\text{A} = (100)(0.90) = 90 \text{ and } \sigma_\text{A} = \sqrt{np_\text{A}q_\text{A}} = \sqrt{(100)(0.90)(0.10)} = 3 \nonumber\]

\[\mu_\text{B} = np_\text{B} = (100)(0.80) = 80 \text{ and } \sigma_\text{A} = \sqrt{np_\text{A}q_\text{A}} = \sqrt{(100)(0.80)(0.20)} = 4 \nonumber\]

Dado que np _A, np _B, nq _A y nq _B son todos mayores que 5, podemos suponer que la distribución de analitos sigue una distribución normal y que el intervalo de confianza para los tubos que contienen cada uno analito es

\[r = \mu \pm z \sigma \nonumber\]

donde r es el número del tubo y el valor de z está determinado por el nivel de significancia deseado. Para un intervalo de confianza del 99% el valor de z es 2.58 (ver Apéndice 4); así,

\[r_\text{A} = 90 \pm (2.58)(3) = 90 \pm 8 \nonumber\]

\[r_\text{B} = 80 \pm (2.58)(4) = 80 \pm 10 \nonumber\]

Debido a que los dos intervalos de confianza se superponen, no es posible una separación completa de los dos analitos usando una extracción a contracorriente de 100 pasos. La distribución completa de los analitos se muestra en la Figura 16.16.4 .

Figura 16.16.4 . Avance de la extracción a contracorriente después de 100 pasos. Aunque el analito A se mueve más rápido que el analito B, la similitud de sus relaciones de distribución, y por lo tanto la similitud en sus valores de q, significa que la separación de los analitos A y B aún no está completa.

Ejemplo 16.16.3

Para la extracción a contracorriente en el Ejemplo 16.16.2 , calcule la recuperación y el factor de separación para el analito A si se agrupan los contenidos de los tubos 85—99.

Solución

Del Ejemplo 16.16.2 sabemos que después de 100 pasos de la extracción en contracorriente, el analito A normalmente se distribuye alrededor del tubo 90 con una desviación estándar de 3. Para determinar la fracción de analito A en los tubos 85—99, utilizamos la distribución normal unilateral del Apéndice 3 para determinar la fracción de analito en los tubos 0—84 y en el tubo 100. La fracción de analito A en el tubo 100 se determina calculando la desviación z

\[z = \frac {r - \mu} {\sigma} = \frac {99 - 90} {3} = 3 \nonumber\]

y utilizando la tabla del Apéndice 3 para determinar la fracción correspondiente. Para z = 3 esto corresponde a 0.135% del analito A. Para determinar la fracción de analito A en tubos 0—84 nuevamente calculamos la desviación

\[z = \frac {r - \mu} {\sigma} = \frac {84 - 90} {3} = -1.67 \nonumber\]

Del Apéndice 3 encontramos que 4.75% del analito A está presente en tubos 0—84. La recuperación del analito A, por lo tanto, es

\[100\% - 4.75\% - 0.135\% \approx 95\% \nonumber\]

Para calcular el factor de separación se determina la recuperación del analito B en los tubos 85—99 utilizando el mismo enfoque general que para el analito A, encontrando que aproximadamente 89.4% del analito B permanece en los tubos 0—84 y que esencialmente no hay analito B en el tubo 100. La recuperación para B, por lo tanto, es

\[100\% - 89.4\% - 0\% \approx 10.6\% \nonumber\]

y el factor de separación es

\[S_\text{B/A} = \frac {R_\text{A}} {R_\text{B}} = \frac {10.6} {95} = 0.112 \nonumber\]